Combinatoria

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-=Variaciones=+==Combinatoria==
-{{Video_enlace_matematicasfaciles+{{Caja_Amarilla|texto=
-|titulo1=Variaciones+La '''combinatoria''' es la parte de las Matemáticas que estudia las diversas formas de realizar agrupaciones con los elementos de un conjunto, formándolas y calculando su número.}}
-|duracion=14'15"+
-|sinopsis=Tutorial sobre variaciones con o sin repetición. Ejemplos+
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=9UjgHjby_k8+
-}}+
-==Variaciones con repetición==+
-{{Caja_Amarilla|texto=Se llama '''variaciones con repetición''' de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y se representa <math>VR_n^k\;</math>, o bien <math>VR_{n,k}\;</math>, a las distintas agrupaciones ordenadas de n elementos que se pueden formar a partir de m elementos dados en las que se pueden repetir los elementos.+
-}}+
{{p}} {{p}}
-{{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=El número de variaciones con repetición de n elementos tomados de k en k (n ≥ k) se pueden calcular con la siguiente fórmula: 
-<center><math>VR_{n,k}=n^k\;</math></center>+Existen distintas formas de realizar estas agrupaciones, según se repitan los elementos o no, según se puedan tomar todos los elementos de que disponemos o no y si influye o no el orden de colocación de los elementos.
-|demo=+
-'''Demostración:'''+
-Si quiero formar grupos de n elementos en los que importa el orden, el primer elemento del grupo lo puedo escoger de n maneras distintas (puesto que dispongo de n elementos), el 2º también de n maneras (pues puedo repetirlo), el 3º también de n maneras, ..., y el k-ésimo, de n maneras distintas. Multiplicando todas las posibilidades obtengo la fórmula.+El siguiente video condensa todo lo veremos a lo largo de este tema.
-}}+
{{p}} {{p}}
-{{Videotutoriales|titulo=Variaciones con repetición|enunciado=+{{Video_enlace_aula4all
-{{Video_enlace_matematicasfaciles+|titulo1=Combinatoria: Permutaciones, variaciones y combinaciones
-|titulo1=Tutorial+|duracion=43'24"
-|duracion=13'06"+|sinopsis=La combinatoria es la parte de las matemáticas que estudia las ordenaciones en que se pueden agrupar determinados elementos de un conjunto.
-|sinopsis=Variaciones con repetición. Ejemplos.+
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-----+
-{{Video_enlace_childtopia+
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-}}+
-{{Video_enlace_childtopia+
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-|duracion=3'39"+
-|sinopsis=Con las cifras 0, 1, 3, 5 y 7, ¿cuántos números de 4 cifras podemos escribir?+
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=L3snBZiTjT4&list=PLCCECEF49C3624949&index=3+
-}}+
-}}+En este vídeo vamos a ver los conceptos de permutación, permutación con repetición, variación, variación con repetición, combinación y combinación con repetición.
-{{p}}+
-==Variaciones ordinarias==+Se expondrán dichos conceptos de una manera pedagógica de fácil entendimiento, tras la cual, se indicarán ejemplos referidos al tipo de combinatoria.
-{{Caja_Amarilla|texto=Se llama '''variaciones ordinarias''' (o sin repetición) de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y se representa <math>V_n^k\;</math>, o bien <math>V_{n,k}\;</math>, a las distintas agrupaciones ordenadas de n elementos que se pueden formar a partir de m elementos dados en las que no se pueden repetir los elementos.+
-}}+
-{{p}}+
-{{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=El número de variaciones ordinarias de n elementos tomados de k en k (n ≥ k) se pueden calcular con la siguiente fórmula:+
-<center><math>V_{n,k}=\cfrac{n!}{(n-k)!}=n(n-1)(n-2)(n-3) \cdots (n-k+1)</math></center>+Finalmente se enunciará un ejercicio resuelto.
-|demo=+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=A0wBokBfJWQ
-'''Demostración:'''+
- +
-Si quiero formar grupos de n elementos en los que importa el orden, el primer elemento del grupo lo puedo escoger de n maneras distintas (puesto que dispongo de n elementos), el 2º de (n-1) maneras distintas (pues no puedo repetir el anterior), el 3º de (n-2), ..., y el k-ésimo, de (n-k+1) maneras distintas. Multiplicando todas las posibilidades obtengo la fórmula.+
-}}+
-{{p}}+
-{{Videotutoriales|titulo=Variaciones ordinarias|enunciado=+
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-{{Video_enlace_childtopia+
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-}}+
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-|sinopsis=¿Cuántos números de dos cifras pueden formarse con los dígitos 1, 2 y 3, si no se pueden repetir las cifras.+
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=Z_fUpgI8bLQ&list=PLCCECEF49C3624949&index=5+
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-|titulo1=Problema 2+
-|duracion=4'24"+
-|sinopsis=Cuántos números de tres cifras no repetidas se pueden formar con los dígitos 2, 3, 4, 5 y 6? ¿Cuántos son pares?¿Cuántos terminan en 45?+
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=VSJqiK6RsY0&index=1&list=PLCCECEF49C3624949+
-}}+
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-|titulo1=Problema 3+
-|duracion=1'53"+
-|sinopsis=En una competición participan 6 corredores pero sólo hay 3 premios distintos (1º, 2º y 3º). ¿De cuántas formas distintas pueden asignarse 3 los premios entre los 6 atletas?+
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=EdJxM3C3juM&list=PLCCECEF49C3624949&index=2+
}} }}
 +{{Video_enlace_pildoras
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Línea 117: Línea 35:
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-==Permutaciones ordinarias==+===Permutaciones ordinarias===
{{Caja_Amarilla|texto=Se llama '''permutaciones ordinarias''' (o sin repetición) de n elementos, y se representa <math>P_n\;</math>, a las distintas agrupaciones de n elementos ordenadas obtenidas a partir de esos n elementos. {{Caja_Amarilla|texto=Se llama '''permutaciones ordinarias''' (o sin repetición) de n elementos, y se representa <math>P_n\;</math>, a las distintas agrupaciones de n elementos ordenadas obtenidas a partir de esos n elementos.
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{{p}} {{p}}
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|sinopsis=Permutaciones (sin repetición). Ejemplos |sinopsis=Permutaciones (sin repetición). Ejemplos
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-==Permutaciones con repetición==+===Permutaciones con repetición===
{{Caja_Amarilla|texto=Se llama '''permutaciones con repetición''' de n elementos, donde el primer elemento se repite "a" veces , el segundo "b" veces , el tercero "c" veces, ..., con n=a+b+c+..., y se representa <math>PR_n^{a,b,c,...}\;</math>, a las distintas agrupaciones ordenadas de n elementos formadas con esos n elementos, teniendo en cuenta que los elementos repetidos son indistinguibles. {{Caja_Amarilla|texto=Se llama '''permutaciones con repetición''' de n elementos, donde el primer elemento se repite "a" veces , el segundo "b" veces , el tercero "c" veces, ..., con n=a+b+c+..., y se representa <math>PR_n^{a,b,c,...}\;</math>, a las distintas agrupaciones ordenadas de n elementos formadas con esos n elementos, teniendo en cuenta que los elementos repetidos son indistinguibles.
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Línea 227: Línea 151:
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-=Combinaciones=+==Combinaciones==
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-==Combinaciones ordinarias==+===Combinaciones ordinarias===
{{Caja Amarilla|texto=Se llaman '''combinaciones ordinarias''' (o sin repetición) de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y lo representaremos por <math> C^k_n \,</math> o <math> C_{n,k} \,</math>, a los distintos subconjuntos de k elementos que pueden formarse con los n elementos dados. Nótese que al tratarse de subconjuntos no importa el orden y no pueden repetirse los elementos.}} {{Caja Amarilla|texto=Se llaman '''combinaciones ordinarias''' (o sin repetición) de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y lo representaremos por <math> C^k_n \,</math> o <math> C_{n,k} \,</math>, a los distintos subconjuntos de k elementos que pueden formarse con los n elementos dados. Nótese que al tratarse de subconjuntos no importa el orden y no pueden repetirse los elementos.}}
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Línea 270: Línea 194:
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-==Combinaciones con repetición==+===Combinaciones con repetición===
{{Caja Amarilla|texto=Se llaman '''combinaciones con repetición''' de n elementos tomados de k en k, y lo representaremos por <math> CR^k_n \,</math> o <math> CR_{n,k} \,</math>, a las distintas agrupaciones de k elementos que pueden formarse con los n elementos dados, de manera que pueden repetirse los elementos y no importa el orden de los mismos. {{Caja Amarilla|texto=Se llaman '''combinaciones con repetición''' de n elementos tomados de k en k, y lo representaremos por <math> CR^k_n \,</math> o <math> CR_{n,k} \,</math>, a las distintas agrupaciones de k elementos que pueden formarse con los n elementos dados, de manera que pueden repetirse los elementos y no importa el orden de los mismos.
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 +==Variaciones==
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 +<center><math>VR_{n,k}=n^k\;</math></center>
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 +'''Demostración:'''
 +
 +Si quiero formar grupos de n elementos en los que importa el orden, el primer elemento del grupo lo puedo escoger de n maneras distintas (puesto que dispongo de n elementos), el 2º también de n maneras (pues puedo repetirlo), el 3º también de n maneras, ..., y el k-ésimo, de n maneras distintas. Multiplicando todas las posibilidades obtengo la fórmula.
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 +'''Demostración:'''
 +
 +Si quiero formar grupos de n elementos en los que importa el orden, el primer elemento del grupo lo puedo escoger de n maneras distintas (puesto que dispongo de n elementos), el 2º de (n-1) maneras distintas (pues no puedo repetir el anterior), el 3º de (n-2), ..., y el k-ésimo, de (n-k+1) maneras distintas. Multiplicando todas las posibilidades obtengo la fórmula.
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 +|sinopsis=Cuántos números de tres cifras no repetidas se pueden formar con los dígitos 2, 3, 4, 5 y 6? ¿Cuántos son pares?¿Cuántos terminan en 45?
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 +|duracion=1'53"
 +|sinopsis=En una competición participan 6 corredores pero sólo hay 3 premios distintos (1º, 2º y 3º). ¿De cuántas formas distintas pueden asignarse 3 los premios entre los 6 atletas?
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==Ejercicios y Problemas== ==Ejercicios y Problemas==

Revisión actual

Tabla de contenidos

[esconder]
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Combinatoria

La combinatoria es la parte de las Matemáticas que estudia las diversas formas de realizar agrupaciones con los elementos de un conjunto, formándolas y calculando su número.

Existen distintas formas de realizar estas agrupaciones, según se repitan los elementos o no, según se puedan tomar todos los elementos de que disponemos o no y si influye o no el orden de colocación de los elementos.

El siguiente video condensa todo lo veremos a lo largo de este tema.

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Permutaciones

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Permutaciones ordinarias

Se llama permutaciones ordinarias (o sin repetición) de n elementos, y se representa P_n\;, a las distintas agrupaciones de n elementos ordenadas obtenidas a partir de esos n elementos.

ejercicio

Proposición

El número de permutaciones de n elementos se pueden calcular con la siguiente fórmula:

P_n=n!\;

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Permutaciones con repetición

Se llama permutaciones con repetición de n elementos, donde el primer elemento se repite "a" veces , el segundo "b" veces , el tercero "c" veces, ..., con n=a+b+c+..., y se representa PR_n^{a,b,c,...}\;, a las distintas agrupaciones ordenadas de n elementos formadas con esos n elementos, teniendo en cuenta que los elementos repetidos son indistinguibles.

ejercicio

Proposición

El número de permutaciones con repetición de n elementos, donde el primer elemento se repite "a" veces , el segundo "b" veces , el tercero "c" veces, ..., con n=a+b+c+..., se pueden calcular con la siguiente fórmula:

PR_n^{a,b,c,...}=\cfrac{n!}{a!b!c!...}\;

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Combinaciones

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Combinaciones ordinarias

Se llaman combinaciones ordinarias (o sin repetición) de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y lo representaremos por C^k_n \, o C_{n,k} \,, a los distintos subconjuntos de k elementos que pueden formarse con los n elementos dados. Nótese que al tratarse de subconjuntos no importa el orden y no pueden repetirse los elementos.

ejercicio

Proposición

El número de combinaciones de n elementos tomados de k en k (n ≥ k) puede calcularse con la siguiente fórmula:

C^k_n = {n\choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}

Ver: Números combinatorios

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Combinaciones con repetición

Se llaman combinaciones con repetición de n elementos tomados de k en k, y lo representaremos por CR^k_n \, o CR_{n,k} \,, a las distintas agrupaciones de k elementos que pueden formarse con los n elementos dados, de manera que pueden repetirse los elementos y no importa el orden de los mismos.

Nota: n no tiene por qué ser mayor o igual que k.

ejercicio

Proposición

El número de combinaciones con repetición de n elementos tomados de k en k (n ≥ k) puede calcularse con la siguiente fórmula:

CR^k_n = {n+k-1\choose k} = \frac{(n+k-1)!}{k! (n-1)!}

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Variaciones

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Variaciones con repetición

Se llama variaciones con repetición de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y se representa VR_n^k\;, o bien VR_{n,k}\;, a las distintas agrupaciones ordenadas de n elementos que se pueden formar a partir de m elementos dados en las que se pueden repetir los elementos.

ejercicio

Proposición

El número de variaciones con repetición de n elementos tomados de k en k (n ≥ k) se pueden calcular con la siguiente fórmula:

VR_{n,k}=n^k\;

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Variaciones ordinarias

Se llama variaciones ordinarias (o sin repetición) de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y se representa V_n^k\;, o bien V_{n,k}\;, a las distintas agrupaciones ordenadas de n elementos que se pueden formar a partir de m elementos dados en las que no se pueden repetir los elementos.

ejercicio

Proposición

El número de variaciones ordinarias de n elementos tomados de k en k (n ≥ k) se pueden calcular con la siguiente fórmula:

V_{n,k}=\cfrac{n!}{(n-k)!}=n(n-1)(n-2)(n-3) \cdots (n-k+1)

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Ejercicios y Problemas

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Combinatoria"
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