Ecuaciones de segundo grado (3ºESO Académicas)

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(→Propiedades de las raíces de los polinomios de segundo grado)
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{{p}} {{p}}
-==Raíces de los polinomios de segundo grado==+==Propiedades de las raíces de los polinomios de segundo grado==
 +{{Teorema_sin_demo|titulo=Propiedades|enunciado=
 +Si <math>x_1\;</math> y <math>x_2\;</math> son las raíces de la ecuación de segundo grado {{Sube|contenido=<math>ax^2+bx+c=0\;</math>|porcentaje=20%}}, se cumplen las siguientes propiedades:
 + 
 +*La '''suma''' de la raíces cumple:
 +{{Caja|contenido=<math>x_1+x_2=-\cfrac{b}{a}\;</math>}}
 +*El '''producto''' de la raíces cumple:
 +{{Caja|contenido=<math>x_1 \cdot x_2=\cfrac{c}{a}\;</math>}}
 +*La ecuación de segundo grado de partida es equivalente (mismas soluciones) a la siguiente ecuación factorizada:
 +{{Caja|contenido=<math>(x-x_1)(x-x_2)=0\;</math>}}
 +*Si llamamos "s" a la suma de la raíces y "p" al producto, también es equivalente a:
 +{{Caja|contenido=<math>x^2-sx+p=0\;</math>}}
 +}}
 +{{p}}
 +{{Videotutoriales|titulo=Propiedades de las raíces de los polinomios de segundo grado|enunciado=
 +{{Video_enlace_pildoras
 +|titulo1=Tutorial
 +|duracion=13'25"
 +|sinopsis=Obtención de la ecuación de segundo grado a partir de sus raíces usando la fórmula <math>x^2-sx+p=0\;</math>.
 + 
 +|url1=https://youtu.be/RCfWZ5mL1AM?list=PLwCiNw1sXMSCRy5LXaPOVwNMHxxxvNk0Z
 +}}
 +----
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1=Ejercicio 1
 +|duracion=13'05"
 +|sinopsis=¿Qué valor debe tener "m" en la ecuación <math>x^2-mx+48=0\;</math> para que una raíz sea el triple de la otra?
 + 
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=oVvfJTMfwWE&list=PL3KGq8pH1bFRmhsCe2sPnUj199NNvQWQZ&index=59
 +}}
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1=Ejercicio 2
 +|duracion=13'45"
 +|sinopsis=
 +¿Para qué valor de "m", diferente de cero, en la ecuación <math>(m+4)x^2-3mx+(m-1)=0\;</math>, las raíces se diferencian en 1?
 + 
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=-xYJd_g8q_A&index=60&list=PL3KGq8pH1bFRmhsCe2sPnUj199NNvQWQZ
 +}}
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1=Ejercicio 3
 +|duracion=10'58"
 +|sinopsis=¿Qué valor debe tener "m" en la ecuación <math>mx^2-2(m-1)x+m+1=0\;</math> para que sus raíces sean iguales?
 + 
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=bkSTPrmwXrQ&index=61&list=PL3KGq8pH1bFRmhsCe2sPnUj199NNvQWQZ
 +}}
 +{{Video_enlace_miguematicas
 +|titulo1=Ejercicio 4
 +|duracion=13'45"
 +|sinopsis=
 +¿Para qué valor de "m", en la ecuación <math>8x^2-mx+3=0\;</math>, las raíces se diferencian en 1/2?
 + 
 +|url1=https://youtu.be/b81-l2ppSRg?list=PLLfTN7MHLxConbepI-_1OEy-pjAxI8IvH
 +}}
 +}}
 +{{Actividades|titulo=Propiedades de las raíces de los polinomios de segundo grado|enunciado=
 +{{AI_cidead
 +|titulo1=Actividad
 +|descripcion=Actividades en la que aprenderás las propiedades relacionadas con la suma y el producto de las raíces de una ecuación de segundo grado y su utilidad.
 +|url1=http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/3esomatematicas/3quincena3/3quincena3_contenidos_3e.htm
 +}}
 +{{AI_vitutor
 +|titulo1=Autoevaluación
 +|descripcion=Ejercicios de autoevaluación sobre las propiedades de las raices de las ecuaciones de segundo grado.
 +|url1=http://www.vitutor.com/ecuaciones/1/ecua4_Contenidos_e_3.html
 +}}
 +}}
 +{{p}}
===Factorización de polinomios de segundo grado=== ===Factorización de polinomios de segundo grado===
 +La tercera de las propiedades anteriores nos permite factorizar polinomios de segundo grado a partir de sus raíces:
 +{{Videotutoriales|titulo=Factorización de polinomios de segundo grado (usando sus raíces)|enunciado=
{{Video_enlace_tutomate {{Video_enlace_tutomate
-|titulo1=Factorización de polinomios de segundo grado+|titulo1=Tutorial
|duracion=6'08" |duracion=6'08"
-|sinopsis=Factorización de polinomios de segundo grado. Ejemplos.+|sinopsis=Factorización de polinomios de segundo grado a partir de las raíces obtenidas resolviendo la ecuación de segundo grado. Ejemplos.
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=Xqac1Z3JUFk&list=PLWRbPOo5oaTcfeSnw_WhNua0bmjHpwort&index=8 |url1=https://www.youtube.com/watch?v=Xqac1Z3JUFk&list=PLWRbPOo5oaTcfeSnw_WhNua0bmjHpwort&index=8
}} }}
Línea 57: Línea 125:
d) <math>-6x^2+6x\;</math> d) <math>-6x^2+6x\;</math>
|url1=http://www.unicoos.com/video/matematicas/4-eso/polinomios/descomposicion-factorial/factorizacion-de-polinomios-01 |url1=http://www.unicoos.com/video/matematicas/4-eso/polinomios/descomposicion-factorial/factorizacion-de-polinomios-01
 +}}
}} }}
{{p}} {{p}}
-===Obtención del polinomio de segundo grado a partir de sus raíces===+Las dos primeras propiedades nos permiten factorizar algunos polinomios de segundo grado sin necesidad de utilizar la fórmula general para hallar las raíces:
-{{Obtención de la ecuación de segundo grado a partir de sus raíces}}+{{p}}
 +{{Videotutoriales|titulo=Factorización de polinomios de segundo grado (usando s y p)|enunciado=
 +{{Tabla50|celda1=
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Ejercicio 1
 +|duracion=1'39"
 +|sinopsis=Factoriza: <math>x^2+3x+2\;</math>
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=yxNQnQrJmmc&list=PL9SnRnlzoyX2rH0kq1_qBELv8QsKZmgoO&index=88
 +}}
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Ejercicio 2
 +|duracion=1'14"
 +|sinopsis=Factoriza: <math>x^2+7x+6\;</math>
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=0Vi93C729LE&index=89&list=PL9SnRnlzoyX2rH0kq1_qBELv8QsKZmgoO
 +}}
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Ejercicio 3
 +|duracion=1'03"
 +|sinopsis=Factoriza: <math>x^2+6x+15\;</math>
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=FS3ALJi3Ooc&index=90&list=PL9SnRnlzoyX2rH0kq1_qBELv8QsKZmgoO
 +}}
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Ejercicio 4
 +|duracion=1'47"
 +|sinopsis=Factoriza: <math>x^2+7x+12\;</math>
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=ZE3IaAYEYKA&list=PL9SnRnlzoyX2rH0kq1_qBELv8QsKZmgoO&index=91
 +}}
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Ejercicio 5
 +|duracion=2'09"
 +|sinopsis=Factoriza: <math>n^2-11n+30\;</math>
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=6wUV0z9sO48&index=92&list=PL9SnRnlzoyX2rH0kq1_qBELv8QsKZmgoO
 +}}
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Ejercicio 6
 +|duracion=2'07"
 +|sinopsis=Factoriza: <math>m^2+m-30\;</math>
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=6ultTY9JZTQ&index=93&list=PL9SnRnlzoyX2rH0kq1_qBELv8QsKZmgoO
 +}}
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Ejercicio 7
 +|duracion=1'50"
 +|sinopsis=Factoriza: <math>y^2-7y-18\;</math>
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=oLPRpuQnlt4&list=PL9SnRnlzoyX2rH0kq1_qBELv8QsKZmgoO&index=94
 +}}
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Ejercicio 8
 +|duracion=1'24"
 +|sinopsis=Factoriza: <math>a^2+10a+24\;</math>
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=jqgHSrA0vJo&index=95&list=PL9SnRnlzoyX2rH0kq1_qBELv8QsKZmgoO
 +}}
 +|celda2=
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Ejercicio 9
 +|duracion=1'20"
 +|sinopsis=Factoriza: <math>b^2-7b+10\;</math>
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=0mVg2l9hbLs&index=96&list=PL9SnRnlzoyX2rH0kq1_qBELv8QsKZmgoO
 +}}
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Ejercicio 10
 +|duracion=1'17"
 +|sinopsis=Factoriza: <math>m^2-9m+20\;</math>
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=QpCvzkxmVHQ&list=PL9SnRnlzoyX2rH0kq1_qBELv8QsKZmgoO&index=97
 +}}
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Ejercicio 11
 +|duracion=0'49"
 +|sinopsis=Factoriza: <math>y^2+4y+3\;</math>
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=H1X-tO6IQrU&list=PL9SnRnlzoyX2rH0kq1_qBELv8QsKZmgoO&index=98
 +}}
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Ejercicio 12
 +|duracion=1'07"
 +|sinopsis=Factoriza: <math>x^2-5x+4\;</math>
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=VICRbvQCB3w&index=99&list=PL9SnRnlzoyX2rH0kq1_qBELv8QsKZmgoO
 +}}
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Ejercicio 13
 +|duracion=1'56"
 +|sinopsis=Factoriza: <math>a^2-16a-36\;</math>
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=PE08PZeYCb4&list=PL9SnRnlzoyX2rH0kq1_qBELv8QsKZmgoO&index=100
 +}}
 +{{Video_enlace_virtual
 +|titulo1=Ejercicio 14
 +|duracion=2'57"
 +|sinopsis=Factoriza: <math>x^2-5x-6\;</math>
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=62NQaOnwal4&list=PLo7_lpX1yruP33hV_BwlUAVTVRoxjwk3z&index=1
 +}}
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Ejercicio 15
 +|duracion=6'41"
 +|sinopsis=Factoriza: <math>x^2-3x-10\;</math>
 +|url1=https://youtu.be/Y_YL3SJKDAk
 +}}
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Ejercicio 16
 +|duracion=4'21"
 +|sinopsis=Factoriza:
 + 
 +:a) <math>x^2-14x+40\;</math>
 + 
 +:b) <math>x^2-x-12\;</math>
 + 
 +|url1=https://youtu.be/0t1LwY63Lt4
 +}}
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Ejercicio 17
 +|duracion=16'30"
 +|sinopsis=Factoriza:
 + 
 +:a) <math>x^2+10x+9\;</math>
 + 
 +:b) <math>x^2+15x+50\;</math>
 + 
 +:c) <math>x^2-11x+24\;</math>
 + 
 +:d) <math>x^2+5x-14\;</math>
 + 
 +:e) <math>x^2-x-56\;</math>
 + 
 +:f) <math>-x^2-5x+24\;</math>
 + 
 +:g) <math>-x^2+18x-72\;</math>
 +|url1=https://youtu.be/S0wUMnL-EZE
 +}}
 +}}
 +----
 +{{tabla50|celda1=
 +'''Nivel avanzado:'''
 + 
 +{{Video_enlace_virtual
 +|titulo1=Ejercicio 1
 +|duracion=5'17"
 +|sinopsis=Factoriza: <math>6x^2+7x+2\;</math>
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=pKJvnjgi8n4&index=1&list=PLo7_lpX1yruObqn5GjL4KFqeIlIWdrMzQ
 +}}
 +{{Video_enlace_virtual
 +|titulo1=Ejercicio 2
 +|duracion=4'36"
 +|sinopsis=Factoriza: <math>4a^2+a-3\;</math>
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=odquT5RIAvI&list=PLo7_lpX1yruObqn5GjL4KFqeIlIWdrMzQ&index=2
 +}}
 +{{Video_enlace_virtual
 +|titulo1=Ejercicio 3
 +|duracion=4'50"
 +|sinopsis=Resuelve por factorización: <math>3x^2-6=7x\;</math>
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=_kztnlY0i0A&list=PLo7_lpX1yruObqn5GjL4KFqeIlIWdrMzQ&index=3
 +}}
 +{{Video_enlace_virtual
 +|titulo1=Ejercicio 4
 +|duracion=5'58"
 +|sinopsis=Resuelve por factorización: <math>m^2-\cfrac{5}{12}m-\cfrac{1}{6}=0\;</math>
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=GHefeTeTw5k&index=4&list=PLo7_lpX1yruObqn5GjL4KFqeIlIWdrMzQ
 +}}
 +{{Video_enlace_virtual
 +|titulo1=Ejercicio 5
 +|duracion=5'50"
 +|sinopsis=Resuelve por factorización: <math>6x^2+11bx=10b^2\;</math>
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=JW49lslA5LE&index=5&list=PLo7_lpX1yruObqn5GjL4KFqeIlIWdrMzQ
 +}}
 +'''Nivel avanzado (por agrupación):'''
 + 
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Ejercicio 1
 +|duracion=13'58"
 +|sinopsis=Factoriza:
 + 
 +:a) <math>4x^2+25y-21\;</math>
 + 
 +:b) <math>6x^2+7y+1\;</math>
 + 
 +|url1=https://youtu.be/WXwNlScjHCE
 +}}
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Ejercicio 2
 +|duracion=3'56"
 +|sinopsis=Factoriza: <math>4y^2+4y-15\;</math>
 +|url1=https://youtu.be/O28LyVAQ1Hw
 +}}
 +|celda2='''Nivel avanzado (factor común + agrupación):'''
 + 
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Ejercicio 1
 +|duracion=4'47"
 +|sinopsis=Factoriza: <math>35k^2+100k-15\;</math>
 + 
 +|url1=https://youtu.be/0L1b98tbu_Q
 +}}
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Ejercicio 2
 +|duracion=5'19"
 +|sinopsis=Factoriza: <math>-12f^2-38f+22\;</math>
 + 
 +|url1=https://youtu.be/ktlbb9h6_Xw
 +}}
 +'''Nivel avanzado (polinomios cuadráticos de 2 variables):'''
 + 
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Ejercicio 1
 +|duracion=8'16"
 +|sinopsis=Factoriza: <math>x^2+4xy-5y^2\;</math>
 + 
 +|url1=https://youtu.be/d_V7iJ1iaWY
 +}}
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Ejercicio 2
 +|duracion=5'05"
 +|sinopsis=Factoriza: <math>30x^2+11xy+y^2\;</math>
 + 
 +|url1=https://youtu.be/kR3UnTMYOc8
 +}}
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Ejercicio 3
 +|duracion=3'47"
 +|sinopsis=Factoriza: <math>5rs+25r+-3s-15\;</math>
 + 
 +|url1=https://youtu.be/rhNQoS9eGss
 +}}
 +}}
 +}}
 +{{Actividades|titulo=Factorización de polinomios de segundo grado (usando s y p)|enunciado=
 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Actividad
 +|descripcion=Factorizar cuadráticas usando "s y "p" (coeficiente principal = 1).
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/algebra/polynomial-factorization/factoring-quadratics-1/a/factoring-quadratics-leading-coefficient-1
 +}}
 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Autoevaluación
 +|descripcion=Factorizar cuadráticas usando "s y "p" (coeficiente principal = 1).
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/algebra/polynomial-factorization/factoring-quadratics-1/e/factoring_polynomials_1
 +}}
 +----
 +'''Avanzado:'''
 + 
 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Actividad 1
 +|descripcion=Factorizar polinomios de segundo grado por agrupación.
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/algebra/polynomial-factorization/factoring-quadratics-2/a/factoring-by-grouping
 +}}
 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Actividad 2
 +|descripcion=Factorizar cuadráticas usando "s y "p" (coeficiente principal distinto de 1).
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/algebra/polynomial-factorization/factoring-quadratics-2/a/factoring-quadratics-leading-coefficient-not-1
 +}}
 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Autoevaluación 1
 +|descripcion=Factoriza polinomios: métodos cuadráticos
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/algebra/polynomial-factorization/factoring-polynomials-2-quadratic-forms/e/factoring_polynomials_2
 +}}
 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Autoevaluación 2
 +|descripcion=Factoriza polinomios: métodos cuadráticos
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/algebra/polynomial-factorization/factoring-polynomials-2-quadratic-forms/e/factoring_polynomials_with_two_variables
 +}}
 +}}
 +{{p}}
 +A continuación veremos otro método para factorizar algunos polinomios de segundo grado:
 + 
 +{{Videotutoriales|titulo=Factorización de polinomios de segundo grado (completación de cuadrados perfectos)|enunciado=
 +{{Video_enlace_virtual
 +|titulo1=Ejercicio 1
 +|duracion=4'36"
 +|sinopsis=Factoriza: <math>x^2-10x+24\;</math>
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=LT4EHxDRlG8&list=PLo7_lpX1yruOOTMu04bqy8vDLWPKuPrlm&index=1
 +}}
 +{{Video_enlace_virtual
 +|titulo1=Ejercicio 2
 +|duracion=6'02"
 +|sinopsis=Factoriza: <math>x^2+5x+4\;</math>
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=dn2I6d3L7NI&list=PLo7_lpX1yruOOTMu04bqy8vDLWPKuPrlm&index=2
 +}}
 +{{Video_enlace_virtual
 +|titulo1=Ejercicio 3
 +|duracion=6'41"
 +|sinopsis=Resuelve factorizando: <math>x^2=13x+30\;</math>
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=89_7Z0S3MQM&list=PLo7_lpX1yruOOTMu04bqy8vDLWPKuPrlm&index=3
 +}}
 +{{Video_enlace_virtual
 +|titulo1=Ejercicio 4
 +|duracion=7'27"
 +|sinopsis=Resuelve factorizando: <math>2x^2+5x+2=0\;</math>
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=Xk8R4KqpEfY&list=PLo7_lpX1yruOOTMu04bqy8vDLWPKuPrlm&index=4
 +}}
 +{{Video_enlace_virtual
 +|titulo1=Ejercicio 5
 +|duracion=7'30"
 +|sinopsis=Resuelve factorizando: <math>-3x^2+7x+6=0\;</math>
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=HgROJZzT0v0&index=5&list=PLo7_lpX1yruOOTMu04bqy8vDLWPKuPrlm
 +}}
 +{{Video_enlace_virtual
 +|titulo1=Ejercicio 6
 +|duracion=8'36"
 +|sinopsis=Resuelve factorizando: <math>4x^2+5bx+b^2=0\;</math>
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=tI3iqq9BCs8&list=PLo7_lpX1yruOOTMu04bqy8vDLWPKuPrlm&index=6
 +}}
 +}}
==Reglas para resolver ecuaciones de segundo grado== ==Reglas para resolver ecuaciones de segundo grado==
-{{Teorema_sin_demo|titulo=Procedimiento|enunciado=Para resolver una ecuación de segundo grado sigue los siguiente pasos:+{{Teorema_sin_demo|titulo=Procedimiento|enunciado=Para resolver una ecuación de segundo grado, en general, se siguen los siguiente pasos:
-#Lo primero que hay que hacer es ponerla en forma general. Para ello será necesario quitar denominadores, quitar paréntesis, simplificar, transponer y ordenar los términos.+#Lo primero que se suele hacer es ponerla en forma general. Para ello será necesario quitar denominadores, quitar paréntesis, simplificar, transponer y ordenar los términos.
#Una vez en forma general, si la ecuación es incompleta aplicaremos las técnicas explicadas para tal caso. Si la ecuación es completa usaremos la fórmula general. #Una vez en forma general, si la ecuación es incompleta aplicaremos las técnicas explicadas para tal caso. Si la ecuación es completa usaremos la fórmula general.
#Una vez resuelta, opcionalmente podemos comprobar las soluciones, sustituyendo en la ecuación de partida. #Una vez resuelta, opcionalmente podemos comprobar las soluciones, sustituyendo en la ecuación de partida.
}} }}
 +{{p}}
 +{{Warning|titulo=Aviso:|texto=Las reglas anteriores son aplicables en la mayoría de los casos. Sin embargo, hay casos, como cuando la ecuación está factorizada e igualada a cero, en los que no procederemos siguiendo los pasos anteriores, sino que simplemente igualaremos cada uno de los factores a cero y resolveremos las ecuaciones resultantes. En otros casos también se recurre a otras técnicas más específicas que no requieren el uso de la fórmula general.}}
{{p}} {{p}}
{{Ejemplo|titulo=Ejercicios resueltos:|enunciado=Resuelve las siguientes ecuaciones: {{Ejemplo|titulo=Ejercicios resueltos:|enunciado=Resuelve las siguientes ecuaciones:
Línea 112: Línea 478:
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=xmzG2xR-oBI |url1=https://www.youtube.com/watch?v=xmzG2xR-oBI
}} }}
-{{Video_enlace_julioprofe+{{Video_enlace_virtual
|titulo1=Ejercicio 3 |titulo1=Ejercicio 3
 +|duracion=5´33"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=cffET3ZltdE&list=PLo7_lpX1yruMxaiPaacmnlA_BM-NOkVD_&index=4
 +|sinopsis=Resuelve: <math>(x+3)^2=(3-x)(3+x)\;</math>
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Ejercicio 4
 +|duracion=8´41"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=mZYmdxVgwyc&index=30&list=PL773F27163628CA1F
 +|sinopsis=Resuelve:
 +
 +a) <math>2x^2+x-1=0\;</math>
 +
 +b) <math>-x^2+3x-2=0\;</math>
 +
 +c) <math>4x^2-12x+9=0\;</math>
 +
 +d) <math>x^2+x+1=0\;</math>
 +
 +}}
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Ejercicio 5
 +|duracion=6'47"
 +|sinopsis=Resuelve:
 +
 +a) <math>x^2=5x\;</math>
 +
 +b) <math>\cfrac{x}{6}+\cfrac{x^2}{2}=\cfrac{2x}{3}</math>
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=xv58qYf2V_A&list=PL3KGq8pH1bFRmhsCe2sPnUj199NNvQWQZ&index=58
 +}}
 +----
 +'''Con fracciones algebraicas:'''
 +
 +{{Video_enlace_julioprofe
 +|titulo1=Ejercicio 1
|duracion=8'51" |duracion=8'51"
|sinopsis=Resuelve: <math>\cfrac{3}{x-4}+\cfrac{x-3}{x}=2\;</math> |sinopsis=Resuelve: <math>\cfrac{3}{x-4}+\cfrac{x-3}{x}=2\;</math>
Línea 119: Línea 519:
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=zwMljIgCsAI |url1=https://www.youtube.com/watch?v=zwMljIgCsAI
}} }}
-{{Video_enlace_fonemato+{{Video_enlace_virtual
-|titulo1=Ejercicio 4+|titulo1=Ejercicio 2
-|duracion=8´41"+|duracion=5´25"
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/03-ecuaciones-y-sistemas-de-ecuaciones/0701-cuatro-ejercicios-4#.VCRHGBZ8HA8+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=LSXLrltHS7w&index=5&list=PLo7_lpX1yruMZG_TL6npTf0dBtfD_1EHy
-|sinopsis=Ejercicios de ecuaciones de segundo grado en forma general.+|sinopsis=Resuelve: <math>\cfrac{x-3}{2x-3}=\cfrac{x-1}{x-2}</math>
 +}}
 +{{Video_enlace_virtual
 +|titulo1=Ejercicio 3
 +|duracion=4´29"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=gMC6lG9GReY&list=PLo7_lpX1yruMxaiPaacmnlA_BM-NOkVD_&index=5
 +|sinopsis=Resuelve: <math>\cfrac{x-2}{x-1}=\cfrac{4}{2+x}</math>
}} }}
{{Video_enlace_fonemato {{Video_enlace_fonemato
-|titulo1=Ejercicio 5+|titulo1=Ejercicio 4
|duracion=8´01" |duracion=8´01"
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/03-ecuaciones-y-sistemas-de-ecuaciones/0702-cuatro-ejercicios#.VCRICxZ8HA8+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=lytmH0wByIs&index=31&list=PL773F27163628CA1F
-|sinopsis=Ejercicios de ecuaciones de segundo grado en forma de fracciones algebraicas+|sinopsis=Resuelve:
 + 
 +a) <math>\cfrac{4}{x} - \cfrac{2x-1}{5}=2\;</math>
 + 
 +b) <math>\cfrac{1}{x-2} - \cfrac{2}{x-1}=\cfrac{2}{3}\;</math>
 + 
 +c) <math>\cfrac{x^2-x+1}{x+2}=2x+3\;</math>
 + 
 +d) <math>\cfrac{1}{x} + \cfrac{1}{3}=\cfrac{1}{x+5} - \cfrac{1}{2}\;</math>
}} }}
}} }}
{{p}} {{p}}
 +{{Videotutoriales|titulo=Ecuaciones de 2º grado que no requieren usar la fórmula general|enunciado=
{{Video_enlace_clasematicas {{Video_enlace_clasematicas
-|titulo1=Ecuaciones de 2º grado que no requieren usar la fórmula general+|titulo1=Tutorial 1
|duracion=12'51" |duracion=12'51"
|sinopsis=Tutorial en el que se explica la resolución de ecuaciones de 2º grado en donde no merece la pena utilizar la fórmula general de resolución. |sinopsis=Tutorial en el que se explica la resolución de ecuaciones de 2º grado en donde no merece la pena utilizar la fórmula general de resolución.
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=-FCMF9AO_RM&index=3&list=PLZNmE9BEzVInJZxxpaxecd3SH4TK5eggR |url1=https://www.youtube.com/watch?v=-FCMF9AO_RM&index=3&list=PLZNmE9BEzVInJZxxpaxecd3SH4TK5eggR
 +}}
 +{{Video_enlace_abel
 +|titulo1=Tutorial 2a
 +|duracion=11'36"
 +|sinopsis=A veces es posible resolver la ecuación de segundo grado por el llamado [https://www.youtube.com/watch?v=RChv5xhNTgY método de factorización] (nivel avanzado). Cuando no se pueda por este método recurriremos a la fórmula general (nivel básico). En este video puedes ver un ejemplo de cada método.
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=2fYqL5gqXOs
 +}}
 +{{Video_enlace_abel
 +|titulo1=Tutorial 2b
 +|duracion=11'36"
 +|sinopsis=Método de factorización usando las propiedades de las raíces de una ecuación de segundo grado. Aquí lo llama método del "aspa simple".
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=RChv5xhNTgY
 +}}
 +----
 +'''Por factorización:'''
 +
 +{{Video_enlace_virtual
 +|titulo1=Ejercicio 1
 +|duracion=3'41"
 +|sinopsis=Resuelve factorizando: <math>y^2=-14y-45\;</math>
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=R9hveCZT-0A&index=2&list=PLo7_lpX1yruP33hV_BwlUAVTVRoxjwk3z
 +}}
 +{{Video_enlace_virtual
 +|titulo1=Ejercicio 2
 +|duracion=3'30"
 +|sinopsis=Resuelve factorizando: <math>-x^2+5x-4=0\;</math>
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=t5LPIelh5Ws&list=PLo7_lpX1yruP33hV_BwlUAVTVRoxjwk3z&index=3
 +}}
 +{{Video_enlace_virtual
 +|titulo1=Ejercicio 3
 +|duracion=5'29"
 +|sinopsis=Resuelve factorizando: <math>x^2-2\sqrt{3}x=45\;</math>
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=hhMn1NGJCDI&list=PLo7_lpX1yruP33hV_BwlUAVTVRoxjwk3z&index=4
 +}}
 +{{Video_enlace_virtual
 +|titulo1=Ejercicio 4
 +|duracion=5'29"
 +|sinopsis=Resuelve factorizando: <math>y^2+ay-42a^2=0\;</math>
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=JN41G9P3zMk&index=5&list=PLo7_lpX1yruP33hV_BwlUAVTVRoxjwk3z
 +}}
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Ejercicio 5
 +|duracion=10'34"
 +|sinopsis=Resuelve las siguientes ecuaciones factorizadas:
 +
 +:a) <math>(2x-1)(x+4)\;</math>
 +
 +:b) <math>(x-5)(5x+2)\;</math>
 +|url1=https://youtu.be/YGwoljiY68s
 +}}
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Ejercicio 6
 +|duracion=6'25"
 +|sinopsis=Resuelve factorizando: <math>s^2-2s-35=0\;</math>
 +|url1=https://youtu.be/BKQAHSlgs7w
 +}}
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Ejercicio 7
 +|duracion=6'58"
 +|sinopsis=Resuelve factorizando: <math>6x^2-120x+600=0\;</math>
 +|url1=https://youtu.be/HkqYNX-porU
 +}}
 +----
 +'''Otras técnicas:'''
 +
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Ejercicio 1
 +|duracion=8´32"
 +|url1=https://youtu.be/JHo6IgmiilQ
 +|sinopsis=
 +:a) Resuelve <math>(x+3)^2-4=0\;</math>.
 +
 +:b) ¿Para qué valores de "x" la gráfica de <math>f(x)=(x-2)^2-9\;</math> interseca al eje X?
 +}}
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Ejercicio 2
 +|duracion=8´46"
 +|url1=https://youtu.be/0lh6mNgT3Sg
 +|sinopsis=Resuelve <math>\cfrac{1}{2}(x+5)^2+2=42.5\;</math>.
 +}}
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Ejercicio 3
 +|duracion=3´14"
 +|url1=https://youtu.be/j4FeJb8-mqE
 +|sinopsis=Resuelve <math>5(x+7)^2=245\;</math>.
 +}}
 +{{Video_enlace_virtual
 +|titulo1=Ejercicio 4
 +|duracion=6'08"
 +|sinopsis=Resuelve factorizando: <math>(2x-3)^2=4x-6\;</math>
 +|url1=https://youtu.be/kcGgw6p0qb4
 +}}
 +----
 +'''Completando cuadrados:'''
 +
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Ejercicio 1
 +|duracion=14´10"
 +|url1=https://youtu.be/CDzbgvT8Qf0
 +|sinopsis=Resuelve completando cuadrados:
 +
 +:a) <math>x^2-4x=5\;</math>
 +
 +:b) <math>10x^2-30x-8=0\;</math>
 +}}
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Ejercicio 2
 +|duracion=8´57"
 +|url1=https://youtu.be/D_O493ekOGM
 +|sinopsis=Resuelve completando cuadrados: <math>x^2-2x-8=0\;</math>
 +}}
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Ejercicio 3
 +|duracion=5´47"
 +|url1=https://youtu.be/0JMEasgWhNc
 +|sinopsis=Resuelve completando cuadrados: <math>4x^2+40x-300=0\;</math>
 +}}
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Ejercicio 4
 +|duracion=5´26"
 +|url1=https://youtu.be/_SgWSATN9kg
 +|sinopsis=Resuelve completando cuadrados: <math>4x^2+40x+280=0\;</math>
 +}}
 +}}
 +{{Actividades|titulo=Ecuaciones de 2º grado que no requieren usar la fórmula general|enunciado=
 +'''Por factorización:'''
 +
 +{{AI_cidead
 +|titulo1=Actividad 1
 +|descripcion=Actividades en la que aprenderás a resolver ecuaciones de segundo grado del tipo (x-a)(x-b)=0.
 +|url1=http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/3esomatematicas/3quincena3/3quincena3_contenidos_3g.htm
 +}}
 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Actividad 2
 +|descripcion=Resolver ecuaciones de segundo grado por factorización.
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/algebra/quadratics/solving-quadratic-equations-by-factoring/a/solving-quadratic-equations-by-factoring
 +}}
 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Actividad 3
 +|descripcion=Resolver ecuaciones de segundo grado por factorización.
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/algebra/quadratics/solving-quadratic-equations-by-factoring/a/solving-quadratics-by-factoring-review
 +}}
 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Autoevaluación 1
 +|descripcion=Resolver ecuaciones de segundo grado factorizadas.
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/algebra/quadratics/factored-form-alg1/e/zero-product-property
 +}}
 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Autoevaluación 2
 +|descripcion=Resolver ecuaciones de segundo grado por factorización.
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/algebra/quadratics/solving-quadratic-equations-by-factoring/e/solving-quadratics-by-using-structure
 +}}
 +----
 +'''Otras técnicas:'''
 +
 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Autoevaluación 1
 +|descripcion=Resolver ecuaciones cuadráticas por medio de raíces cuadradas.
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/algebra/quadratics/quadratics-square-root/e/solving_quadratics_by_taking_the_square_root
 +}}
 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Autoevaluación 2
 +|descripcion=Estrategia para resolver ecuaciones cuadráticas por medio de raíces cuadradas.
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/algebra/quadratics/quadratics-square-root/e/understanding-the-equation-solving-process
 +}}
 +
 +----
 +'''Completando cuadrados:'''
 +
 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Actividad 1
 +|descripcion=Resolver ecuaciones de segundo grado completando cuadrados.
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/algebra/quadratics/solving-quadratics-by-completing-the-square/a/solving-quadratic-equations-by-completing-the-square
 +}}
 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Autoevaluación 1
 +|descripcion=Introducción a la resolución de ecuaciones de segundo grado completando cuadrados.
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/algebra/quadratics/solving-quadratics-by-completing-the-square/e/completing_the_square_in_quadratic_expressions
 +}}
 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Autoevaluación 2
 +|descripcion=Resolver ecuaciones de segundo grado completando cuadrados.
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/algebra/quadratics/solving-quadratics-by-completing-the-square/e/completing_the_square_1
 +}}
 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Autoevaluación 3
 +|descripcion=Resolver ecuaciones de segundo grado completando cuadrados.
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/algebra/quadratics/solving-quadratics-by-completing-the-square/e/completing_the_square_2
 +}}
}} }}
{{p}} {{p}}
Línea 162: Línea 766:
}} }}
{{p}} {{p}}
 +{{AI_cidead
 +|titulo1=Resolución de problemas con ecuaciones de segundo grado
 +|descripcion=Actividades en la que aprenderás a resolver problemas de varios tipos usando ecuaciones de segundo grado.
 +|url1=http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/3esomatematicas/3quincena3/3quincena3_contenidos_3h.htm
 +}}
{{problemas de ecuaciones de segundo grado}} {{problemas de ecuaciones de segundo grado}}
===Ejercicios propuestos=== ===Ejercicios propuestos===
Línea 172: Línea 781:
}} }}
{{p}} {{p}}
-==Apéndice==+==Ejercicios==
 +{{Videotutoriales|titulo=Ejercicios
 +|enunciado=
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Ejercicio 1
 +|duracion=6´30
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=PhcEn4o4rdM&index=32&list=PL773F27163628CA1F
 +|sinopsis=Determine ecuaciones de segundo grado cuyas raíces son las indicadas en cada caso:
 + 
 +:1) <math>3 \ \ y \ \ 7\;</math>
 +:2) <math>1 \ \ y \ \ -\cfrac{2}{3}\;</math>
 +:3) <math>2+\sqrt{7} \ \ y \ \ 2-\sqrt{7}\;</math>
 +:4) <math>0 \ \ y \ \ -3\;</math>
 +:5) <math>-4 \ \ doble\;</math>
 + 
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Ejercicio 2
 +|duracion=4´52"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=m6V652G-nUY&index=33&list=PL773F27163628CA1F
 +|sinopsis=
 +1) Halle "''m''" y "''n''" sabiendo que las raíces de <math>x^2+mx+n=0\;</math> son -1 y 6.
 + 
 +2) Halle ''m'' si <math>3x^2-8mx-3m=0\;</math> tiene una raíz doble.
 + 
 +3) Determine dos enteros consecutivos cuyo producto sea 182.
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Ejercicio 3
 +|duracion=8´28"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=k1GFGOmPWhY&index=34&list=PL773F27163628CA1F
 +|sinopsis=
 +1) Halle "''m''" sabiendo que la diferencia de las raíces de <math>x^2+mx+24=0\;</math> es 5.
 + 
 +2) Halle "''m''" sabiendo que una de las raíces de <math>9x^2-18(m-1)x=8m-24\;</math> es doble que la otra.
 +}}
 +{{Video_enlace_pildoras
 +|titulo1=Ejercicios 4
 +|duracion=18'29"
 +|sinopsis=
 +:1) <math>\cfrac{x^2+1}{3}-\cfrac{x(x-1)}{2}=-\cfrac{1}{3}\;</math>
 + 
 +:2) <math>4(2x+4)-8x=(x-2)^2\;</math>
 + 
 +:3) Halla dos números consecutivos cuyo producto sea 182.
 + 
 +:4) La suma de los cuadrados de dos números consecutivos es 181. Halla dichos números.
 + 
 +|url1=https://youtu.be/VT0G1q8MSLU?list=PLwCiNw1sXMSCRy5LXaPOVwNMHxxxvNk0Z
 +}}
 +}}
 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Actividad
 +|descripcion=Actividades sobre ecuaciones de segundo grado.
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/algebra/quadratics/quadratics-square-root/a/solving-quadratic-equations-by-taking-square-roots
 +}}
 +{{AI_melide
 +|titulo1=Autoevaluación
 +|descripcion=Autoevaluación sobre ecuaciones de segundo grado.
 +|url1=http://maralboran.org/web_ma/Melide/Ecuaciones/Ejercicios_3.html
 +}}
[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Álgebra]] [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Álgebra]]

Revisión actual

Tabla de contenidos

[esconder]

(Pág. 108)

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Ecuación de segundo grado

  • Una ecuación de segundo grado con una incógnita, x\;\!, es aquella que tiene o se puede reducir a la siguiente expresión, que llamaremos forma general.

ax^2+bx+c=0, \quad a\ne 0
  • Si algún coeficiente,"b" o "c", es cero la ecuación diremos que es incompleta. En caso contrario diremos que es completa.

El siguiente videotutorial condensa casi todo lo que se va a tratar en este tema:

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Ecuación de segundo grado completa

ejercicio

Fórmula general

Las soluciones de la ecuación de segundo grado

ax^2+bx+c=0, \quad a\ne 0

son:

x=\cfrac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}

donde el signo (\pm) significa que una solución se obtiene con el signo (+)\;\! y otra con el signo (-)\;\!.

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Número de soluciones de la ecuación de segundo grado

Llamamos discriminante de una ecuación de segundo grado, ax^2+bx+c=0 \;, al número:

\triangle = b^2-4ac

ejercicio

Proposición

Sea \triangle el discriminante de una ecuación de segundo grado:

  • Si \triangle <0, la ecuación no tiene solución.
  • Si \triangle >0, la ecuación tiene dos soluciones.
  • Si \triangle =0, la ecuación tiene una solución (doble).

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Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Resolución de ecuaciones de segundo grado

(Pág. 108)

1a,c,f,h

1b,d,e,g

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Ecuaciones de segundo grado incompletas

Una ecuación de segundo grado, ax^2+bx+c=0\;\!, es incompleta, si b=0\; ó c=0\;:

  • Si b=0:~ ax^2+c=0
  • Si c=0:~ ax^2+bx=0

ejercicio

Resolución de las ecuaciones de segundo grado incompletas

  • En el caso b=0~ (ax^2+c=0 \;), las soluciones se obtienen despejando x\;:
ax^2+c=0 \ \rightarrow \ ax^2=-c \ \rightarrow \ x^2=-\cfrac{c}{a} \ \rightarrow \ x=\pm \sqrt {-\cfrac{c}{a}}
  • En el caso c=0~ (ax^2+bx=0), las soluciones se obtienen sacando factor común e igualando a cero cada factor:
ax^2+bx =0 \ \rightarrow \ x \, (ax+b)=0 \ \rightarrow \ \left \{ \begin{matrix} x_1= ~0~~ \\ x_2=-\cfrac{b}{a} \end{matrix} \right .

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Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Ecuaciones de segundo grado incompletas

(Pág. 109)

2

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Propiedades de las raíces de los polinomios de segundo grado

ejercicio

Propiedades

Si x_1\; y x_2\; son las raíces de la ecuación de segundo grado ax^2+bx+c=0\;, se cumplen las siguientes propiedades:

  • La suma de la raíces cumple:

x_1+x_2=-\cfrac{b}{a}\;

  • El producto de la raíces cumple:

x_1 \cdot x_2=\cfrac{c}{a}\;

  • La ecuación de segundo grado de partida es equivalente (mismas soluciones) a la siguiente ecuación factorizada:

(x-x_1)(x-x_2)=0\;

  • Si llamamos "s" a la suma de la raíces y "p" al producto, también es equivalente a:

x^2-sx+p=0\;

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Factorización de polinomios de segundo grado

La tercera de las propiedades anteriores nos permite factorizar polinomios de segundo grado a partir de sus raíces:

Las dos primeras propiedades nos permiten factorizar algunos polinomios de segundo grado sin necesidad de utilizar la fórmula general para hallar las raíces:

A continuación veremos otro método para factorizar algunos polinomios de segundo grado:

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Reglas para resolver ecuaciones de segundo grado

ejercicio

Procedimiento

Para resolver una ecuación de segundo grado, en general, se siguen los siguiente pasos:

  1. Lo primero que se suele hacer es ponerla en forma general. Para ello será necesario quitar denominadores, quitar paréntesis, simplificar, transponer y ordenar los términos.
  2. Una vez en forma general, si la ecuación es incompleta aplicaremos las técnicas explicadas para tal caso. Si la ecuación es completa usaremos la fórmula general.
  3. Una vez resuelta, opcionalmente podemos comprobar las soluciones, sustituyendo en la ecuación de partida.

ejercicio

Ejercicios resueltos:

Resuelve las siguientes ecuaciones:

1. (2x-1)(3x-2)+(2x-3)^2=3(4x-4)-(x-2)^2+3\,

2. \cfrac{x^2+3}{6}+\cfrac{x^2-7}{4}=\cfrac{(x+4)^2}{2}-\cfrac{1-9x}{12}

3. \cfrac{x+3}{2}-\cfrac{1}{x}=\cfrac{x-3}{x}+\cfrac{7-x^2}{2x}

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Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Resolución de problemas mediante ecuaciones de segundo grado

(Pág. 110-111)

3a,b; 4

3c,d

[editar]

Resolución de problemas mediante ecuaciones de segundo grado

ejercicio

Ejercicios resueltos:

  1. En un triángulo rectángulo, un cateto mide 2 cm menos que la hipotenusa y 14 cm más que el otro cateto. Calcular la longitud de los tres lados.
  2. Con 14 m de listones puedo colocar un rodapié a lo largo de toda una habitación rectangular, sin que sobre nada. ¿Qué dimensiones tiene la habitación sabiendo que su superficie es de 12 m2?

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Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Resolución de problemas mediante ecuaciones de segundo grado

(Pág. 112)

1, 2

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Ejercicios

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