Ecuaciones de segundo grado (3ºESO Académicas)
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{{p}} | {{p}} | ||
{{Videotutoriales|titulo=Propiedades de las raíces de los polinomios de segundo grado|enunciado= | {{Videotutoriales|titulo=Propiedades de las raíces de los polinomios de segundo grado|enunciado= | ||
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+ | |sinopsis=Obtención de la ecuación de segundo grado a partir de sus raíces usando la fórmula <math>x^2-sx+p=0\;</math>. | ||
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+ | ¿Para qué valor de "m", en la ecuación <math>8x^2-mx+3=0\;</math>, las raíces se diferencian en 1/2? | ||
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}} | }} | ||
}} | }} | ||
Línea 88: | Línea 104: | ||
===Factorización de polinomios de segundo grado=== | ===Factorización de polinomios de segundo grado=== | ||
La tercera de las propiedades anteriores nos permite factorizar polinomios de segundo grado a partir de sus raíces: | La tercera de las propiedades anteriores nos permite factorizar polinomios de segundo grado a partir de sus raíces: | ||
- | {{Videotutoriales|titulo=Factorización de polinomios de segundo grado|enunciado= | + | {{Videotutoriales|titulo=Factorización de polinomios de segundo grado (usando sus raíces)|enunciado= |
{{Video_enlace_tutomate | {{Video_enlace_tutomate | ||
|titulo1=Tutorial | |titulo1=Tutorial | ||
Línea 112: | Línea 128: | ||
}} | }} | ||
{{p}} | {{p}} | ||
- | Las dos primeras propiedades nos permiten factorizar algunos polinomios de segundo grado de forma "artesanal", sin necesidad de utilizar la fórmula general para hallar las raíces: | + | Las dos primeras propiedades nos permiten factorizar algunos polinomios de segundo grado sin necesidad de utilizar la fórmula general para hallar las raíces: |
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{{Videotutoriales|titulo=Factorización de polinomios de segundo grado (usando s y p)|enunciado= | {{Videotutoriales|titulo=Factorización de polinomios de segundo grado (usando s y p)|enunciado= | ||
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+ | |celda2= | ||
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- | |celda2= | ||
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+ | |||
+ | :e) <math>x^2-x-56\;</math> | ||
+ | |||
+ | :f) <math>-x^2-5x+24\;</math> | ||
+ | |||
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}} | }} | ||
}} | }} | ||
+ | ---- | ||
+ | {{tabla50|celda1= | ||
+ | '''Nivel avanzado:''' | ||
- | A continuación veremos otros métodos "artesanales" para factorizar algunos polinomios de segundo grado: | ||
- | |||
- | {{Videotutoriales|titulo=Factorización de polinomios de segundo grado (otro método)|enunciado= | ||
{{Video_enlace_virtual | {{Video_enlace_virtual | ||
|titulo1=Ejercicio 1 | |titulo1=Ejercicio 1 | ||
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}} | }} | ||
+ | '''Nivel avanzado (por agrupación):''' | ||
+ | |||
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+ | |celda2='''Nivel avanzado (factor común + agrupación):''' | ||
+ | |||
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+ | |||
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+ | {{Video_enlace_khan | ||
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+ | |||
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+ | }} | ||
+ | '''Nivel avanzado (polinomios cuadráticos de 2 variables):''' | ||
+ | |||
+ | {{Video_enlace_khan | ||
+ | |titulo1=Ejercicio 1 | ||
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+ | |||
+ | |url1=https://youtu.be/d_V7iJ1iaWY | ||
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_khan | ||
+ | |titulo1=Ejercicio 2 | ||
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+ | |sinopsis=Factoriza: <math>30x^2+11xy+y^2\;</math> | ||
+ | |||
+ | |url1=https://youtu.be/kR3UnTMYOc8 | ||
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_khan | ||
+ | |titulo1=Ejercicio 3 | ||
+ | |duracion=3'47" | ||
+ | |sinopsis=Factoriza: <math>5rs+25r+-3s-15\;</math> | ||
+ | |||
+ | |url1=https://youtu.be/rhNQoS9eGss | ||
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+ | }} | ||
+ | }} | ||
+ | {{Actividades|titulo=Factorización de polinomios de segundo grado (usando s y p)|enunciado= | ||
+ | {{AI_Khan | ||
+ | |titulo1=Actividad | ||
+ | |descripcion=Factorizar cuadráticas usando "s y "p" (coeficiente principal = 1). | ||
+ | |url1=http://es.khanacademy.org/math/algebra/polynomial-factorization/factoring-quadratics-1/a/factoring-quadratics-leading-coefficient-1 | ||
+ | }} | ||
+ | {{AI_Khan | ||
+ | |titulo1=Autoevaluación | ||
+ | |descripcion=Factorizar cuadráticas usando "s y "p" (coeficiente principal = 1). | ||
+ | |url1=http://es.khanacademy.org/math/algebra/polynomial-factorization/factoring-quadratics-1/e/factoring_polynomials_1 | ||
+ | }} | ||
+ | ---- | ||
+ | '''Avanzado:''' | ||
+ | |||
+ | {{AI_Khan | ||
+ | |titulo1=Actividad 1 | ||
+ | |descripcion=Factorizar polinomios de segundo grado por agrupación. | ||
+ | |url1=http://es.khanacademy.org/math/algebra/polynomial-factorization/factoring-quadratics-2/a/factoring-by-grouping | ||
+ | }} | ||
+ | {{AI_Khan | ||
+ | |titulo1=Actividad 2 | ||
+ | |descripcion=Factorizar cuadráticas usando "s y "p" (coeficiente principal distinto de 1). | ||
+ | |url1=http://es.khanacademy.org/math/algebra/polynomial-factorization/factoring-quadratics-2/a/factoring-quadratics-leading-coefficient-not-1 | ||
+ | }} | ||
+ | {{AI_Khan | ||
+ | |titulo1=Autoevaluación 1 | ||
+ | |descripcion=Factoriza polinomios: métodos cuadráticos | ||
+ | |url1=http://es.khanacademy.org/math/algebra/polynomial-factorization/factoring-polynomials-2-quadratic-forms/e/factoring_polynomials_2 | ||
+ | }} | ||
+ | {{AI_Khan | ||
+ | |titulo1=Autoevaluación 2 | ||
+ | |descripcion=Factoriza polinomios: métodos cuadráticos | ||
+ | |url1=http://es.khanacademy.org/math/algebra/polynomial-factorization/factoring-polynomials-2-quadratic-forms/e/factoring_polynomials_with_two_variables | ||
+ | }} | ||
+ | }} | ||
+ | {{p}} | ||
+ | A continuación veremos otro método para factorizar algunos polinomios de segundo grado: | ||
+ | |||
{{Videotutoriales|titulo=Factorización de polinomios de segundo grado (completación de cuadrados perfectos)|enunciado= | {{Videotutoriales|titulo=Factorización de polinomios de segundo grado (completación de cuadrados perfectos)|enunciado= | ||
{{Video_enlace_virtual | {{Video_enlace_virtual | ||
Línea 300: | Línea 425: | ||
}} | }} | ||
}} | }} | ||
- | |||
- | |||
==Reglas para resolver ecuaciones de segundo grado== | ==Reglas para resolver ecuaciones de segundo grado== | ||
- | {{Teorema_sin_demo|titulo=Procedimiento|enunciado=Para resolver una ecuación de segundo grado sigue los siguiente pasos: | + | {{Teorema_sin_demo|titulo=Procedimiento|enunciado=Para resolver una ecuación de segundo grado, en general, se siguen los siguiente pasos: |
- | #Lo primero que hay que hacer es ponerla en forma general. Para ello será necesario quitar denominadores, quitar paréntesis, simplificar, transponer y ordenar los términos. | + | #Lo primero que se suele hacer es ponerla en forma general. Para ello será necesario quitar denominadores, quitar paréntesis, simplificar, transponer y ordenar los términos. |
#Una vez en forma general, si la ecuación es incompleta aplicaremos las técnicas explicadas para tal caso. Si la ecuación es completa usaremos la fórmula general. | #Una vez en forma general, si la ecuación es incompleta aplicaremos las técnicas explicadas para tal caso. Si la ecuación es completa usaremos la fórmula general. | ||
#Una vez resuelta, opcionalmente podemos comprobar las soluciones, sustituyendo en la ecuación de partida. | #Una vez resuelta, opcionalmente podemos comprobar las soluciones, sustituyendo en la ecuación de partida. | ||
}} | }} | ||
+ | {{p}} | ||
+ | {{Warning|titulo=Aviso:|texto=Las reglas anteriores son aplicables en la mayoría de los casos. Sin embargo, hay casos, como cuando la ecuación está factorizada e igualada a cero, en los que no procederemos siguiendo los pasos anteriores, sino que simplemente igualaremos cada uno de los factores a cero y resolveremos las ecuaciones resultantes. En otros casos también se recurre a otras técnicas más específicas que no requieren el uso de la fórmula general.}} | ||
{{p}} | {{p}} | ||
{{Ejemplo|titulo=Ejercicios resueltos:|enunciado=Resuelve las siguientes ecuaciones: | {{Ejemplo|titulo=Ejercicios resueltos:|enunciado=Resuelve las siguientes ecuaciones: | ||
Línea 374: | Línea 499: | ||
}} | }} | ||
- | {{Video_enlace_matemovil | + | {{Video_enlace_khan |
|titulo1=Ejercicio 5 | |titulo1=Ejercicio 5 | ||
|duracion=6'47" | |duracion=6'47" | ||
Línea 385: | Línea 510: | ||
}} | }} | ||
---- | ---- | ||
- | Con fracciones algebraicas: | + | '''Con fracciones algebraicas:''' |
{{Video_enlace_julioprofe | {{Video_enlace_julioprofe | ||
Línea 422: | Línea 547: | ||
}} | }} | ||
{{p}} | {{p}} | ||
+ | {{Videotutoriales|titulo=Ecuaciones de 2º grado que no requieren usar la fórmula general|enunciado= | ||
{{Video_enlace_clasematicas | {{Video_enlace_clasematicas | ||
- | |titulo1=Ecuaciones de 2º grado que no requieren usar la fórmula general | + | |titulo1=Tutorial 1 |
|duracion=12'51" | |duracion=12'51" | ||
|sinopsis=Tutorial en el que se explica la resolución de ecuaciones de 2º grado en donde no merece la pena utilizar la fórmula general de resolución. | |sinopsis=Tutorial en el que se explica la resolución de ecuaciones de 2º grado en donde no merece la pena utilizar la fórmula general de resolución. | ||
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=-FCMF9AO_RM&index=3&list=PLZNmE9BEzVInJZxxpaxecd3SH4TK5eggR | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=-FCMF9AO_RM&index=3&list=PLZNmE9BEzVInJZxxpaxecd3SH4TK5eggR | ||
}} | }} | ||
+ | {{Video_enlace_abel | ||
+ | |titulo1=Tutorial 2a | ||
+ | |duracion=11'36" | ||
+ | |sinopsis=A veces es posible resolver la ecuación de segundo grado por el llamado [https://www.youtube.com/watch?v=RChv5xhNTgY método de factorización] (nivel avanzado). Cuando no se pueda por este método recurriremos a la fórmula general (nivel básico). En este video puedes ver un ejemplo de cada método. | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=2fYqL5gqXOs | ||
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_abel | ||
+ | |titulo1=Tutorial 2b | ||
+ | |duracion=11'36" | ||
+ | |sinopsis=Método de factorización usando las propiedades de las raíces de una ecuación de segundo grado. Aquí lo llama método del "aspa simple". | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=RChv5xhNTgY | ||
+ | }} | ||
+ | ---- | ||
+ | '''Por factorización:''' | ||
+ | |||
+ | {{Video_enlace_virtual | ||
+ | |titulo1=Ejercicio 1 | ||
+ | |duracion=3'41" | ||
+ | |sinopsis=Resuelve factorizando: <math>y^2=-14y-45\;</math> | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=R9hveCZT-0A&index=2&list=PLo7_lpX1yruP33hV_BwlUAVTVRoxjwk3z | ||
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_virtual | ||
+ | |titulo1=Ejercicio 2 | ||
+ | |duracion=3'30" | ||
+ | |sinopsis=Resuelve factorizando: <math>-x^2+5x-4=0\;</math> | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=t5LPIelh5Ws&list=PLo7_lpX1yruP33hV_BwlUAVTVRoxjwk3z&index=3 | ||
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_virtual | ||
+ | |titulo1=Ejercicio 3 | ||
+ | |duracion=5'29" | ||
+ | |sinopsis=Resuelve factorizando: <math>x^2-2\sqrt{3}x=45\;</math> | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=hhMn1NGJCDI&list=PLo7_lpX1yruP33hV_BwlUAVTVRoxjwk3z&index=4 | ||
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_virtual | ||
+ | |titulo1=Ejercicio 4 | ||
+ | |duracion=5'29" | ||
+ | |sinopsis=Resuelve factorizando: <math>y^2+ay-42a^2=0\;</math> | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=JN41G9P3zMk&index=5&list=PLo7_lpX1yruP33hV_BwlUAVTVRoxjwk3z | ||
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_khan | ||
+ | |titulo1=Ejercicio 5 | ||
+ | |duracion=10'34" | ||
+ | |sinopsis=Resuelve las siguientes ecuaciones factorizadas: | ||
+ | |||
+ | :a) <math>(2x-1)(x+4)\;</math> | ||
+ | |||
+ | :b) <math>(x-5)(5x+2)\;</math> | ||
+ | |url1=https://youtu.be/YGwoljiY68s | ||
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_khan | ||
+ | |titulo1=Ejercicio 6 | ||
+ | |duracion=6'25" | ||
+ | |sinopsis=Resuelve factorizando: <math>s^2-2s-35=0\;</math> | ||
+ | |url1=https://youtu.be/BKQAHSlgs7w | ||
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_khan | ||
+ | |titulo1=Ejercicio 7 | ||
+ | |duracion=6'58" | ||
+ | |sinopsis=Resuelve factorizando: <math>6x^2-120x+600=0\;</math> | ||
+ | |url1=https://youtu.be/HkqYNX-porU | ||
+ | }} | ||
+ | ---- | ||
+ | '''Otras técnicas:''' | ||
+ | |||
+ | {{Video_enlace_khan | ||
+ | |titulo1=Ejercicio 1 | ||
+ | |duracion=8´32" | ||
+ | |url1=https://youtu.be/JHo6IgmiilQ | ||
+ | |sinopsis= | ||
+ | :a) Resuelve <math>(x+3)^2-4=0\;</math>. | ||
+ | |||
+ | :b) ¿Para qué valores de "x" la gráfica de <math>f(x)=(x-2)^2-9\;</math> interseca al eje X? | ||
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_khan | ||
+ | |titulo1=Ejercicio 2 | ||
+ | |duracion=8´46" | ||
+ | |url1=https://youtu.be/0lh6mNgT3Sg | ||
+ | |sinopsis=Resuelve <math>\cfrac{1}{2}(x+5)^2+2=42.5\;</math>. | ||
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_khan | ||
+ | |titulo1=Ejercicio 3 | ||
+ | |duracion=3´14" | ||
+ | |url1=https://youtu.be/j4FeJb8-mqE | ||
+ | |sinopsis=Resuelve <math>5(x+7)^2=245\;</math>. | ||
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_virtual | ||
+ | |titulo1=Ejercicio 4 | ||
+ | |duracion=6'08" | ||
+ | |sinopsis=Resuelve factorizando: <math>(2x-3)^2=4x-6\;</math> | ||
+ | |url1=https://youtu.be/kcGgw6p0qb4 | ||
+ | }} | ||
+ | ---- | ||
+ | '''Completando cuadrados:''' | ||
+ | |||
+ | {{Video_enlace_khan | ||
+ | |titulo1=Ejercicio 1 | ||
+ | |duracion=14´10" | ||
+ | |url1=https://youtu.be/CDzbgvT8Qf0 | ||
+ | |sinopsis=Resuelve completando cuadrados: | ||
+ | |||
+ | :a) <math>x^2-4x=5\;</math> | ||
+ | |||
+ | :b) <math>10x^2-30x-8=0\;</math> | ||
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_khan | ||
+ | |titulo1=Ejercicio 2 | ||
+ | |duracion=8´57" | ||
+ | |url1=https://youtu.be/D_O493ekOGM | ||
+ | |sinopsis=Resuelve completando cuadrados: <math>x^2-2x-8=0\;</math> | ||
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_khan | ||
+ | |titulo1=Ejercicio 3 | ||
+ | |duracion=5´47" | ||
+ | |url1=https://youtu.be/0JMEasgWhNc | ||
+ | |sinopsis=Resuelve completando cuadrados: <math>4x^2+40x-300=0\;</math> | ||
+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_khan | ||
+ | |titulo1=Ejercicio 4 | ||
+ | |duracion=5´26" | ||
+ | |url1=https://youtu.be/_SgWSATN9kg | ||
+ | |sinopsis=Resuelve completando cuadrados: <math>4x^2+40x+280=0\;</math> | ||
+ | }} | ||
+ | }} | ||
+ | {{Actividades|titulo=Ecuaciones de 2º grado que no requieren usar la fórmula general|enunciado= | ||
+ | '''Por factorización:''' | ||
+ | |||
{{AI_cidead | {{AI_cidead | ||
- | |titulo1=Resolución de ecuaciones de segundo grado factorizadas | + | |titulo1=Actividad 1 |
|descripcion=Actividades en la que aprenderás a resolver ecuaciones de segundo grado del tipo (x-a)(x-b)=0. | |descripcion=Actividades en la que aprenderás a resolver ecuaciones de segundo grado del tipo (x-a)(x-b)=0. | ||
|url1=http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/3esomatematicas/3quincena3/3quincena3_contenidos_3g.htm | |url1=http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/3esomatematicas/3quincena3/3quincena3_contenidos_3g.htm | ||
+ | }} | ||
+ | {{AI_Khan | ||
+ | |titulo1=Actividad 2 | ||
+ | |descripcion=Resolver ecuaciones de segundo grado por factorización. | ||
+ | |url1=http://es.khanacademy.org/math/algebra/quadratics/solving-quadratic-equations-by-factoring/a/solving-quadratic-equations-by-factoring | ||
+ | }} | ||
+ | {{AI_Khan | ||
+ | |titulo1=Actividad 3 | ||
+ | |descripcion=Resolver ecuaciones de segundo grado por factorización. | ||
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+ | }} | ||
+ | {{AI_Khan | ||
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+ | {{AI_Khan | ||
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+ | |descripcion=Resolver ecuaciones de segundo grado por factorización. | ||
+ | |url1=http://es.khanacademy.org/math/algebra/quadratics/solving-quadratic-equations-by-factoring/e/solving-quadratics-by-using-structure | ||
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+ | ---- | ||
+ | '''Otras técnicas:''' | ||
+ | |||
+ | {{AI_Khan | ||
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+ | |descripcion=Resolver ecuaciones cuadráticas por medio de raíces cuadradas. | ||
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+ | }} | ||
+ | {{AI_Khan | ||
+ | |titulo1=Autoevaluación 2 | ||
+ | |descripcion=Estrategia para resolver ecuaciones cuadráticas por medio de raíces cuadradas. | ||
+ | |url1=http://es.khanacademy.org/math/algebra/quadratics/quadratics-square-root/e/understanding-the-equation-solving-process | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | '''Completando cuadrados:''' | ||
+ | |||
+ | {{AI_Khan | ||
+ | |titulo1=Actividad 1 | ||
+ | |descripcion=Resolver ecuaciones de segundo grado completando cuadrados. | ||
+ | |url1=http://es.khanacademy.org/math/algebra/quadratics/solving-quadratics-by-completing-the-square/a/solving-quadratic-equations-by-completing-the-square | ||
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+ | {{AI_Khan | ||
+ | |titulo1=Autoevaluación 1 | ||
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+ | {{AI_Khan | ||
+ | |titulo1=Autoevaluación 2 | ||
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+ | {{AI_Khan | ||
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+ | |descripcion=Resolver ecuaciones de segundo grado completando cuadrados. | ||
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+ | }} | ||
}} | }} | ||
{{p}} | {{p}} | ||
Línea 478: | Línea 788: | ||
|duracion=6´30 | |duracion=6´30 | ||
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=PhcEn4o4rdM&index=32&list=PL773F27163628CA1F | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=PhcEn4o4rdM&index=32&list=PL773F27163628CA1F | ||
- | |sinopsis=Videotutorial. | + | |sinopsis=Determine ecuaciones de segundo grado cuyas raíces son las indicadas en cada caso: |
+ | |||
+ | :1) <math>3 \ \ y \ \ 7\;</math> | ||
+ | :2) <math>1 \ \ y \ \ -\cfrac{2}{3}\;</math> | ||
+ | :3) <math>2+\sqrt{7} \ \ y \ \ 2-\sqrt{7}\;</math> | ||
+ | :4) <math>0 \ \ y \ \ -3\;</math> | ||
+ | :5) <math>-4 \ \ doble\;</math> | ||
+ | |||
}} | }} | ||
- | {{p}} | ||
{{Video_enlace_fonemato | {{Video_enlace_fonemato | ||
|titulo1=Ejercicio 2 | |titulo1=Ejercicio 2 | ||
|duracion=4´52" | |duracion=4´52" | ||
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=m6V652G-nUY&index=33&list=PL773F27163628CA1F | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=m6V652G-nUY&index=33&list=PL773F27163628CA1F | ||
- | |sinopsis=Videotutorial. | + | |sinopsis= |
+ | 1) Halle "''m''" y "''n''" sabiendo que las raíces de <math>x^2+mx+n=0\;</math> son -1 y 6. | ||
+ | |||
+ | 2) Halle ''m'' si <math>3x^2-8mx-3m=0\;</math> tiene una raíz doble. | ||
+ | |||
+ | 3) Determine dos enteros consecutivos cuyo producto sea 182. | ||
}} | }} | ||
- | {{p}} | ||
{{Video_enlace_fonemato | {{Video_enlace_fonemato | ||
|titulo1=Ejercicio 3 | |titulo1=Ejercicio 3 | ||
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|url1=https://www.youtube.com/watch?v=k1GFGOmPWhY&index=34&list=PL773F27163628CA1F | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=k1GFGOmPWhY&index=34&list=PL773F27163628CA1F | ||
- | |sinopsis=Videotutorial. | + | |sinopsis= |
+ | 1) Halle "''m''" sabiendo que la diferencia de las raíces de <math>x^2+mx+24=0\;</math> es 5. | ||
+ | |||
+ | 2) Halle "''m''" sabiendo que una de las raíces de <math>9x^2-18(m-1)x=8m-24\;</math> es doble que la otra. | ||
}} | }} | ||
+ | {{Video_enlace_pildoras | ||
+ | |titulo1=Ejercicios 4 | ||
+ | |duracion=18'29" | ||
+ | |sinopsis= | ||
+ | :1) <math>\cfrac{x^2+1}{3}-\cfrac{x(x-1)}{2}=-\cfrac{1}{3}\;</math> | ||
+ | |||
+ | :2) <math>4(2x+4)-8x=(x-2)^2\;</math> | ||
+ | |||
+ | :3) Halla dos números consecutivos cuyo producto sea 182. | ||
+ | |||
+ | :4) La suma de los cuadrados de dos números consecutivos es 181. Halla dichos números. | ||
+ | |||
+ | |url1=https://youtu.be/VT0G1q8MSLU?list=PLwCiNw1sXMSCRy5LXaPOVwNMHxxxvNk0Z | ||
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+ | }} | ||
+ | {{AI_Khan | ||
+ | |titulo1=Actividad | ||
+ | |descripcion=Actividades sobre ecuaciones de segundo grado. | ||
+ | |url1=http://es.khanacademy.org/math/algebra/quadratics/quadratics-square-root/a/solving-quadratic-equations-by-taking-square-roots | ||
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{{AI_melide | {{AI_melide | ||
|titulo1=Autoevaluación | |titulo1=Autoevaluación | ||
|descripcion=Autoevaluación sobre ecuaciones de segundo grado. | |descripcion=Autoevaluación sobre ecuaciones de segundo grado. | ||
- | |url1=http://www.edu.xunta.gal/centros/iesmelide/aulavirtual2/pluginfile.php/2749/mod_imscp/content/1/ejercicios3.html | + | |url1=http://maralboran.org/web_ma/Melide/Ecuaciones/Ejercicios_3.html |
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[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Álgebra]] | [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Álgebra]] |
Revisión actual
Tabla de contenidos[esconder] |
(Pág. 108)
Ecuación de segundo grado
- Una ecuación de segundo grado con una incógnita, , es aquella que tiene o se puede reducir a la siguiente expresión, que llamaremos forma general.
- Si algún coeficiente,"b" o "c", es cero la ecuación diremos que es incompleta. En caso contrario diremos que es completa.
El siguiente videotutorial condensa casi todo lo que se va a tratar en este tema:
Ecuación de segundo grado completa
Fórmula general
Las soluciones de la ecuación de segundo grado
son:
donde el signo significa que una solución se obtiene con el signo y otra con el signo .
Número de soluciones de la ecuación de segundo grado
Llamamos discriminante de una ecuación de segundo grado, , al número:
Proposición
Sea el discriminante de una ecuación de segundo grado:
- Si , la ecuación no tiene solución.
- Si , la ecuación tiene dos soluciones.
- Si , la ecuación tiene una solución (doble).
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Resolución de ecuaciones de segundo grado |
Ecuaciones de segundo grado incompletas
Una ecuación de segundo grado, , es incompleta, si ó :
- Si
- Si
Resolución de las ecuaciones de segundo grado incompletas
- En el caso , las soluciones se obtienen despejando :
- En el caso , las soluciones se obtienen sacando factor común e igualando a cero cada factor:
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Ecuaciones de segundo grado incompletas |
Propiedades de las raíces de los polinomios de segundo grado
Propiedades
Si y son las raíces de la ecuación de segundo grado , se cumplen las siguientes propiedades:
- La suma de la raíces cumple:
|
- El producto de la raíces cumple:
|
- La ecuación de segundo grado de partida es equivalente (mismas soluciones) a la siguiente ecuación factorizada:
|
- Si llamamos "s" a la suma de la raíces y "p" al producto, también es equivalente a:
|
Factorización de polinomios de segundo grado
La tercera de las propiedades anteriores nos permite factorizar polinomios de segundo grado a partir de sus raíces:
Las dos primeras propiedades nos permiten factorizar algunos polinomios de segundo grado sin necesidad de utilizar la fórmula general para hallar las raíces:
A continuación veremos otro método para factorizar algunos polinomios de segundo grado:
Reglas para resolver ecuaciones de segundo grado
Procedimiento
Para resolver una ecuación de segundo grado, en general, se siguen los siguiente pasos:
- Lo primero que se suele hacer es ponerla en forma general. Para ello será necesario quitar denominadores, quitar paréntesis, simplificar, transponer y ordenar los términos.
- Una vez en forma general, si la ecuación es incompleta aplicaremos las técnicas explicadas para tal caso. Si la ecuación es completa usaremos la fórmula general.
- Una vez resuelta, opcionalmente podemos comprobar las soluciones, sustituyendo en la ecuación de partida.
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Resolución de problemas mediante ecuaciones de segundo grado |
Resolución de problemas mediante ecuaciones de segundo grado
Ejercicios resueltos:
- En un triángulo rectángulo, un cateto mide 2 cm menos que la hipotenusa y 14 cm más que el otro cateto. Calcular la longitud de los tres lados.
- Con 14 m de listones puedo colocar un rodapié a lo largo de toda una habitación rectangular, sin que sobre nada. ¿Qué dimensiones tiene la habitación sabiendo que su superficie es de 12 m2?
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Resolución de problemas mediante ecuaciones de segundo grado |