Paralelismo y perpendicularidad en el plano (1ºBach)
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| - | He aquí dos criterios para determinar si dos rectas son paralelas: | + | {{Video_enlace_pildoras |
| + | |titulo1=Rectas paralelas y perpendiculares | ||
| + | |duracion=12'46" | ||
| + | |sinopsis=Cómo escribir la ecuación de una recta paralela o perpendicular a otra | ||
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| Dos rectas son paralelas si tienen la misma dirección. | Dos rectas son paralelas si tienen la misma dirección. | ||
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| - | {{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=*Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son proporcionales. | + | He aquí tres criterios para determinar si dos rectas son paralelas: |
| - | *Dos rectas son paralelas si sus pendientes coinciden. | + | |
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| + | Dos rectas son paralelas si: | ||
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| + | *Sus '''vectores de dirección''' son proporcionales. | ||
| + | *Sus '''vectores normales''' son proporcionales. | ||
| + | *Sus '''pendientes''' coinciden. | ||
| |demo= | |demo= | ||
| - | *La primera afirmación es inmediata ya que dos rectas son paralelas si tienen la misma dirección y sabemos que dos vectores stiene la misma dirección si y sólo si son proporcionales. | + | *La primera afirmación es inmediata ya que dos rectas son paralelas si tienen la misma dirección y sabemos que dos vectores tiene la misma dirección si son proporcionales. |
| + | |||
| + | *Si los vectores normales son proporcionales es porque tienen la misma dirección, entonces los vectores directores también la tienen y también serán proporcionales. | ||
| *Para la segunda afirmación, recordemos que la pendiente de una recta coincide con la tangente del ángulo que forma con el eje de abscisas, por tanto, si dos rectas tienen la misma pendiente, las tangentes de los ángulos que forman, serán iguales. Ahora, si las tangentes de dos ángulos son iguales, los ángulos o son iguales o difieren en 180º. En ambos casos las rectas tienen la misma inclinación. | *Para la segunda afirmación, recordemos que la pendiente de una recta coincide con la tangente del ángulo que forma con el eje de abscisas, por tanto, si dos rectas tienen la misma pendiente, las tangentes de los ángulos que forman, serán iguales. Ahora, si las tangentes de dos ángulos son iguales, los ángulos o son iguales o difieren en 180º. En ambos casos las rectas tienen la misma inclinación. | ||
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| - | He aquí dos criterios para determinar si dos rectas son perpendiculares: | ||
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| Dos rectas son perpendiculares si sus vectores de dirección son ortogonales. | Dos rectas son perpendiculares si sus vectores de dirección son ortogonales. | ||
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| + | *El producto escalar de sus '''vectores de dirección''' es cero: {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = 0</math>}} | ||
| - | <center><math>\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = 0</math></center> | + | *El producto escalar de sus '''vectores normales''' es cero: {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0</math>}} |
| - | *Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes, <math>m\,</math> y {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>m'\,</math>}}, cumplen que: {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>m'=-\cfrac{1}{m}</math>}}. | + | *Sus '''pendientes''', <math>m\,</math> y {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>m'\,</math>}}, cumplen que: {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>m'=-\cfrac{1}{m}</math>}}. |
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| *La primera afirmación es inmediata ya que dos rectas son perpendiculares si sus vectores de dirección son ortogonales y esto ocurre cuando el producto escalar de ambos es cero. | *La primera afirmación es inmediata ya que dos rectas son perpendiculares si sus vectores de dirección son ortogonales y esto ocurre cuando el producto escalar de ambos es cero. | ||
| - | *Para la segunda afirmación: Dada una recta <math>Ax+By+C=0\,</math>, sabemos que <math> m=-\cfrac{A}{B}</math> es la pendiente de esa recta y que <math>(-B,A)\,</math> es su vector de dirección. | + | *La segunda también ya que si los vectores normales son ortogonales, también lo son los vectores directores. |
| + | |||
| + | *Para la tercera afirmación: Dada una recta <math>Ax+By+C=0\,</math>, sabemos que <math> m=-\cfrac{A}{B}</math> es la pendiente de esa recta y que <math>(-B,A)\,</math> es su vector de dirección. | ||
| Sea <math>A'x+B'y+'C'=0\,</math>, otra recta, con {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math> m'=-\cfrac{A'}{B'}</math>}} su pendiente, y <math>(-B',A')\,</math> su vector de dirección. | Sea <math>A'x+B'y+'C'=0\,</math>, otra recta, con {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math> m'=-\cfrac{A'}{B'}</math>}} su pendiente, y <math>(-B',A')\,</math> su vector de dirección. | ||
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| - | {{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Paralelismo y perpendicularidad''|cuerpo= | + | ==Actividades== |
| - | {{ai_cuerpo | + | {{Geogebra_enlace |
| - | |enunciado='''Actividad 1:''' En la siguiente escena nos dan las ecuacionés paramétricas de tres rectas que son paralelas o perpendiculares entre sí. | + | |descripcion=En esta escena podrás practicar con el paralelismo y perpendicularidad rectas. |
| + | |enlace=[https://ggbm.at/eVeyHKMz Paralelismo y perpendicularidad] | ||
| + | }} | ||
| {{p}} | {{p}} | ||
| - | |actividad=Las ecuaciones de las rectas que aparecen en la siguiente escena son: | + | {{Ejemplo |
| - | {{p}} | + | |titulo=Ejercicios resueltos: ''Paralelismo y perpendicularidad entre rectas'' |
| - | {{Tabla3 | + | |enunciado=Dada la recta r: 3x-7y+10=0, halla: |
| - | |celda1=En azul: <math> | + | |
| + | :a) Las ecuaciones paramétricas de la recta perpendicular a r que pase por P(2,-4). | ||
| + | :b) La ecuación explícita de la recta paralela a r que pase por el origen. | ||
| + | |sol= | ||
| + | |||
| + | :a) <math> | ||
| \begin{cases} | \begin{cases} | ||
| - | x=3+ 5t | + | x=2+ 3t |
| \\ | \\ | ||
| - | y=7-2t | + | y=-4- 7t |
| \end{cases} | \end{cases} | ||
| </math> | </math> | ||
| + | |||
| + | :b) <math>y=\cfrac{3}{7}\,x</math> | ||
| + | }} | ||
| {{p}} | {{p}} | ||
| - | :<math> | + | {{Videotutoriales|titulo=Paralelismo y perpendicularidad entre rectas|enunciado= |
| - | \overrightarrow{d}=(5,-2) | + | {{Video_enlace_unicoos |
| - | </math> | + | |titulo1=Ejercicio 1 |
| - | |celda2=En rojo: <math> | + | |duracion=6'20" |
| - | \begin{cases} | + | |sinopsis=Halla las ecuaciones de la recta paralela y perpendicular a r: 2x-3y+4=0 que pasen por el punto (1,1). |
| - | x=6+ 5t | + | |url1=http://www.unicoos.com/video/matematicas/1-bachiller/geometria-analitica/posicion-relativa-de-dos-rectas/recta-paralela-y-perpendicular |
| - | \\ | + | }} |
| - | y=4-2t | + | {{Video_enlace_unicoos |
| - | \end{cases} | + | |titulo1=Ejercicio 2 (Mediatriz de un segmento) |
| - | </math> | + | |duracion=6'49" |
| - | {{p}} | + | |sinopsis=Dados los puntos A(-2,3) y B(2,5), halla la mediatriz del segmento AB como la perpendicular que pasa por su punto medio. |
| - | :<math> | + | |url1=http://www.unicoos.com/video/matematicas/1-bachiller/geometria-analitica/puntos-notables-de-un-triangulo/mediatriz-de-un-segmento |
| - | \overrightarrow{d}=(5,-2) | + | |
| - | </math> | + | |
| - | |celda3=En verde: <math> | + | |
| - | \begin{cases} | + | |
| - | x=6-2t | + | |
| - | \\ | + | |
| - | y=4-5t | + | |
| - | \end{cases} | + | |
| - | </math> | + | |
| - | {{p}} | + | |
| - | :<math> | + | |
| - | \overrightarrow{d}=(-2,-5) | + | |
| - | </math> | + | |
| }} | }} | ||
| + | {{Video_enlace_fonemato | ||
| + | |titulo1=Ejercicio 3 | ||
| + | |duracion=10´22" | ||
| + | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=7jGWTzKyo2g&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=14 | ||
| + | |sinopsis=3 ejercicios (Paralelismo) | ||
| + | }} | ||
| + | {{Video_enlace_fonemato | ||
| + | |titulo1=Ejercicio 4 | ||
| + | |duracion=9´44" | ||
| + | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=vFE3NKgSCvU&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=15 | ||
| + | |sinopsis=3 ejercicios (Perpendicularidad) | ||
| - | Observa cómo son los vectores de dirección: | ||
| - | |||
| - | *Los dos primeros iguales a <math>(5,-2)\,</math> (rectas paralelas). | ||
| - | *El tercero ortogonal con los dos primeros: <math>(5,-2) \cdot (-2,-5)=0</math> (rectas perpendiculares) | ||
| - | |||
| - | |||
| - | <center><iframe> | ||
| - | url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_CNST_1/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Geometria_5_2.html | ||
| - | width=490 | ||
| - | height=410 | ||
| - | name=myframe | ||
| - | </iframe></center> | ||
| - | <center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_CNST_1/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Geometria_5_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | ||
| - | |||
| - | |||
| - | Modifica los valores '''a''', '''b''', '''c''' y '''d''', para obtener otras rectas. Observa como no varía el paralelismo ni la perpendicularidad y comprueba como son sus vectores de dirección. | ||
| }} | }} | ||
| + | {{Video_enlace_fonemato | ||
| + | |titulo1=Ejercicio 5 | ||
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| + | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=RY0ar7IIM9I&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=16 | ||
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| + | {{Video_enlace_fonemato | ||
| + | |titulo1=Ejercicio 6 | ||
| + | |duracion=7´20" | ||
| + | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=KNqpqXu6-gg&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=17 | ||
| + | |sinopsis=Ejercicio (Simétrico de un punto respecto a una recta) | ||
| + | }} | ||
| + | {{Video_enlace_fonemato | ||
| + | |titulo1=Ejercicio 7 | ||
| + | |duracion=8´11" | ||
| + | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=sZcqcnGaLsI&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=18 | ||
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| + | {{Video_enlace_fonemato | ||
| + | |titulo1=Ejercicio 8 | ||
| + | |duracion=11'24" | ||
| + | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=KupShRsfM48&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=19 | ||
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| + | }} | ||
| + | {{Video_enlace_fonemato | ||
| + | |titulo1=Ejercicio 9 | ||
| + | |duracion=6'38" | ||
| + | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=d74xcLxkJnA&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=20 | ||
| + | |sinopsis=Ejercicio (Triángulo equilátero) | ||
| + | }} | ||
| + | {{Video_enlace_fonemato | ||
| + | |titulo1=Ejercicio 10 | ||
| + | |duracion=4'36" | ||
| + | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=N8uvuaggBOU&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=21 | ||
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| - | Dada la recta r: 3x - 7y + 10 = 0, halla: | ||
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| - | :a) Las ecuaciones paramétricas de la perpendicular a r que pase por P(2,-4). | ||
| - | |||
| - | :b) La ecuación explícita de la paralela a r que pase por el origen. | ||
| - | |||
| - | |sol= | ||
| - | a) <math> | ||
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Tabla de contenidos |
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Introducción
Rectas paralelas y perpendiculares (12'46") Sinopsis:Cómo escribir la ecuación de una recta paralela o perpendicular a otra
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Paralelismo
Dos rectas son paralelas si tienen la misma dirección.
He aquí tres criterios para determinar si dos rectas son paralelas:
Proposición
Dos rectas son paralelas si:
- Sus vectores de dirección son proporcionales.
- Sus vectores normales son proporcionales.
- Sus pendientes coinciden.
Demostración:
- La primera afirmación es inmediata ya que dos rectas son paralelas si tienen la misma dirección y sabemos que dos vectores tiene la misma dirección si son proporcionales.
- Si los vectores normales son proporcionales es porque tienen la misma dirección, entonces los vectores directores también la tienen y también serán proporcionales.
- Para la segunda afirmación, recordemos que la pendiente de una recta coincide con la tangente del ángulo que forma con el eje de abscisas, por tanto, si dos rectas tienen la misma pendiente, las tangentes de los ángulos que forman, serán iguales. Ahora, si las tangentes de dos ángulos son iguales, los ángulos o son iguales o difieren en 180º. En ambos casos las rectas tienen la misma inclinación.
Ejemplo (rectas paralelas) (6'17") Sinopsis: Comprueba que las rectas r1:2x + y + 1 = 0 y r2:2y = − 5 − 4x son paralelas.
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Perpendicularidad
Dos rectas son perpendiculares si sus vectores de dirección son ortogonales.
He aquí tres criterios para determinar si dos rectas son perpendiculares:
Proposición
Dos rectas son perpendiculares si:
- El producto escalar de sus vectores de dirección es cero:
- El producto escalar de sus vectores normales es cero:
- Sus pendientes,
y 
, cumplen que: 
.
Demostración:
- La primera afirmación es inmediata ya que dos rectas son perpendiculares si sus vectores de dirección son ortogonales y esto ocurre cuando el producto escalar de ambos es cero.
- La segunda también ya que si los vectores normales son ortogonales, también lo son los vectores directores.
- Para la tercera afirmación: Dada una recta
, sabemos que 
es la pendiente de esa recta y que 
es su vector de dirección.
Sea 
, otra recta, con 
su pendiente, y 
su vector de dirección.
Supongamos que . Sustituyendo:
Ejemplo (rectas perpendiculares) (6'04") Sinopsis: Comprueba que las rectas r1 = 2x + 3y + 5 = 0 y r2 = − 3x + 2y + 6 = 0 son perpendiculares.
Traduciendo el resultado anterior a coordenadas:
Proposición
Dos rectas con vectores de dirección 
y 
son perpendiculares.
Demostración:
Es inmediato a partir de lo dicho antes ya que el producto escalar de estos dos vectores es cero.
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Actividades
Paralelismo y perpendicularidad Descripción: En esta escena podrás practicar con el paralelismo y perpendicularidad rectas.
Ejercicios resueltos: Paralelismo y perpendicularidad entre rectas
Dada la recta r: 3x-7y+10=0, halla:
- a) Las ecuaciones paramétricas de la recta perpendicular a r que pase por P(2,-4).
- b) La ecuación explícita de la recta paralela a r que pase por el origen.
Solución:
- a)
- b)
Ejercicio 1 (6'20") Sinopsis: Halla las ecuaciones de la recta paralela y perpendicular a r: 2x-3y+4=0 que pasen por el punto (1,1).
Ejercicio 2 (Mediatriz de un segmento) (6'49") Sinopsis: Dados los puntos A(-2,3) y B(2,5), halla la mediatriz del segmento AB como la perpendicular que pasa por su punto medio.
Ejercicio 3 (10´22") Sinopsis: 3 ejercicios (Paralelismo)
Ejercicio 4 (9´44") Sinopsis: 3 ejercicios (Perpendicularidad)
Ejercicio 5 (6´12") Sinopsis: 2 ejercicios (Perpendicularidad)
Ejercicio 6 (7´20") Sinopsis: Ejercicio (Simétrico de un punto respecto a una recta)
Ejercicio 7 (8´11") Sinopsis: Ejercicio (Ortocentro de un triángulo)
Ejercicio 8 (11'24") Sinopsis: Ejercicio (Circuncentro de un triángulo)
Ejercicio 9 (6'38") Sinopsis: Ejercicio (Triángulo equilátero)
Ejercicio 10 (4'36") Sinopsis: Ejercicio (Triángulo isósceles)
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Ejercicios propuestos
 Ejercicios propuestos: Paralelismo y perpendicularidad (Pág. 198)
(Pág. 199)
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