Paralelismo y perpendicularidad en el plano (1ºBach)
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| *Para la segunda afirmación, recordemos que la pendiente de una recta coincide con la tangente del ángulo que forma con el eje de abscisas, por tanto, si dos rectas tienen la misma pendiente, las tangentes de los ángulos que forman, serán iguales. Ahora, si las tangentes de dos ángulos son iguales, los ángulos o son iguales o difieren en 180º. En ambos casos las rectas tienen la misma inclinación. | *Para la segunda afirmación, recordemos que la pendiente de una recta coincide con la tangente del ángulo que forma con el eje de abscisas, por tanto, si dos rectas tienen la misma pendiente, las tangentes de los ángulos que forman, serán iguales. Ahora, si las tangentes de dos ángulos son iguales, los ángulos o son iguales o difieren en 180º. En ambos casos las rectas tienen la misma inclinación. | ||
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Revisión actual
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Tabla de contenidos |
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Introducción
Rectas paralelas y perpendiculares (12'46") Sinopsis:Cómo escribir la ecuación de una recta paralela o perpendicular a otra
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Paralelismo
Dos rectas son paralelas si tienen la misma dirección.
He aquí tres criterios para determinar si dos rectas son paralelas:
Proposición
Dos rectas son paralelas si:
- Sus vectores de dirección son proporcionales.
- Sus vectores normales son proporcionales.
- Sus pendientes coinciden.
Demostración:
- La primera afirmación es inmediata ya que dos rectas son paralelas si tienen la misma dirección y sabemos que dos vectores tiene la misma dirección si son proporcionales.
- Si los vectores normales son proporcionales es porque tienen la misma dirección, entonces los vectores directores también la tienen y también serán proporcionales.
- Para la segunda afirmación, recordemos que la pendiente de una recta coincide con la tangente del ángulo que forma con el eje de abscisas, por tanto, si dos rectas tienen la misma pendiente, las tangentes de los ángulos que forman, serán iguales. Ahora, si las tangentes de dos ángulos son iguales, los ángulos o son iguales o difieren en 180º. En ambos casos las rectas tienen la misma inclinación.
Ejemplo (rectas paralelas) (6'17") Sinopsis: Comprueba que las rectas r1:2x + y + 1 = 0 y r2:2y = − 5 − 4x son paralelas.
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Perpendicularidad
Dos rectas son perpendiculares si sus vectores de dirección son ortogonales.
He aquí tres criterios para determinar si dos rectas son perpendiculares:
Proposición
Dos rectas son perpendiculares si:
- El producto escalar de sus vectores de dirección es cero:
- El producto escalar de sus vectores normales es cero:
- Sus pendientes,
y 
, cumplen que: 
.
Demostración:
- La primera afirmación es inmediata ya que dos rectas son perpendiculares si sus vectores de dirección son ortogonales y esto ocurre cuando el producto escalar de ambos es cero.
- La segunda también ya que si los vectores normales son ortogonales, también lo son los vectores directores.
- Para la tercera afirmación: Dada una recta
, sabemos que 
es la pendiente de esa recta y que 
es su vector de dirección.
Sea 
, otra recta, con 
su pendiente, y 
su vector de dirección.
Supongamos que . Sustituyendo:
Ejemplo (rectas perpendiculares) (6'04") Sinopsis: Comprueba que las rectas r1 = 2x + 3y + 5 = 0 y r2 = − 3x + 2y + 6 = 0 son perpendiculares.
Traduciendo el resultado anterior a coordenadas:
Proposición
Dos rectas con vectores de dirección 
y 
son perpendiculares.
Demostración:
Es inmediato a partir de lo dicho antes ya que el producto escalar de estos dos vectores es cero.
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Actividades
Paralelismo y perpendicularidad Descripción: En esta escena podrás practicar con el paralelismo y perpendicularidad rectas.
Ejercicios resueltos: Paralelismo y perpendicularidad entre rectas
Dada la recta r: 3x-7y+10=0, halla:
- a) Las ecuaciones paramétricas de la recta perpendicular a r que pase por P(2,-4).
- b) La ecuación explícita de la recta paralela a r que pase por el origen.
Solución:
- a)
- b)
Ejercicio 1 (6'20") Sinopsis: Halla las ecuaciones de la recta paralela y perpendicular a r: 2x-3y+4=0 que pasen por el punto (1,1).
Ejercicio 2 (Mediatriz de un segmento) (6'49") Sinopsis: Dados los puntos A(-2,3) y B(2,5), halla la mediatriz del segmento AB como la perpendicular que pasa por su punto medio.
Ejercicio 3 (10´22") Sinopsis: 3 ejercicios (Paralelismo)
Ejercicio 4 (9´44") Sinopsis: 3 ejercicios (Perpendicularidad)
Ejercicio 5 (6´12") Sinopsis: 2 ejercicios (Perpendicularidad)
Ejercicio 6 (7´20") Sinopsis: Ejercicio (Simétrico de un punto respecto a una recta)
Ejercicio 7 (8´11") Sinopsis: Ejercicio (Ortocentro de un triángulo)
Ejercicio 8 (11'24") Sinopsis: Ejercicio (Circuncentro de un triángulo)
Ejercicio 9 (6'38") Sinopsis: Ejercicio (Triángulo equilátero)
Ejercicio 10 (4'36") Sinopsis: Ejercicio (Triángulo isósceles)
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Ejercicios propuestos
 Ejercicios propuestos: Paralelismo y perpendicularidad (Pág. 198)
(Pág. 199)
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