Familias de funciones elementales (1ºBach)

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-*Las '''funciones algebraicas''' son aquellas en las que las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.+*Una '''función elemental''' es una función construida a partir de una cantidad finita de '''funciones elementales fundamentales''' mediante las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potencia y composición. (La radicación también, pues sería un caso particular de potencia)
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 +*Las '''funciones elementales fundamentales''' son: exponenciales, logarítmicas, potenciales, constantes, y trigonométricas.
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 +*Las '''funciones algebraicas''' son aquellas en las que las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación (y radicación).
*Las '''funciones trascendentes''' son aquellas que no son algebraicas. *Las '''funciones trascendentes''' son aquellas que no son algebraicas.
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Si "f" no es algebraica, se dice "trascendente". Si "f" no es algebraica, se dice "trascendente".
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-Este tipo de funciones se llaman así porque si <math>x\;</math> e <math>y\;</math> son cantidades correspondientes de dos magnitudes inversamente proporcionales, con constante de proporcionalidad <math>k\;</math>, entonces sabemos que se cumple que <math> x \cdot y = k \;</math>. +
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Tabla de contenidos

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Funciones elementales

  • Una función elemental es una función construida a partir de una cantidad finita de funciones elementales fundamentales mediante las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potencia y composición. (La radicación también, pues sería un caso particular de potencia)
  • Las funciones elementales fundamentales son: exponenciales, logarítmicas, potenciales, constantes, y trigonométricas.

[Ver wikipedia]

Las funciones elementales pueden ser de dos tipos: algebraicas y trascendentes.

  • Las funciones algebraicas son aquellas en las que las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación (y radicación).
  • Las funciones trascendentes son aquellas que no son algebraicas.

Pasamos a ver distintas familias de funciones elementales.

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Funciones lineales

Sean m, \, n \in \mathbb{R}. Se define la función lineal como:

\begin{matrix} f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ \, \qquad \qquad \qquad x \rightarrow y=mx+n \end{matrix}

  • El número real m\; recibe el nombre de pendiente.
  • El número real n\; recibe el nombre de ordenada en el origen.
  • Si n=0\; se llama función de proporcionalidad directa.
  • Si n \ne 0\; se llama función afín.
Función lineal
Aumentar
Función lineal

ejercicio

Propiedades de la función lineal

Las funciones lineales y=mx+n\; cumplen las siguientes propiedades:

  • Son continuas en su dominio, que es D_f=\mathbb{R}.
  • Su gráfica es una recta que cortan al eje Y en (0,n)\;.
  • Si m>0\; son crecientes, si m<0\; son decrecientes y si m=0\; son constantes.

información
Utilidad de las funciones lineales

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Funciones cuadráticas

Sean a, \, b, \, c \in \mathbb{R} \ (a \ne 0). Se define la función cuadrática como:

\begin{matrix} f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ \, \qquad \qquad \qquad \qquad x \rightarrow y=ax^2+bx+c \end{matrix}

ejercicio

Propiedades de la función cuadrática

Las funciones lineales y=ax^2+bx+c\; cumplen las siguientes propiedades:

  • Son continuas en su dominio, que es D_f=\mathbb{R}.
  • Su gráfica es una parábola con las ramas hacia arriba si a>0\; y hacia bajo si a<0\;.
  • Su gráfica es simétrica respecto de un eje de ecuación x=-\cfrac{b}{2a} que pasa por el vértice de la parábola.
Distintos ejemplos de funciones cuadráticas. Observa como afecta el valor de a en la amplitud de la parábola y en la dirección de las ramas
Aumentar
Distintos ejemplos de funciones cuadráticas. Observa como afecta el valor de a en la amplitud de la parábola y en la dirección de las ramas

información
Utilidad de las funciones cuadráticas

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Funciones irracionales

Sea n \in \mathbb{N} \ (n>1)\;. Se define la función raíz de índice n como:

y=\sqrt[n]{x}

ejercicio

Propiedades de la función irracional

Las funciones del tipo y=\sqrt[n]{x} cumplen las siguientes propiedades:

  • Son continuas en su dominio, que es D_f=\mathbb{R} si n\; es impar y D_f=\mathbb{R}^+ si n\; es par.
  • Su inversa es la función y=x^n\;
  • Cortan al eje X en x=0 y siempre son positivas.
Funciones irracionales y sus recíprocas, las potencias.
Aumentar
Funciones irracionales y sus recíprocas, las potencias.

información
Utilidad de las funciones irracionales

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Funciones de proporcionalidad inversa

Sea k \in \mathbb{R}\, , (k \ne 0). Las función de proporcionalidad inversa se define como

\begin{matrix} f \colon \mathbb{R_*} \rightarrow \mathbb{R} \\ \, \qquad \quad \ \ x \rightarrow y=\cfrac{k}{x} \end{matrix}

El numero k\; recibe el nombre de constante de proporcionalidad inversa.

Este tipo de funciones se llaman así porque si x\; e y\; son cantidades correspondientes de dos magnitudes inversamente proporcionales, con constante de proporcionalidad k\;, entonces sabemos que se cumple que x \cdot y = k \;.

ejercicio

Propiedades de la función de proporcionalidad inversa

Las funciones de proporcionalidad inversa y=\cfrac{k}{x}\; cumplen las siguientes propiedades:

  • Son funciones continuas en su dominio, que es D_f=\mathbb{R_*}=\mathbb{R}-\{0\}.
  • Son crecientes si k<0\; y decrecientes si k>0\;.
  • No tienen puntos de corte con los ejes.
  • La gráfica de esta función es una hipérbola equilátera:
  • Sus ramas son simétricas respecto del origen de coordenadas.
  • Sus asíntotas son los propios ejes de coordenadas.
Funciones de proporcionalidad inversa
Aumentar
Funciones de proporcionalidad inversa

Una función homográfica es una función racional del tipo:

\ y = \cfrac{ax+b}{cx+d}

ejercicio

Proposición

Si transformamos una función de proporcionalidad inversa por medio de traslaciones horizontales y verticales, el resultado es una función homográfica.

información
Utilidad de la función de proporcionalidad inversa

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Funciones exponenciales

  • Sea a \in \mathbb{R} \ , a>0 \ , a \ne 1. Se define la función exponencial de base a\; como:


\begin{matrix} f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+ \\ \, \qquad \quad x \rightarrow y=a^x \end{matrix}


  • La función exponencial de base e = 2,7182...\; (número e) es de especial importancia en matemáticas y se denomina simplementre función exponencial, sin hacer mención a la base.
Funciones exponenciales
Aumentar
Funciones exponenciales

ejercicio

Propiedades de la función exponencial

Las funciones exponenciales de base a\; cumplen las siguientes propiedades:

  • Son continuas en su dominio, que es D_f=\mathbb{R}.
  • Pasan por (0,1)\; y (1,a)\;.
  • Crecimiento:
  • Si a>1\; son crecientes
  • Si 0<a<1\; son decrecientes.
  • Su crecimiento supera al de cualquier función potencia.
  • Son positivas y nunca se anulan (su gráfica está por encima del eje X).

Funciones exponenciales
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Funciones exponenciales

información
Utilidad de la función exponencial

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Funciones logarítmicas

Sea a \in \mathbb{R} \ , a>0 \ , a \ne 1. Se define la función logarítmica de base a\; como:

\begin{matrix} f \colon \mathbb{R}{}_*^+ \rightarrow \mathbb{R} \quad \\ \, \qquad \qquad \ x \ \rightarrow y=log_a \, x \end{matrix}

  • La función logarítmica de base el número e = 2,7182... es de especial importancia en matemáticas. Se denomina función logaritmo neperiano y se designa por ln \, x.


  • La función logarítmica de base 10 también es de particular interés. Se denomina función logaritmo decimal y se designa por log \, x (sin especificar la base).
Funciones logarítmicas con distintas bases: - En rojo está representada la de base e. - En verde la de base 10. - En púrpura la de base 1.7.
Aumentar
Funciones logarítmicas con distintas bases:

- En rojo está representada la de base e.

- En verde la de base 10.

- En púrpura la de base 1.7.

ejercicio

Propiedades de la función logarítmica

Las funciones exponenciales de base a\; cumplen las siguientes propiedades:

  • Son continuas en su dominio: D_f=\mathbb{R}_*^+=\mathbb{R}^+ - \{0\}.
  • Pasan por (1,0)\; y (a,1)\;.
  • Crecimiento:
  • Si a>1\; son crecientes.
  • Si 0<a<1\; son decrecientes.
  • Su crecimiento es menor que el de las funciones raíz de cualquier índice \sqrt[n]{x}.
  • La función logaritmica y la exponencial de la misma base son funciones inversas y por tanto sus gráficas son simétricas respecto de la recta y=x\;.
Funciones logarítmicas
Aumentar
Funciones logarítmicas

información
Utilidad de la función logarítmica

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Funciones trigonométricas

Ver tema: Funciones trigonométricas o circulares

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Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Concepto de función y de dominio de una función

(Pág. 253)

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2 al 4

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