Plantilla:Ramas infinitas de las funciones racionales

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Proposición

Consideremos la función racional en la variable x, ya simplificada (es decir, si el numerador y el denominador tienen factores comunes, cosa que ocurre si se anulan simultáneamente en algún punto, factorizaremos y simplificaremos dichos factores):

$f(x)=\cfrac{P(x)}{Q(x)}=\cfrac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0}{b_m x^m+b_{m-1}x^{m-1}+ \cdots + b_1 x + b_0}\;$

La función $f(x)\;$ (ya simplificada) tiene las siguientes ramas infinitas, si se da alguno de los siguientes casos:

Asíntotas verticales:
- Si $x=c\;$ es una raíz de Q(x), entonces la recta $x=c\;$ es una asíntota vertical de $f(x)\;$ .

Asíntotas horizontales:
- Si $n<m\;$ , entonces la recta $y=0\;$ es una asíntota horizontal de $f(x)\;$ , tanto por $+ \infty$ , como por $- \infty$ .
- Si $n=m\;$ , entonces la recta $y=\cfrac{a_n}{b_n}\;$ es una asíntota horizontal de $f(x)\;$ , tanto por $+ \infty$ , como por $- \infty$ .

Asíntotas oblicuas:
- Si $n-m=1\;$ , $f(x)\;$ tienen una asíntota oblicua, tanto por $+ \infty$ , como por $- \infty$ . Dicha asíntota es igual al cociente de la división entre $P(x)\;$ y $Q(x)\;$ .

Ramas parabólicas:
- Si $n-m>1\;$ , entonces $f(x)\;$ tiene una rama parabólica, tanto por $+ \infty$ , como por $- \infty$ .

Ramas infinitas de funciones racionales

Ejercicio 1 (11'35") Sinopsis:

Obtén las asíntotas de la función $f(x)= \cfrac{x^3-3}{x^2-9}$

Ejercicio 2 (16'19") Sinopsis:

Obtén las asíntotas de la función $f(x)= \cfrac{x^3+8}{x^2-4}$

Ejercicio 3 (30'17") Sinopsis:

Obtén las asíntotas de las funciones:

$f(x)= \cfrac{x}{x^2-4}$
$f(x)= \cfrac{3x^2}{x^2+9}$
$f(x)= \cfrac{x^3+2x^2+x-3}{x^2-1}$
$f(x)= \cfrac{x^3-2}{2x+1}$
$f(x)= \cfrac{x^3-4x}{x+2}$

Ejercicio 4 (24'03") Sinopsis:

Obtén las asíntotas de las funciones:

$f(x)= \cfrac{4x}{x^2+1}$
$f(x)= \cfrac{x^3}{x^2-1}$

Ejercicio 6 (16'32") Sinopsis:

Estudio de las asíntotas de $f(x)= \cfrac{x^2}{x-1}$ . Hace un estudio detallado de la posición relativa de la curva respecto de la asíntota oblicua usando el método riguroso de límites.

Ejercicio 7 (Lista de reproducción) Sinopsis:

Lista de reproducción que consta de 12 vídeos sobre estudio de asíntotas de funciones racionales.

Ejercicios resueltos

Halla todas las ramas infinitas de las siguientes funciones:

a) $y=\cfrac{x^2+1}{x^2-2x}$ b) $y=\cfrac{x^2-5x+7}{x-2}$ c) $y=\cfrac{x^3-5x^2}{-x+3}$

Solución:

a) A.V.: x=0, x=2; A.H.: y=1

b) A.V.: x=2; A.O.: y=x-3

c) A.V.: x=3; R.I.

Haz uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar las soluciones:

Representador de funciones Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Ramas_infinitas_de_las_funciones_racionales"

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