Raíces
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Revisión de 16:58 16 oct 2007
Raíces
Sabemos que 
. Esta igualdad la podemos expresar de forma similar como 
y se lee "3 es igual a la raíz cuadrada de 9".
- Se define la raíz cuadrada de un número
como otro número 
tal que 
.
Y escribimos:
- Se define la raíz cúbica de un número como otro número tal que
.
Y escribimos:
![b=\sqrt[3]{a}](/wikipedia/images/math/6/0/0/60067ca3ef9f9cd5db25de80fbfcb000.png)
- Igualmente, se define raíz n-sima de un número como otro número tal que
. 
Y escribimos:
![b=\sqrt[n]{a}](/wikipedia/images/math/c/e/0/ce05f9d287d25fe0a5fd8e680bd177f5.png)
El número se llama radicando, el número 
, índice y es la raíz.
Propiedades:
![\sqrt[n]{1}=1](/wikipedia/images/math/f/2/3/f2301fcbef74b110ad8d373f2b32a16b.png)
y ![\sqrt[n]{0}=0](/wikipedia/images/math/8/6/5/865db751c6cb2e12533fccdf8de1e1df.png)
, para cualquier valor del índice .
- Si
, ![\sqrt[n]{a}](/wikipedia/images/math/9/a/2/9a2b6d33f3d62a1e8bd99c76f3cb79f5.png)
existe cualquiera que sea el índice .
- Si
, sólo existe si el índice es impar.
- Si el índice es par y el radicando , la raíz tiene dos soluciones: una positiva y otra negativa, pero iguales en valor absoluto. Si el índice es impar, siempre tiene una única solución, que tiene el mismo signo que el radicando .
Ejemplos: [Mostrar]
![\sqrt[3]{1}=1](/wikipedia/images/math/d/5/3/d53d30c7123945d21786c0fb38eeeb18.png)
.
![\sqrt[5]{0}=0](/wikipedia/images/math/e/9/5/e95b8cee4e9e352608032036b0bd68d7.png)
.
![\sqrt[4]{16}=\pm 2](/wikipedia/images/math/3/5/c/35cc75069a6350b569ad8c8f72bf6ae2.png)
porque 
.
![\sqrt[3]{81}=4](/wikipedia/images/math/3/f/e/3fe915a3d7ebfbd61f5a4c9d3a4207d5.png)
porque 
.
![\sqrt[3]{-8}=-2](/wikipedia/images/math/1/5/4/154ab22db729e6b6490caa36d8669830.png)
porque 
.
![\sqrt[4]{-8}= no \ existe](/wikipedia/images/math/a/2/1/a21d3d89fedd78f5c9a6378b3cf240f3.png)
porque ningún número elevado a 4 puede dar negativo (-8).
Raíces exactas e inexactas
Se llaman raíces exactas a aquellas que dan como resultado un número racional. En caso contrario diremos que son inexactas y el resultaado será un número irracional.
Para que una raíz sea exacta, al descomponer el radicando en factores primos, las potencias de éstos deben ser todas números divisibles por el índice.
Ejemplo: Raíces exactas e inexactas
- Calcula las siguientes raíces cuando sean exactas:
![a) \sqrt[3]{216} \quad b) \sqrt[4]{0'0256}\quad c) \sqrt[3]{192}](/wikipedia/images/math/2/6/b/26bc1ddea3425faad31fbcf8d5d86539.png)
Solución:[Mostrar]
.
![\sqrt[3]{216}=\sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3}=2^{\frac{3}{3}} \cdot 3^{\frac{3}{3}}=2^1 \cdot 3^1=6](/wikipedia/images/math/4/a/b/4ab09f3247f4181f74270a6db537c4a3.png)
![\sqrt[3]{216}](/wikipedia/images/math/2/a/6/2a60cb9da80e1f9abad0623c37ccfb67.png)
es racional.
.
![\sqrt[4]{0'0256}=\sqrt[4]{\cfrac{256}{10000}}=\sqrt[4]{\cfrac {2^8}{10^4}}=\cfrac {2^{\frac{8}{4}}}{10^{\frac{4}{4}}}=\cfrac{2^2}{10^1}=\cfrac{4}{10}=0'4](/wikipedia/images/math/9/7/1/971bba665f246bea65b83612ca682e78.png)
![\sqrt[4]{0'0256}](/wikipedia/images/math/5/3/e/53e9b60b9676b9839103c0b91278c19b.png)
es racional.
.
![\sqrt[3]{192}](/wikipedia/images/math/b/d/f/bdfe841e1073096ee42922125fc7e19d.png)
es irracional.La raíz como potencia de exponente fraccionario
Proposición
- Toda raíz se puede expresar como una potencia cuya base es el radicando, , y el exponente es
, siendo el índice de la raíz. Ésto es:
|
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![\sqrt[n]{a}=a^\frac{1}{n}](/wikipedia/images/math/2/0/0/2009af813099ac7b1bef0f0fb92a7999.png)
- De forma similar, también se cumple:
|
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![\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}](/wikipedia/images/math/3/b/0/3b0234682d54453ceee722e89c782c2e.png)
Demostración:[Mostrar]
Ejemplo: La raíz como potencia de exponente fraccionario
- Escribe las siguientes potencias de exponente fraccionario en forma de raíces y calcula su valor:
Propiedades: Las potencias con exponente fraccionario tienen las mismas propiedades que con exponente natural o entero.
