Interés compuesto

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Fórmula del interés compuesto

El capital final $C_F\;\!$ obtenido a partir de un capital inicial $C \;\!$ a un interés o rédito $r\;\!$ , durante un tiempo $n\;\!$ es:

$C_F=C \cdot \left (1+\frac{r}{100}\right )^n$

Nota: El rédito $r\;\!$ y el tiempo $n\;\!$ vienen dados en las mismas unidades de tiempo, que pueden ser: años, semestres, trimestres, meses, días, etc.

Demostración:

Al depositar una cantidad de dinero $C \;\!$ en una entidad bancaria, ésta genera, al cabo del tiempo, unos beneficios llamados intereses. Supongamos que el tipo de interés o rédito pactado sea $r%\;\!$ anual, entonces, al ser un problema de encadenamiento de aumento porcentual, cada año que pasa debemos multiplicar el capital inicial $C \;\!$ por el índice de variación $\left (1+\frac{r}{100}\right )$ . Así, el capital final o acumulado en $n\;\!$ años será:

$C_F=C \cdot \begin{matrix} \ \\ \underbrace{ \left (1+\frac{r}{100}\right ) \cdot \left (1+\frac{r}{100}\right ) \cdots \left (1+\frac{r}{100}\right ) } \\ n \ veces \end{matrix}= C \cdot \left (1+\frac{r}{100}\right )^n$

Ejemplos: Interés compuesto

¿En cuánto se transforma 10000 € depositados en un banco al 6% anual, al cabo de 5 años?
¿En cuánto se transforma 10000 € depositados en un banco al 6% anual, al cabo de 5 años, si el periodo de capitalización es mensual (paga los intereses cada mes)?

Solución:

1) $C_F=10000 \cdot \left (1+\frac{6}{100}\right )^5=10000 \cdot 1,06^5=13382,26$ €

2) Al ser el 6% anual, el tanto por ciento mensual será $\cfrac{6}{12}=0,5%$ y el número de meses en 5 años es $12 \cdot 5 = 60$ meses.

Aplicando el encadenamiento de aumento porcentual, tenemos:

$C_F=10000 \cdot \left (1+\frac{0,5}{100}\right )^{60}=10000 \cdot 1,005^{60}=13488,50$ €

Como se puede deducir el periodo de capitalización mensual es mucho más favorable que el anual para el cliente.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Inter%C3%A9s_compuesto"

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