Perímetros y áreas

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|enunciado=1. Deducción de la fórmula del área de un trapecio. |enunciado=1. Deducción de la fórmula del área de un trapecio.
|actividad= |actividad=
-En la siguiente escena, podrás comprobar la fórmula del área del trapecio. 
- 
Para ello, mueve el punto rojo hacia la izquierda. Obtendrás un duplicado del trapecio en color azul, que junto con el trapecio amarillo inicial, forman un paralelogramo de base <math>B+b\;\!</math> y altura <math>a\;\!</math>. Para ello, mueve el punto rojo hacia la izquierda. Obtendrás un duplicado del trapecio en color azul, que junto con el trapecio amarillo inicial, forman un paralelogramo de base <math>B+b\;\!</math> y altura <math>a\;\!</math>.
Línea 243: Línea 241:
de donde, dividiendo por 2, obtenemos el área del trapecio: de donde, dividiendo por 2, obtenemos el área del trapecio:
<center><math>\cfrac {(B+b) \cdot a}{2}</math></center> <center><math>\cfrac {(B+b) \cdot a}{2}</math></center>
- +{{p}}
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 +'''Deducción de la fórmula del área del trapecio{{p}}'''(Mueve el punto rojo)</center>
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|enunciado=2. Halla el área y el perímetro de un trapecio de base mayor 5 cm., base menor 1,5 cm. y altura 2 cm. |enunciado=2. Halla el área y el perímetro de un trapecio de base mayor 5 cm., base menor 1,5 cm. y altura 2 cm.
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-Para ello, primero, hazlo en tu cuaderno y, posteriormente, comprueba los resultados en la siguiente escena:+Contesta en tu cuaderno y comprueba los resultados en la escena siguiente:
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-<center>+'''Cálculo del área y del perímetro de un trapecio'''{{p}}
-'''Cálculo del área y el perímetro de un trapecio.'''{{p}}+(Mueve los vértices del trapecio para variar la medida de los lados)
-(Mueve los vértices del trapecio para variar la medida de los lados.)+
</center> </center>
}} }}
Línea 271: Línea 269:
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Contesta en tu cuaderno y comprueba los resultados en la escena siguiente: Contesta en tu cuaderno y comprueba los resultados en la escena siguiente:
- 
-'''Cálculo del área y el perímetro de un trapecio rectángulo.''' 
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 +'''Cálculo del área y del perímetro de un trapecio rectángulo'''{{p}}
 +(Mueve los vértices del trapecio para variar la medida de los lados)
 +</center>
Mueve los vértices del trapecio para variar la medida de los lados. Mueve los vértices del trapecio para variar la medida de los lados.
Línea 287: Línea 286:
|actividad={{p}} |actividad={{p}}
Contesta en tu cuaderno y comprueba los resultados en la escena siguiente: Contesta en tu cuaderno y comprueba los resultados en la escena siguiente:
- 
-'''Cálculo del área y el perímetro de un trapecio isósceles.''' 
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-Mueve los vértices del trapecio para variar la medida de los lados.+(Mueve los vértices del trapecio para variar la medida de los lados)
 +</center>
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Tabla de contenidos

Cuadrado

  • Perímetro:

P=4 \cdot a

  • Área:

A=a^2 \;\!

  • Elementos:
a: lado.

ejercicio

Actividad interactiva: Cuadrado

1. Cálculo del área y perímetro de un cuadrado.
Actividad:
En la siguiente escena puedes calcular el área y el perímetro de un cuadrado.

Mueve el vértice del cuadrado para variar la medida del lado.

Contesta en tu cuaderno y comprueba los resultados en la escena anterior:

  1. Calcula el perímetro y el área de un cuadrado de lado 4 m.
  2. El área de un cuadrado es 5,76 cm2 . Calcula su perímetro.

Rectángulo

  • Perímetro:

P=2 \cdot a+2 \cdot b

  • Área:

A=a \cdot b

  • Elementos:
b: base.
a: altura.

ejercicio

Actividad interactiva: Rectángulo

1. Cálculo del área y perímetro de un rectángulo.
Actividad:
En la siguiente escena puedes calcular el área y el perímetro de un rectángulo.

Mueve los vértices del rectángulo para variar la medida de los lados.

Contesta en tu cuaderno y comprueba los resultados en la escena anterior:

  1. La base de un rectángulo es 5 m. y la altura la mitad de la base. Calcula el área y el perímetro.

Paralelogramo

  • Perímetro:

P=2 \cdot a+2 \cdot b

  • Área:

A=a \cdot b

  • Elementos:
b: base.
a: altura.
  • Nota:
El perímetro y el área son iguales que en el rectángulo.

ejercicio

Actividad interactiva: Paralelogramo

1. Cálculo del área y perímetro de un paralelogramo.
Actividad:
El paralelogramo de la derecha tiene el mismo área que el rectángulo que tiene debajo. Para comprobarlo, mueve el punto que se indica y arrastralo hacia la izquierda.

Por tanto el área del paralelogramo es el mismo que el del rectángulo.

En esta otra escena puedes calcular el área y el perímetro de un paralelogramo. Mueve los vértices del rectángulo para variar la medida de los lados.

Contesta en tu cuaderno y comprueba los resultados en la escena anterior:

  1. La base de un paralelogramo es 5 cm, y su altura es 2,8 cm. ¿Cual es el área y el perímetro del paralelogramo?

Rombo

  • Perímetro:

P=4 \cdot a

  • Área:

A=\cfrac {D \cdot d}{2}

  • Elementos:
a: lado.
D: diagonal mayor.
d: diagonal menor.
  • Nota:
Un rombo es un paralelogramo con los cuatro lados iguales.

ejercicio

Actividad interactiva: Rombo

1. Cálculo del área y perímetro de un rombo.
Actividad:
En esta escena puedes calcular el área y el perímetro de un rombo.

Mueve los vértices del rombo para variar la medida de los lados.

Contesta en tu cuaderno y comprueba los resultados en la escena anterior:

  1. La diagonal mayor de un rombo mide 5m, y la menor es la mitad. Calcula el área y el perímetro del rombo.
2. El cuadrado como caso particular de rombo.
Actividad:
El cuadrado es un rombo que tiene las diagonales iguales.

Para calcular el área del cuadrado puedes utilizar también la expresión del área del rombo. Comprueba en la figura que estas expresiones dan el mismo valor.

Contesta en tu cuaderno y comprueba los resultados en la escena anterior:

  1. Calcula el área de un cuadrado de 4 m. de diagonal.
a) Utilizando el teorema de Pitágoras para determinar el lado.
b) Utilizando la fórmula del área del rombo.

Triángulo

  • Perímetro:

P=b+c+d\;\!

  • Área:

A=\cfrac {b \cdot a}{2}

  • Elementos:
b: base.
a: altura.
c, d: lados.
  • Nota:
Un triángulo es la mitad de un paralelogramo.

ejercicio

Actividad interactiva: Triángulo

1. Cálculo del área y perímetro de un triángulo.
Actividad:
En esta escena puedes calcular el área y el perímetro de un triángulo.

Mueve los vértices del triángulo para variar la medida de los lados.

Contesta en tu cuaderno y comprueba los resultados en la escena anterior:

  1. La base de un triángulo isósceles mide 5 cm. y los lados iguales miden 3,7 cm. Halla su área y su perímetro.

Trapecio

  • Perímetro:

P=b+B+c+d\;\!

  • Área:

A=\cfrac {(B+b) \cdot a}{2}

  • Elementos:
B: base mayor.
b: base menor.
a: altura.
c, d: lados.

ejercicio

Actividad interactiva: Trapecio

1. Deducción de la fórmula del área de un trapecio.
Actividad:
Para ello, mueve el punto rojo hacia la izquierda. Obtendrás un duplicado del trapecio en color azul, que junto con el trapecio amarillo inicial, forman un paralelogramo de base B+b\;\! y altura a\;\!.

El área del paralelogramo es:

(B+b) \cdot a

de donde, dividiendo por 2, obtenemos el área del trapecio:

\cfrac {(B+b) \cdot a}{2}

Deducción de la fórmula del área del trapecio

(Mueve el punto rojo)
2. Halla el área y el perímetro de un trapecio de base mayor 5 cm., base menor 1,5 cm. y altura 2 cm.
Actividad:
Contesta en tu cuaderno y comprueba los resultados en la escena siguiente:

Cálculo del área y del perímetro de un trapecio

(Mueve los vértices del trapecio para variar la medida de los lados)

3. Halla el área y el perímetro de un trapecio rectángulo de base mayor 4,5 cm., base menor 3 cm. y altura 1,2 cm.
Actividad:

Contesta en tu cuaderno y comprueba los resultados en la escena siguiente:

Cálculo del área y del perímetro de un trapecio rectángulo

(Mueve los vértices del trapecio para variar la medida de los lados)

Mueve los vértices del trapecio para variar la medida de los lados.
4. Halla el área y el perímetro de un trapecio isósceles de base mayor 4 cm., base menor 2,4 cm. y lado L=2 cm.
Actividad:

Contesta en tu cuaderno y comprueba los resultados en la escena siguiente:

Cálculo del área y el perímetro de un trapecio isósceles

(Mueve los vértices del trapecio para variar la medida de los lados)

Polígonos regulares

Imagen:poligono.png

  • Perímetro:

P=n \cdot b

  • Área:

A=\cfrac {P \cdot a}{2}

  • Elementos:
b: lado.
a: apotema.
  • Nota:
n: número de lados.

ejercicio

Actividad interactiva: Polígono regular

1. Cálculo del área y perímetro de un polígono regular.
Actividad:
En esta escena puedes calcular el área y el perímetro de un polígono regular.

Mueve los puntos azules para variar el número de lados y la medida de los mismos.

Pero, para determinar el área, necesitamos conocer, además del lado, la apotema. Si conocemos uno de ellos y el radio, podemos hallar el otro por el Teorema de Pitágoras, como se observa en la siguiente escena:

Contesta en tu cuaderno y comprueba los resultados en las escenas anteriores:

  1. Halla la apotema de un octógono regular de 1,61 cm. de lado y 2,11 cm. de radio. Halla también su perímetro y su área.
  2. Halla el área de un hexágono regular de 2 cm de lado. (Observa como son el radio y el lado en un hexágono regular)

Círculo

Imagen:circulo.png

  • Perímetro:

P=2 \cdot \pi \cdot r

  • Área:

A=\pi \cdot r^2

  • Elementos:
r: radio.
  • Nota:
\pi\;\!: número Pi = 3,14159...

El perímetro es la longitud de la circunferencia.

ejercicio

Actividad interactiva: Círculo

1.
Actividad:

Contesta en tu cuaderno:

Corona circular

Imagen:corona.png

  • Perímetro:

P=2 \cdot \pi \cdot (R+r)

  • Área:

A=\pi \cdot (R^2-r^2)

  • Elementos:
r: radio.
  • Nota:
\pi\;\!: número Pi = 3,14159...

El perímetro es la suma de las longitudes de las circunferencias.

ejercicio

Actividad interactiva: Corona circular

1.
Actividad:

Contesta en tu cuaderno:

Sector circular

Ejercicios y Problemas

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