Progresiones geométricas

De Wikipedia

(Diferencia entre revisiones)

Revisión de 12:31 11 ene 2009

Menú:

Enlaces internos	Para repasar	Para ampliar	Enlaces externos
Indice Descartes Manual Casio	Gauss y el ajedrez		WIRIS Geogebra Calculadora

Tabla de contenidos

1 Definición
2 Término general de una progresión geométrica
3 Suma de términos de una progresión geométrica
4 Ejercicios

Definición

Una progresión geométrica es una sucesión de números en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija, $r\;\!$ , que llamaremos razón

Por ejemplo:

es una progresión geométrica de razón r=2.

Término general de una progresión geométrica

Término general de una progresión geométrica

Sean $a_1, a_2, a_3, ..... \;\!$ términos de una progresión geométrica de razón $r\;\!$ .

Entonces se cumple que:

$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$

Demostración:

En efecto, razonando por inducción:

$a_2 = a_1 \cdot r = a_1 \cdot r^1 \;\!$

$a_3 = a_2 \cdot r = a_1 \cdot r \cdot r = a_1 \cdot r^2 \;\!$

$a_4 = a_3 \cdot r = a_1 \cdot r^2 \cdot r = a_1 \cdot r^3 \;\!$

........................

$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$

Actividad Interactiva: Progresiones geométricas

Actividad 1: Ejercicios de autoevaluación sobre progresiones geométricas.

Actividad:

Pulsa "Nuevo" para que aparezcan otras progresiones.

Click aquí si no se ve bien la escena

Suma de términos de una progresión geométrica

Suma de términos de una progresión geométrica

La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica es:

$S_n=\frac{a_1.r^n-a_1}{r-1}$

Demostración:

Efectuamos la siguiente resta:

$r \cdot S_n \qquad ~= \qquad \quad a_2 \ + a_3 \ + \cdots +\ a_{n-2} + a_{n-1} + a_n +a_n \cdot r$

$-\;$

$S_n \ \qquad ~~~~= \ a_1 \ + a_2 \ + a_3 \ + \cdots +\ a_{n-2} + a_{n-1} + a_n$

______________________________________________________________________________

$r \cdot S_n- S_n= -a_1 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad ~~+a_n \cdot r$

por tanto:

$S_n(r-1)=a_n r-a_1 \rightarrow S_n=\cfrac{(a_n r - a_1)}{r-1}=\cfrac{(a_1 r^{n-1} r - a_1)}{r-1}=\cfrac{(a_1 r^n - a_1)}{r-1}$

Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica

La suma de todos los términos de una progresión geométrica en la que su razón verifica que $0<\; \mid r \mid \; <1$ se obtiene así:

$S_{\infty}=\frac{a_1}{1-r}$

Demostración:

Ejercicios

Actividad Interactiva: Progresiones

Actividad 1: Autoevaluación: ¿Aritmética o geométrica?

Actividad:

Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad 2: Diferencia entre progresión aritmética y geométrica.

Actividad:

Click aquí si no se ve bien la escena

Problemas

1. Comprueba que las sucesiones siguientes son progresiones geométricas. Calcula la razón y el término general de cada una de ellas.

a) 1, 3, 9, 27.... b) 4, -4, 4, -4,.... c) 27, 9, 3, 1,...

Solución:

$a) \quad a_n=3^{n-1} \qquad b)\quad a_n=4\cdot (-1)^{n-1} \qquad c)\quad a_n=27 \cdot \left ( \frac{1}{3} \right )^{n-1}= \frac{3^3}{3^{n-1}}= \frac{1}{3^{n-4}}$

2. ¿Cuál es la razón de una progresión geométrica cuyo primer término es 2 y el cuarto término 250?

Solución:

$250=2 \cdot r^3; \; 125=r^3; \; r=5$

3. Una persona comunica un secreto a otras 3. Diez minutos después cada una de ellas lo ha comunicado a otras 3 y cada una de estas a otras 3 nuevas en los diez minutos siguientes, y así sucesivamente. ¿Cuántas personas conocen el secreto después de dos horas?

Solución:

$a_n=3^n; \; a_{13}=3^{13}=1594323$

4. Según una leyenda india, el inventor del ajedrez solicitó como recompensa por el invento que se pusiera 1 grano de trigo en la primera casilla del tablero, 2 en la segunda, 4 en la tercera, y así sucesivamente; en cada una el doble que en la anterior. El rey aceptó pero su sorpresa fue grande cuando vio no sólo que no cabían los granos en las casillas sino que no había suficiente trigo en todo el reino para cumplir el compromiso.

Suponiendo que 10 granos de trigo pesan aproximadamente 1 g.¿podrías averiguar cuántos Kg. de trigo solicitó el inventor?

Solución:

a) $S_{64}= \frac{1 \cdot 2^{64}-1}{2-1}=2^{64}-1= 18446744073709551615$

b) $\frac{18446744073709551615}{10000}=1844674407370955,1615 \;Kg$

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Progresiones_geom%C3%A9tricas"

Categorías: Matemáticas | Números

 Efectuamos la siguiente resta:
-::<math>r \cdot S_n  = \qquad a_2 \ + ~~a_3 \ + \cdots +\ a_{n-2} + a_{n-1} + a_n +a_n \cdot r</math>{{p}}
+::<math>r \cdot S_n  \qquad ~= \qquad \quad a_2 \ + a_3 \ + \cdots +\ a_{n-2} + a_{n-1} + a_n +a_n \cdot r</math>{{p}}
 :<math>-\;</math>
-::<math>~~S_n \ = \ a_1 \ + ~~a_2 \ + ~~a_3 \ + \cdots +\ a_{n-2} + a_{n-1} + a_n</math>{{p}}
+::<math>S_n \ \qquad ~~~~= \ a_1 \ + a_2 \ + a_3 \ + \cdots +\ a_{n-2} + a_{n-1} + a_n</math>{{p}}
-::_______________________________________________________________{{p}}
+::______________________________________________________________________________{{p}}
-::<math>r \cdot S_n- S_n= -a_1 \qquad \qquad +a_n \cdot r</math>
+::<math>r \cdot S_n- S_n= -a_1 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad ~~+a_n \cdot r</math>
 por tanto:

Progresiones geométricas

De Wikipedia

Revisión de 12:31 11 ene 2009

Tabla de contenidos

Definición

Término general de una progresión geométrica

Suma de términos de una progresión geométrica

Ejercicios

Vistas

Herramientas personales

Menú

Buscar

Herramientas