Progresiones geométricas
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Efectuamos la siguiente resta: | Efectuamos la siguiente resta: | ||
- | ::<math>r \cdot S_n = \qquad a_2 \ + ~~a_3 \ + \cdots +\ a_{n-2} + a_{n-1} + a_n +a_n \cdot r</math>{{p}} | + | ::<math>r \cdot S_n \qquad ~= \qquad \quad a_2 \ + a_3 \ + \cdots +\ a_{n-2} + a_{n-1} + a_n +a_n \cdot r</math>{{p}} |
:<math>-\;</math> | :<math>-\;</math> | ||
- | ::<math>~~S_n \ = \ a_1 \ + ~~a_2 \ + ~~a_3 \ + \cdots +\ a_{n-2} + a_{n-1} + a_n</math>{{p}} | + | ::<math>S_n \ \qquad ~~~~= \ a_1 \ + a_2 \ + a_3 \ + \cdots +\ a_{n-2} + a_{n-1} + a_n</math>{{p}} |
- | ::_______________________________________________________________{{p}} | + | ::______________________________________________________________________________{{p}} |
- | ::<math>r \cdot S_n- S_n= -a_1 \qquad \qquad +a_n \cdot r</math> | + | ::<math>r \cdot S_n- S_n= -a_1 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad ~~+a_n \cdot r</math> |
por tanto: | por tanto: |
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Tabla de contenidos |
Definición
Una progresión geométrica es una sucesión de números en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija, , que llamaremos razón
Por ejemplo:
es una progresión geométrica de razón r=2.
Término general de una progresión geométrica
Término general de una progresión geométrica
Sean términos de una progresión geométrica de razón
.
Entonces se cumple que:
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En efecto, razonando por inducción:

........................
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Actividad Interactiva: Progresiones geométricas
Actividad 1: Ejercicios de autoevaluación sobre progresiones geométricas.
Actividad:
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Suma de términos de una progresión geométrica
Suma de términos de una progresión geométrica
La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica es:
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Efectuamos la siguiente resta:
- ______________________________________________________________________________
por tanto:
Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica
La suma de todos los términos de una progresión geométrica en la que su razón verifica que se obtiene así:
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Ejercicios
Actividad Interactiva: Progresiones
Actividad 1: Autoevaluación: ¿Aritmética o geométrica?
Actividad 2: Diferencia entre progresión aritmética y geométrica.
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Problemas 1. Comprueba que las sucesiones siguientes son progresiones geométricas. Calcula la razón y el término general de cada una de ellas. a) 1, 3, 9, 27.... b) 4, -4, 4, -4,.... c) 27, 9, 3, 1,...Solución: ![]()
2. ¿Cuál es la razón de una progresión geométrica cuyo primer término es 2 y el cuarto término 250?
Solución: ![]()
3. Una persona comunica un secreto a otras 3. Diez minutos después cada una de ellas lo ha comunicado a otras 3 y cada una de estas a otras 3 nuevas en los diez minutos siguientes, y así sucesivamente. ¿Cuántas personas conocen el secreto después de dos horas?
Solución: ![]() 4. Según una leyenda india, el inventor del ajedrez solicitó como recompensa por el invento que se pusiera 1 grano de trigo en la primera casilla del tablero, 2 en la segunda, 4 en la tercera, y así sucesivamente; en cada una el doble que en la anterior. El rey aceptó pero su sorpresa fue grande cuando vio no sólo que no cabían los granos en las casillas sino que no había suficiente trigo en todo el reino para cumplir el compromiso. Suponiendo que 10 granos de trigo pesan aproximadamente 1 g.¿podrías averiguar cuántos Kg. de trigo solicitó el inventor?Solución: a) ![]() ![]() |