Progresiones geométricas

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Revisión de 17:40 12 ene 2009

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Tabla de contenidos

1 Definición
2 Término general de una progresión geométrica
3 Suma de términos de una progresión geométrica
4 Ejercicios

Definición

Una progresión geométrica es una sucesión de números en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija, $r\;\!$ , que llamaremos razón

Por ejemplo:

es una progresión geométrica de razón r=2.

Término general de una progresión geométrica

Término general de una progresión geométrica

Sean $a_1, a_2, a_3, ..... \;\!$ términos de una progresión geométrica de razón $r\;\!$ .

Entonces se cumple que:

$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$

Demostración:

En efecto, razonando por inducción:

$a_2 = a_1 \cdot r = a_1 \cdot r^1 \;\!$

$a_3 = a_2 \cdot r = a_1 \cdot r \cdot r = a_1 \cdot r^2 \;\!$

$a_4 = a_3 \cdot r = a_1 \cdot r^2 \cdot r = a_1 \cdot r^3 \;\!$

........................

$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$

Actividad Interactiva: Progresiones geométricas

Actividad 1: Ejercicios de autoevaluación sobre progresiones geométricas.

Actividad:

Pulsa "Nuevo" para que aparezcan otras progresiones.

Click aquí si no se ve bien la escena

Suma de términos de una progresión geométrica

Suma de términos de una progresión geométrica

La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica es:

$S_n=\frac{a_1.r^n-a_1}{r-1}$

Demostración:

Efectuamos la siguiente resta:

$r \cdot S_n \qquad ~= \qquad \quad a_2 \ + a_3 \ + \cdots +\ a_{n-2} + a_{n-1} + a_n +a_n \cdot r$

$-\;$

$S_n \ \qquad ~~~~= \ a_1 \ + a_2 \ + a_3 \ + \cdots +\ a_{n-2} + a_{n-1} + a_n$

______________________________________________________________________________

$r \cdot S_n- S_n= -a_1 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad ~~+a_n \cdot r$

por tanto:

$S_n(r-1)=a_n r-a_1\;$

y despejando

$S_n=\cfrac{(a_n \cdot r - a_1)}{r-1}=\cfrac{(a_1 \cdot r^{n-1} \cdot r - a_1)}{r-1}=\cfrac{(a_1 \cdot r^n - a_1)}{r-1}$

Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica

La suma de todos los términos de una progresión geométrica en la que su razón verifica que $0<\; \mid r \mid \; <1$ se obtiene así:

$S_{\infty}=\frac{a_1}{1-r}$

Demostración:

La siguiente demostración usa el concepto de límite que aún no conoceis:

Vamos a partir de la fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica y vamos a hacer que n tienda a infinito.

$S_n=\frac{a_1.r^n-a_1}{r-1}$

Como $0<\; \mid r \mid \; <1$ , cuando n tiende a infinito, $r^n\;$ tiende a 0.

Entonces, $S_n\;$ tiende a $\frac{0-a_1}{r-1}=\frac{a_1}{1-r}$ , y a ese valor límite de $S_n\;$ lo llamamos $S_{\infty}$ .

Ejercicios

Actividad Interactiva: Progresiones

Actividad 1: Autoevaluación: ¿Aritmética o geométrica?

Actividad:

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Actividad 2: Diferencia entre progresión aritmética y geométrica.

Actividad:

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Problemas

1. Comprueba que las sucesiones siguientes son progresiones geométricas. Calcula la razón y el término general de cada una de ellas.

a) 1, 3, 9, 27.... b) 4, -4, 4, -4,.... c) 27, 9, 3, 1,...

Solución:

$a) \quad a_n=3^{n-1} \qquad b)\quad a_n=4\cdot (-1)^{n-1} \qquad c)\quad a_n=27 \cdot \left ( \frac{1}{3} \right )^{n-1}= \frac{3^3}{3^{n-1}}= \frac{1}{3^{n-4}}$

2. ¿Cuál es la razón de una progresión geométrica cuyo primer término es 2 y el cuarto término 250?

Solución:

$250=2 \cdot r^3; \; 125=r^3; \; r=5$

3. Una persona comunica un secreto a otras 3. Diez minutos después cada una de ellas lo ha comunicado a otras 3 y cada una de estas a otras 3 nuevas en los diez minutos siguientes, y así sucesivamente. ¿Cuántas personas conocen el secreto después de dos horas?

Solución:

$a_n=3^n; \; a_{13}=3^{13}=1594323$

4. Según una leyenda india, el inventor del ajedrez solicitó como recompensa por el invento que se pusiera 1 grano de trigo en la primera casilla del tablero, 2 en la segunda, 4 en la tercera, y así sucesivamente; en cada una el doble que en la anterior. El rey aceptó pero su sorpresa fue grande cuando vio no sólo que no cabían los granos en las casillas sino que no había suficiente trigo en todo el reino para cumplir el compromiso.

Suponiendo que 10 granos de trigo pesan aproximadamente 1 g.¿podrías averiguar cuántos Kg. de trigo solicitó el inventor?

Solución:

a) $S_{64}= \frac{1 \cdot 2^{64}-1}{2-1}=2^{64}-1= 18446744073709551615$

b) $\frac{18446744073709551615}{10000}=1844674407370955,1615 \;Kg$

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Progresiones_geom%C3%A9tricas"

Categorías: Matemáticas | Números

 por tanto:
-::<math>S_n(r-1)=a_n r-a_1\;</math>
+<center><math>S_n(r-1)=a_n r-a_1\;</math></center>
 y despejando
-<math>S_n=\cfrac{(a_n \cdot r - a_1)}{r-1}=\cfrac{(a_1 \cdot r^{n-1} \cdot r - a_1)}{r-1}=\cfrac{(a_1 \cdot r^n - a_1)}{r-1}</math>
+<center><math>S_n=\cfrac{(a_n \cdot r - a_1)}{r-1}=\cfrac{(a_1 \cdot r^{n-1} \cdot r - a_1)}{r-1}=\cfrac{(a_1 \cdot r^n - a_1)}{r-1}</math></center>
 }}
 Como <math> 0<\; \mid r \mid \; <1 </math>, cuando n tiende a infinito, <math>r^n\;</math> tiende a 0.
-Entonces, <math>S_n\;</math> tiende a <math>\frac{0-a_1}{r-1}=\frac{a_1}{1-r}</math>.
+Entonces, <math>S_n\;</math> tiende a <math>\frac{0-a_1}{r-1}=\frac{a_1}{1-r}</math>, y a ese valor límite de <math>S_n\;</math> lo llamamos <math>S_{\infty}</math>.
-A ese valor límite de <math>S_n\;</math> lo llamamos <math>S_{\infty}</math>
 }}

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