Otros tipos de ecuaciones (4ºESO Académicas)
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==Ecuaciones con la x en el denominador== | ==Ecuaciones con la x en el denominador== | ||
- | {{Caja_Amarilla|texto=Las ecuaciones que tienen la incógnita en el denominador, laspuedes resolver de forma análoga a las que tienen números en el denominador, es decir, haciendo el '''mínimo común múltiplo de los denominadores'''. A continuación se divide el m.c.m. entre cada denominador y se multiplica el resultado por su respectivo numerador, Esto se hace con los dos miembros de la ecuación.De esta forma desaparecen los denominadores y la ecuación resultante ya es más sencilla de resolver. | + | {{Ecuaciones con la x en el denominador}} |
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- | En estos procesos de multiplicar los miembros de la ecuación por polinomios, pueden aparecer soluciones falsas. Por tanto, al terminar, siempre debemos '''comprobar todas las posibles soluciones''' obtenidas. | + | |
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{{p}} | {{p}} | ||
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- | {{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Ecuaciones con x en el denominador'' | ||
- | |enunciado=Resuelve las ecuación: <math> \frac{1} {x}- \frac{1} {x+3} = \frac{3} {10} </math> | ||
- | |sol=El m.c.m. de los denominadores es <math>10x(x+3)\,\!</math>. Lo dividimos por cada denominador y multiplicamos el resultado por el numerador, de manera que los denominadores desaparecen: | ||
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- | :<math>10(x+3)-10x = 3x(x+3)\;</math> | ||
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- | Simplificamos la ecuación resultante: | ||
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- | :<math>10x+30-10x = 3x^2+9x \rightarrow 3x^2+9x-30 = 0 \rightarrow x^2+3x-10 = 0 | ||
- | </math> | ||
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- | Y la resolvemos: | ||
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- | :<math>x = \frac{-3 \pm \sqrt{9+40}} {2} = \frac{-3 \pm 7} {2} | ||
- | </math> | ||
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- | Hay dos soluciones: <math>x=2\;</math> y <math>x=-5\;</math>. Ambas se deben comprobar en la ecuación inicial y resultan ser válidas: | ||
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- | :<math> \frac{1} {2}- \frac{1} {5}= \frac{5-2} {10} = \frac{3} {10}</math> | ||
- | :<math> \frac{1} {-5}- \frac{1} {-2}= \frac{-1} {5}+ \frac{1} {2} = \frac{3} {10}</math> | ||
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- | }} | ||
==Ecuaciones con radicales== | ==Ecuaciones con radicales== |
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Tabla de contenidos |
Ecuaciones bicuadradas
Las ecuaciones bicuadradas son ecuaciones de cuarto grado que no tienen terminos de grado impar, es decir son de la forma
Resolución de la ecuación bicuadrada
El método para resolver una ecuación bicuadrada
consiste en hacer el cambio de variable . Entonces, nos quedará la siguiente ecuación de segundo grado en "y".
Una vez resuelta esta ecuación en "y", tenemos que averiguar el valor de la "x". Para ello desharemos el cambio de variable, haciendo . En consecuencia, las soluciones , las rechazaremos, ya que no darán solución para la , quedándonos sólo con las soluciones de no negativas, cada una de las cuales dará dos soluciones para la .
En consecuencia, una ecuación bicuadrada tendrá, como máximo, cuatro soluciones reales.
Ejercicios resueltos: Ecuaciones bicuadradas
Resuelve las ecuaciones:
- a)
- b)
- c)
a)
- Soluciones:
b)
- Soluciones:
c)
- Soluciones:
Ecuaciones bicuadradas. Ejemplos.
Tutorial que explica de forma completa la resolución de ecuaciones bicuadradas, resolviendo muchos ejercicios desde muy sencillos, para entender mejor la estrategia a seguir, hasta más completos.
- 00:00 a 04:55: Conceptos teóricos de la resolución de ecuaciones de grado mayor que 2. Método de Factorización.
- 04:55 a 27:27: Ejercicios de ecuaciones bicuadradas o que pueden resolverse con este método.
- Método de resolución de ecuaciones bicuadradas.
- Ejemplos.
Método de resolución de ecuaciones bicuadradas. Ejemplos.
Resuelve y factoriza:
Resuelve:
a)
b)
c)
d)
e)
Ecuaciones con la x en el denominador
Las ecuaciones con fracciones algebraicas, son aquellas en las que intervienen fracciones algebraicas y, por tanto, las incógnitas aparecen en algún denominador.
Resolución de las ecuaciones con fracciones algebraicas
Estas ecuaciones se pueden resolver de forma análoga a las que tienen números en el denominador, multiplicando los dos miembros de la ecuación por el m.c.m. de los polinomios de los denominadores y simplificando (se divide el m.c.m. entre cada denominador y se multiplica el resultado por su respectivo numerador). De esta forma desaparecen los denominadores y la ecuación resultante ya es más sencilla de resolver.
En estos procesos de multiplicar los miembros de la ecuación por polinomios, pueden aparecer soluciones falsas. Por tanto, al terminar, siempre debemos comprobar todas las posibles soluciones obtenidas.
Ejercicio resuelto: Ecuaciones con fracciones algebraicas
Resuelve las ecuación:
El m.c.m. de los denominadores es . Multiplicamos ambos miembros por el m.c.m. (o equivalentemente, dividimos el m.c.m. por cada denominador y multiplicamos el resultado por el numerador).
Simplificamos:
Y la resolvemos:
Ambas soluciones, tras ser comprobadas en la ecuación inicial, resultan ser válidas.
Soluciones:Ecuaciones con fracciones algebraicas. Ejemplos
Tutorial que explica de forma completa la resolución de ecuaciones con quebrados algebraicos, que son aquellas que tienen expresiones algebraicas en el denominador, resolviendo muchos ejercicios desde muy sencillos, para entender mejor la estrategia a seguir, hasta más completos.
Ejercicios de ecuaciones con radicales:
- (01:03)
- (05:00)
- (10:00)
- (14:56)
- (20:28)
- (25:00)
Ecuaciones racionales, que son aquellas con la x en el denominador.
Resuelve:
Resuelve:
Resuelve:
Resuelve:
Resuelve:
Resuelve:
Resuelve:
Resuelve:
Actividad: Ecuaciones con fracciones algebraicas Resuelve las siguientes ecuaciones:
Solución: Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
|
Ecuaciones con radicales
Las ecuaciones con radicales son aquellas que tienen la x dentro de raices cuadradas. Para solucionarlas hay que aislar las raices una a una e ir elevando al cuadrado para eliminarlas.
Al elevar al cuadrado para buscar la solución, pueden aparecer soluciones erroneas. Por eso, al finalizar, hay que hacer la comprobación en la ecuación inicial para detectar y recharzar las que no sean válidas.
Ejemplo: Ecuaciones con radicales
Resuelve las ecuaciones:
- a)
- b)
a)
Se elevan al cuadrado los dos lados de la ecuación:
Comprobación:
b)
Despejamos la primera raíz (Podíamos haber empezado por la segunda)
Se elevan al cuadrado los dos lados del igual
Aislamos la raíz
Se elevan al cuadrado los dos lados del igual
Comprobación
Ecuaciones factorizadas
Las ecuaciones factorizadas son ecuaciones del tipo:
donde cada factor es una expresión algebraica.
Como para que un producto sea cero basta con que uno de los factores sea cero, tenemos que igualar a cero cada factor y resolver la ecuación resultante.