Otros tipos de ecuaciones (4ºESO Académicas)

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Tabla de contenidos

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Ecuaciones bicuadradas

Las ecuaciones bicuadradas son ecuaciones de cuarto grado que no tienen terminos de grado impar, es decir son de la forma

ax^4 + bx^2 +c = 0\,\!

ejercicio

Resolución de la ecuación bicuadrada

El método para resolver una ecuación bicuadrada

ax^4 + bx^2 +c = 0\,\!

consiste en hacer el cambio de variable x^2=y\,\!. Entonces, nos quedará la siguiente ecuación de segundo grado en "y".

ay^2 + by + c = 0 \,\!

Una vez resuelta esta ecuación en "y", tenemos que averiguar el valor de la "x". Para ello desharemos el cambio de variable, haciendo x=\pm \sqrt{y}. En consecuencia, las soluciones y<0\,\!, las rechazaremos, ya que no darán solución para la x\,\!, quedándonos sólo con las soluciones de y\,\! no negativas, cada una de las cuales dará dos soluciones para la x\,\!.

En consecuencia, una ecuación bicuadrada tendrá, como máximo, cuatro soluciones reales.

ejercicio

Ejercicios resueltos: Ecuaciones bicuadradas

Resuelve las ecuaciones:

a) x^4 - 10x^2 + 9 = 0\;\!
b) x^4 - 2x^2 - 3 = 0\;\!
c) x^4 - 5x^2 = 0 \;\!
Solución:

a)

x^4 - 10x^2 + 9 = 0 \rightarrow \left \{ x^2=y \right \}\rightarrow y^2-10y+9=0
y = \frac{10 \pm \sqrt{100-36}}{2}=\frac{10 \pm 8}{2} \rightarrow \begin{cases} y=1 \rightarrow x= \pm \sqrt 1 = \pm 1 \\ y=9 \rightarrow x= \pm \sqrt 9 = \pm 3 \end{cases}
Soluciones: -1,\, 1,\, -3,\, 3 \!

b)

x^4 - 2x^2 - 3 = 0 \rightarrow \left \{ x^2=y \right \}\rightarrow y^2-2y-3=0
y = \frac{2 \pm \sqrt{4+12}}{2}=\frac{2 \pm 4}{2} \rightarrow \begin{cases} y=-1 \rightarrow \mbox {No existe solucion para x} \\ y=3 \rightarrow x= \pm \sqrt 3 \end{cases}
Soluciones: -\sqrt 3,\, \sqrt 3\,\!

c)

x^4 - 5x^2 = 0 \rightarrow \left \{ x^2=y \right \}\rightarrow y^2-5y=0
y(y-5)=0 \rightarrow \begin{cases} y=0 \rightarrow x= 0 \\ y=5 \rightarrow x= \pm \sqrt 5 \end{cases}
Soluciones: 0,\, -\sqrt 5,\, \sqrt 5\ \!
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Ecuaciones bicuadradas
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Actividad: Ecuaciones bicuadradas

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x^4-5x^2+4=0 \;
b) x^4+3x^2+2=0 \;

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) solve x^4-5x^2+4=0
b) solve x^4+3x^2+2=0 over the reals


video
Ecuaciones bicuadradas
Tutorial 1 (5'58")     Sinopsis:

Ecuaciones bicuadradas. Ejemplos.

Tutorial 2 (27'27")     Sinopsis:

Tutorial que explica de forma completa la resolución de ecuaciones bicuadradas, resolviendo muchos ejercicios desde muy sencillos, para entender mejor la estrategia a seguir, hasta más completos.

  • 00:00 a 04:55: Conceptos teóricos de la resolución de ecuaciones de grado mayor que 2. Método de Factorización.
  • 04:55 a 27:27: Ejercicios de ecuaciones bicuadradas o que pueden resolverse con este método.
Tutorial 3 (5´48")     Sinopsis:
  • Método de resolución de ecuaciones bicuadradas.
  • Ejemplos.
Tutorial 4 (8´08")     Sinopsis:

Método de resolución de ecuaciones bicuadradas. Ejemplos.

Ejercicio 1 (5'33")     Sinopsis:

Resuelve y factoriza: x^4-10x^2+9=0\;

Ejercicio 2 (5´16")     Sinopsis:

Resuelve:

a) x^4+3x^2-4=0\;

b) x^4-9x^2=0\;

c) x^4-9=0\;

d) x^4+5=0\;

e) x^6-9x^3+8=0\;

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Ecuaciones con fracciones algebraicas

Las ecuaciones con fracciones algebraicas, son aquellas en las que intervienen fracciones algebraicas y, por tanto, las incógnitas aparecen en algún denominador.

ejercicio

Resolución de las ecuaciones con fracciones algebraicas

Estas ecuaciones se pueden resolver de forma análoga a las que tienen números en el denominador, multiplicando los dos miembros de la ecuación por el m.c.m. de los polinomios de los denominadores y simplificando (se divide el m.c.m. entre cada denominador y se multiplica el resultado por su respectivo numerador). De esta forma desaparecen los denominadores y la ecuación resultante ya es más sencilla de resolver.

En estos procesos de multiplicar los miembros de la ecuación por polinomios, pueden aparecer soluciones falsas. Por tanto, al terminar, siempre debemos comprobar todas las posibles soluciones obtenidas.

ejercicio

Ejercicio resuelto: Ecuaciones con fracciones algebraicas

Resuelve las ecuación: \frac{6} {x}+ \frac{x+1} {x-2} = 6

Solución:

El m.c.m. de los denominadores es x(x-2)\,\!. Multiplicamos ambos miembros por el m.c.m. (o equivalentemente, dividimos el m.c.m. por cada denominador y multiplicamos el resultado por el numerador).

6(x-2)+(x+1)x = 6x(x-2)\;

Simplificamos:

5x^2-19x+12=0 \;

Y la resolvemos:

x = \frac{19 \pm \sqrt{361-240}} {10} = \frac{19 \pm 11} {10} \rightarrow \begin{cases}x_1=3 \\ x_2=\cfrac{4}{5} \end{cases}

Ambas soluciones, tras ser comprobadas en la ecuación inicial, resultan ser válidas.

Soluciones: x_1=3~,\ x_2=\cfrac{4}{5}

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Ecuaciones con fracciones algebraicas
Tutorial 1 (6'12")     Sinopsis:

Ecuaciones con fracciones algebraicas. Ejemplos

Tutorial 2 (37'08")     Sinopsis:

Tutorial que explica de forma completa la resolución de ecuaciones con quebrados algebraicos, que son aquellas que tienen expresiones algebraicas en el denominador, resolviendo muchos ejercicios desde muy sencillos, para entender mejor la estrategia a seguir, hasta más completos.

Ejercicios de ecuaciones con radicales:

  1. (01:03) \cfrac{x+2}{x}=\cfrac{x+5}{x+1}
  2. (05:00) \cfrac{3}{x}+2=x
  3. (10:00) x+\cfrac{4}{x}=\cfrac{4-x}{x}
  4. (14:56) \cfrac{3}{x-1}-\cfrac{2}{x+1}=1
  5. (20:28) \cfrac{x-1}{x^2}+3=-\cfrac{1}{x}
  6. (25:00) \cfrac{3}{x^2-4}-\cfrac{x+1}{x+2}=-1
Tutorial 3 (12'02")     Sinopsis:

Ecuaciones racionales, que son aquellas con la x en el denominador.

Ejercicio 1 (8'48")     Sinopsis:

Resuelve: \cfrac{3}{x+1}-\cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{3x+3}

Ejercicio 2 (9'42")     Sinopsis:

Resuelve: \cfrac{4}{x-1}+\cfrac{2}{x+1}=\cfrac{35}{x^2-1}

Ejercicio 3 (11'17")     Sinopsis:

Resuelve: \cfrac{1}{x^2-2x-24}-\cfrac{3}{x+4}=\cfrac{7}{x-6}

Ejercicio 4 (21'10")     Sinopsis:

Resuelve: \cfrac{20}{x-3}-\cfrac{1}{x+1}=\cfrac{6}{x}

Ejercicio 5 (11'17")     Sinopsis:

Resuelve: 3=\cfrac{2x}{x+1}+\cfrac{x^2}{(x+1)^2}

Ejercicio 6 (13'18")     Sinopsis:

Resuelve: \cfrac{4}{x^2-4x-21}=\cfrac{3}{x^2-2x-15}-\cfrac{10}{x^2-12x+35}

Ejercicio 7 (6'27")     Sinopsis:

Resuelve: \cfrac{2x}{x-2}=1-\cfrac{x+2}{2}

Ejercicio 8 (9'37")     Sinopsis:

Resuelve: \cfrac{3x-5}{x-1}=\cfrac{3x-2}{x+2}

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Ecuaciones con fracciones algebraicas
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Actividad: Ecuaciones con fracciones algebraicas

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) \frac{x+2}{x}+3x=\frac{5x+6}{2}
b) \frac{8}{x+6}+\frac{12-x}{x-6}=1
c) \frac{3x+1}{x^3}+\frac{x+1}{x}=1+\frac{2x+3}{x^2}

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) solve (x+2)/x+3x=(5x+6)/2      b) solve 8/(x+6)+(12-x)/(x-6)=1      c) solve (3x+1)/x^3+(x+1)/x=1+(2x+3)/x^2

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Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Ecuaciones bicuadradas y con fracciones algebraicas

(Pág. 59)

4 y 5

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Ecuaciones con radicales

Las ecuaciones con radicales o ecuaciones irracionales son aquellas que tienen la incógnita bajo el signo radical.

ejercicio

Resolución de las ecuaciones radicales

Para resolver las ecuaciones con radicales hay que aislar las raices, una a una, e ir elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación para eliminarlas.

Al elevar al cuadrado para buscar la solución, pueden aparecer soluciones erroneas. Por eso, al finalizar, hay que hacer la comprobación en la ecuación inicial para detectar y recharzar las que no sean válidas.

ejercicio

Ejercicios resueltos: Ecuaciones con radicales

Resuelve las ecuaciones:

a) \sqrt{2x-3} +1=x\;\!
b) \sqrt{2x-3} + \sqrt{x+7} = 4 \;\!
Solución:

a) \sqrt{2x-3} +1=x

Aislamos la raíz:

\sqrt{2x-3}=x-1

Se elevan al cuadrado los dos lados de la ecuación:

2x-3=x^2-2x+1 \rightarrow x^2 -4x + 4 \rightarrow x=2 \ (doble)

Comprobación: \sqrt{2 \cdot 2 - 3} + 1 = \sqrt{1} + 1 = 2

Luego es válida x=2 \;.

b) \sqrt{2x-3} + \sqrt{x+7} = 4

Aislamos una de las dos raíces:

\sqrt{2x-3} = 4 - \sqrt{x+7}

Se elevan al cuadrado los dos lados de la ecuación:

2x-3 = 16 + (x+7) -8\sqrt{x+7}

Aislamos la raíz:

x -26 = -8\sqrt{x+7}

Se elevan al cuadrado los dos lados de la ecuación:

x^2-52x+676=64(x+7) \rightarrow x^2-116x+228=0 \rightarrow \begin{cases}x_1=2 \\ x_2=114 \end{cases}

Comprobación: \begin{cases} x_1=2 \rightarrow \sqrt{2 \cdot 2 -3} + \sqrt{2+7}=\sqrt{1}+\sqrt{9} = 1+3=4 \\ x_2=114 \rightarrow \sqrt{2 \cdot 114 - 3} + \sqrt{114+7}=15+11 \ne 4 \end{cases}

Sólo es válida x_1=2 \;

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Ecuaciones con radicales
Tutorial 1 (5'54")     Sinopsis:

Ecuaciones con radicales. Ejemplos.

Tutorial 2 (26'33")     Sinopsis:

Tutorial que explica de forma completa la resolución de ecuaciones con radicales, resolviendo muchos ejercicios desde muy sencillos, para entender mejor la estrategia a seguir, hasta más completos.

1) (00:57) \sqrt{x+1} =2\;
2) (03:10) \sqrt[3]{x-2}+2 =0\;
3) (04:40) \sqrt{x}+6 =x\;
4) (11:28) \sqrt{2x-1}+x =2\;
5) (14:12) \sqrt{x+5}+\sqrt{x} =1\;
6) (19:20) \sqrt{2x+1}-\sqrt{3x+4} =-1\;
Tutorial 3a (6'55")     Sinopsis:

Ecuaciones irracionales, que son aquellas con radicales.

Tutorial 3b (13'06")     Sinopsis:

Ecuaciones irracionales, que son aquellas con radicales.

Ejercicio 1 (8'18")     Sinopsis:

Resuelve:

a) \sqrt{x} +x=6\;

b) \sqrt{x+5} -\sqrt{x}=1\;

Ejercicio 2 (1'54")     Sinopsis:

Resuelve: 7+\sqrt[3]{5x-2}=9\;

Ejercicio 3 (6'33")     Sinopsis:

Resuelve: 3+\sqrt{3x+1}=x\;

Ejercicio 4 (11'23")     Sinopsis:

Resuelve: 2x-\sqrt{x+7}=1\;

Ejercicio 5 (7'32")     Sinopsis:

Resuelve: x+\sqrt{4x-3}=2\;

Ejercicio 6 (11'26")     Sinopsis:

Resuelve: 3x+2\sqrt{3x+1}=7\;

Ejercicio 7 (14'21")     Sinopsis:

Resuelve: \sqrt{x+5}+\sqrt{20-x}=7\;

Ejercicio 8 (12'04")     Sinopsis:

Resuelve: \sqrt{4-x}+\sqrt{1+x}=3\;

Ejercicio 9 (13'47")     Sinopsis:

Resuelve: \sqrt{2x-3}+\sqrt{x+3}=\sqrt{5x+6}\;

Ejercicio 10 (18'48")     Sinopsis:

Resuelve: \sqrt[3]{x+3}=\sqrt{x-1}\;

Ejercicios 11 (4'24")     Sinopsis:

3 ecuaciones con radicales.

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Ecuaciones con radicales
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Actividad: Ecuaciones con radicales

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) \sqrt{5x+6}=3+2x
b) x+\sqrt{7-3x}=1
c) \sqrt{2-5x}+x\cdot \sqrt{3}=0

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) solve sqrt(5x+6)=3+2x      b) solve x+sqrt(7-3x)=1      c) solve sqrt(2-5x)+x*sqrt(3)=0

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Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Ecuaciones con radicales

(Pág. 60)

6

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Ecuaciones exponenciales

Las ecuaciones exponenciales son aquellas en las que la incógnita aparece como exponente.

Para su resolución hay que tener en cuenta las propiedades de las potencias y también puede ser necesario usar logaritmos.

ejercicio

Ejercicios resueltos: Ecuaciones exponenciales

Resuelve las siguientes ecuaciónes:

a) 3^{1-x^2}=\cfrac{1}{27}\;
b) 5^{x^2-5x+6}=1 \;
c) 3^{1-x^2}=2\;
d) 2^x+2^{x+1}=12\;
Solución:

a)

3^{1-x^2}=\cfrac{1}{27}\;

Expresamos el segundo miembro como potencia de 2:

3^{1-x^2}=3^{-3}

Como a^x = a^y \iff x=y, los exponentes deben ser iguales:

1-x^2=-3\;

Y resolvemos la ecuación de segundo grado incompleta:

x^2=4 \ \rightarrow \ x=\pm 2

 

Soluciones: x_1=2 \, \ x_2=-2

b)

5^{x^2-5x+6}=1 \;

Expresamos el segundo miembro como potencia de 5:

5^{x^2-5x+6}=5^0 \;

Como a^x = a^y \iff x=y, los exponentes deben ser iguales:

x^2-5x+6=0 \;

Resolvemos la ecuación de segundo grado:

x = \frac{5 \pm \sqrt{25-24}}{2}= \begin{cases} x_1=2 \\ x_2=3 \end{cases}


Soluciones: x_1=2 , \ x_2=3;

c)

3^{1-x^2}=2\;

Como el segundo miembro no podemos expresarlo como potencia de base 3, tomaremos logaritmos en ambos lados de la ecuación:

log \ 3^{1-x^2}= log \ 2

Aplicando la propiedad del logaritmo de una potencia:

(1-x^2) \ log \ 3= log \ 2

Y resolvemos la ecuación de segundo grado incompleta:

1-x^2= \cfrac{log \ 2}{log \ 3} \rightarrow x^2=1-\cfrac{log \ 2}{log \ 3} \rightarrow \ x=\pm \sqrt{1-\cfrac{log \ 2}{log \ 3}} \approx \pm 0.6075

 

Soluciones: x_1 \approx 0.6075 \, \ x_2 \approx -0.6075

d)

2^x+2^{x+1}=12\;

Haciendo el cambio de variable:

2^x=y \;

tenemos que:

2^{x+1}=2^x \cdot 2^1 = 2y \;

Y la ecuación de partida queda:

y+2y=12\;

Resolvemos la ecuación de primer grado:

3y=12 \rightarrow y = 4 \;

Y deshacemos el cambio de variable:

y=4 \rightarrow 2^x=4 \rightarrow x = 2 \;

 

Solución: x=2 \;

video
Ecuaciones exponenciales
Tutorial 1 (22'26")     Sinopsis:

Tutorial que trabaja las ecuaciones exponenciales, desde muy sencillas, en donde únicamente se utilizan las propiedades básicas de las potencias, hasta otras más completas en donde es necesario realizar un cambio de variable.

  • 00:00 a 01:15: Introducción y propiedad.
  • 01:15 a 07:00: Ejercicios básicos, resolubles con las propiedades de las potencias.
  • 07:00 a 11:55: Ejercicios de ecuaciones exponenciales usando el cambio de variable (primer grado).
  • 11:55 a 22:26: Ejercicios de ecuaciones exponenciales usando el cambio de variable (segundo grado).
Tutorial 2a (2'32")     Sinopsis:

Ecuaciones exponenciales, que son aquellas con la x en el exponente.

Tutorial 2b (5'32")     Sinopsis:

Ejemplos de resolución de ecuaciones exponenciales.

Tutorial 2c (11'17")     Sinopsis:

Más ejemplos de resolución de ecuaciones exponenciales.

Ejercicio 1 (6'30")     Sinopsis:

Resuelve:

a) 4^{2x-5}=64\;
b) 7^{3-x}=5^{x+1}\;
Ejercicio 2 (5'01")     Sinopsis:

Resuelve:

8^{x+2} \cdot 4^{x-6} =16\;
Ejercicio 3 (7'29")     Sinopsis:

Resuelve:

12^{x-2} = 4^x\;
Ejercicio 4 (6'39")     Sinopsis:

Resuelve:

9^x \cdot \left( \frac{1}{3} \right) ^{x+2} = 27 \cdot (3^x)^{-2}\;
Ejercicio 5 (6'23")     Sinopsis:

Resuelve:

3^{2x} + 9=10\cdot 3^x\;
Ejercicio 6 (10'27")     Sinopsis:

Resuelve:

2^{2x+2} = 9 \cdot 2^x -2\;
Ejercicio 7 (8'47")     Sinopsis:

Resuelve:

\left( \frac{4}{10} \right) ^{x-1} = \left( \frac{625}{100} \right) ^{6x-5}\;
Ejercicio 8 (10'35")     Sinopsis:

Ejercicios de ecuaciones exponenciales.

Ejercicio 9 (8'39")     Sinopsis:

Ejercicios de ecuaciones exponenciales.

Ejercicio 10 (13'08")     Sinopsis:

Ejercicios de ecuaciones exponenciales.

Ejercicio 11 (6'52")     Sinopsis:

Ejercicios de ecuaciones exponenciales.

Ejercicio 12 (11'43")     Sinopsis:

Ejercicios de ecuaciones exponenciales.

Ejercicio 13 (4´04")     Sinopsis:

Resuelve: 9^{log_3 \, x^{\frac{1}{2}}}=1 \;

Ejercicio 14 (2´30")     Sinopsis:

Resuelve: 2 \left(5^{log_5 \, x} \right)+3=3^{log_3 \, x}+2^{log_2 \, 5} \;

Ejercicio 15 (5´44")     Sinopsis:

Resuelve: 4^{log_2 \, x}-3^{log_3 \, x}-7^{log_7 \, 2}=0 \;

Ejercicio 16 (2´20")     Sinopsis:

Resuelve: 5^{x-1}=25 \;

Ejercicio 17 (4´02")     Sinopsis:

Resuelve: 2^{x^2-2x}=8 \;

Ejercicio 18 (3´10")     Sinopsis:

Resuelve: 6^{2x+5}=36 \;

Ejercicio 19 (4´38")     Sinopsis:

Resuelve: log_2 \, (9^{x-1}+7)=log_2 \, (3^{x-1}+1)^2 \;

Ejercicio 20 (3´05")     Sinopsis:

Resuelve: 49^{1-2x}=7^x\;

Ejercicio 21 (2´43")     Sinopsis:

Resuelve: 3^x=0.2\;

Ejercicio 22 (3´02")     Sinopsis:

Resuelve: (0.125)^x=128\;

Ejercicio 23 (4´50")     Sinopsis:

Resuelve: 3^x=243^{x-2}\;

Ejercicio 24 (6´34")     Sinopsis:

Resuelve: 25^x+5^{x+1}=750\;

Ejercicio 25 (6´52")     Sinopsis:

Resuelve: 3^{-2x}+3^{-x}=2\;

Ejercicio 26 (6´31")     Sinopsis:

Resuelve: e^x+2e^{-x}=3\;

Ejercicio 27 (10´55")     Sinopsis:

Resuelve: e^{2x}-2\sqrt{e^{2x+1}}=1-e\;

Ejercicio 28 (6´07")     Sinopsis:

Resuelve: e^{2x}-e^{x+2}=e^{x+1}-e^3\;

Ejercicios: Ecuaciones exponenciales     Descripción:

Ejercicios resueltos sobre ecuaciones exponenciales.

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Ecuaciones exponenciales
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Actividad: Ecuaciones exponenciales

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 3^x=\sqrt[3]{9} \;
b) 2^{2x}-5\cdot 2^x+4=0 \;
c) 9^x-3^x-6=0 \;

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) solve 3^x=3th root (9) over the reals
b) solve 2^(2x)-5*2^x+4=0 over the reals
c) solve 9^x-3^x-6=0 over the reals

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Ecuaciones logarítmicas

Las ecuaciones logarítmicas son aquellas en las que la incógnita aparece como parte de un logaritmo.

Para su resolución hay que tener en cuenta las propiedades de los logaritmos.

Se deben comprobar siempre las soluciones en la ecuación de partida pues pueden obtenerse soluciones que no sean válidas, como puede verse en el ejemplo c) siguiente.

ejercicio

Ejemplos: Ecuaciones logarítmicas

Resuelve las siguientes ecuaciónes:

a) log \ x + log \ 50 = 3
b) 5\, log_2 \ (x+3)= log_2 \ 32
c) 2\, log \ x= log \ (10-3x)
Solución:

a)

log \ x + log \ 50 = 3


Teniendo en cuenta que log \ A + log \ B = log \ (A \cdot B) y que 3 = log \ 1000, tenemos:

log \ (50x) = log \ 1000


Y teniendo en cuenta que log \ A = log \ B \iff A=B, se tiene:

50x=1000 \ \rightarrow \ x=20

La solución se comprueba en la ecuación de partida y resulta ser válida.

Solución: x=20\;

b)

5\, log_2 \ (x+3)= log_2 \ 32


Teniendo en cuenta que log_a \ B^n = n \ log_a \ B y que 32=2^5\;:

log_2 \ (x+3)^5= log_2 \ 2^5


Como log \ A = log \ B \iff A=B, se tiene:

(x+3)^5= 2^5\;

Y, como a^x = b^x \iff a=b

x+3= 2 \ \rightarrow \ x=-1

Se comprueba en la ecuación de partida y resulta ser válida.

Solución: x=-1\;

c)

2\, log \ x= log \ (10-3x)


Teniendo en cuenta que log_a \ B^n = n \ log_a \ B, tenemos:

log \ x^2= log \ (10-3x)


Como log \ A = log \ B \iff A=B, se tiene:

x^2= 10-3x \ \rightarrow \ x^2+3x-10=0 \ \rightarrow \ \begin{cases} x_1=2 \\ x_2=-5 \end{cases}

De las dos soluciones, x_2=-5\; no es válida, porque al comprobarla en la ecuación de partida, log \ x\; no se puede calcular para x=-5\; (El logaritmo de un número negativo no existe).

Solución: x=2\;

video
Ecuaciones logarítmicas
Tutorial 1 (21'07")     Sinopsis:

Tutorial que trabaja las ecuaciones logarítmicas, desde muy sencillas que se resuelven utilizando únicamente la definición, hasta otras más completas.

  • 00:00 a 02:36: Repaso de las propiedades de los logaritmos.
  • 02:36 a 08:20: Ejercicios "base" para resolver ecuaciones.
  • 08:20 a 11:55: Ejercicios básicos de ecuaciones logarítmicas, usando la definición de logaritmo.
  • 11:55 a 21:07: Ejercicios de ecuaciones logarítmicas.
Tutorial 2 (10'35")     Sinopsis:

Ecuaciones logarítmicas.

Ejercicio 1 (4'09")     Sinopsis:

Resuelve:

log_4 \, (x-3) = 1 - log_4 \, x\;
Ejercicio 2 (2'55")     Sinopsis:

Resuelve:

log_x \, (6-x) = 2 \, x\;
Ejercicio 3 (3'22")     Sinopsis:

Resuelve:

log_2 \, 3 + log_2 \, x = log_2 \, 5 + log_2 \, (x-2)\;
Ejercicio 4 (9'44")     Sinopsis:

Resuelve:

log \, (4x+5) + log \, (x-1) = 2\;
Ejercicio 5 (5'26")     Sinopsis:

Resuelve:

log_{x+2} \, 3\, + 4 = 6\;
Ejercicio 6 (7'05")     Sinopsis:

Resuelve:

log_3 \, x + log_9 \, x +log_27 \, x = \cfrac{55}{6}\;
Ejercicio 7 (11'30")     Sinopsis:

Resuelve:

25^{log_5 \, (x-3)} - 3^{log_3 \, (5x)} + 10^{log \, 6} = 0\;
Ejercicio 8 (10'41")     Sinopsis:

Resuelve:

log \, (7x+1) = 2^log \, (x+3) -log \, 2\;
Ejercicio 9 (15'53")     Sinopsis:

Resuelve:

log_3 \, (2x-1) - log_3 \, (5x+2) = log_3 \, (x-2)\, - 2\;
Ejercicio 10 (10'53")     Sinopsis:

Resuelve:

log_3 \, (x+1) - log_3 \, x = log_3 \, (x+9)\;
Ejercicio 11 (11'44")     Sinopsis:

Resuelve:

log_4 \, x + log_8 \, x = 1\;
Ejercicio 12 (6'49")     Sinopsis:

Resuelve:

2ln \, x = ln \, (4x+6)- ln \, 2\;
Ejercicio 13 (14'17")     Sinopsis:

Resuelve:

log_4 \, (2^x+48) = x-1\;
Ejercicio 14 (7'51")     Sinopsis:

Resuelve:

(log_2)^2 \, x = log_2 \, x^2 \,+ 3\;
Ejercicio 15 (8'44")     Sinopsis:

Resuelve:

log \, \sqrt[3]{x} = \sqrt{log \, x}\;
Ejercicio 16 (10'26")     Sinopsis:

Resuelve:

a) log \, (22-x) = -1 + log \, x\;
b) 3log \, x = 2log \, x + log \, 3 \;
Ejercicio 17 (6´39")     Sinopsis:

Resuelve:

  1. log \, (x+1) - log \, x = 1 \;
  2. log \, (x-1) - log \, (x-9) = 3 \;
Ejercicio 18 (8´55")     Sinopsis:

Resuelve:

  1. log \, (x-16) + log \, (x+5) = 2 \;
  2. 2 \, log \, x = 1 + log \, (x-0.9) \;
Ejercicio 19 (5´06")     Sinopsis:

Resuelve:

  1. 3 \, log \, x - log \, (2x^2+x-2) = 0 \;
  2. log \, 2 + log \, (x-3) = log \, \sqrt{2x} \;
Ejercicio 20 (7´29")     Sinopsis:

Resuelve:

  1. log \, (x-1) - log \, \sqrt{5+x} =log \, \sqrt{5-x} \;
  2. 2 \, \left( log \, x \right)^2 - 3 \, log \, x \ + 1 = 0 \;
  3. \left( ln \, x \right)^3 - ln \, x = 0 \;
Ejercicio 21 (5´06")     Sinopsis:

Resuelve: log_5 \, x - log_25 \, x =1 \;

Ejercicio 22 (9´33")     Sinopsis:

Resuelve: log_2 \, x + log_8 \, x - log_{32} \, x=\cfrac{34}{15} \;

Ejercicio 23 (9´09")     Sinopsis:

Resuelve: log_3 \, 9x + log_{27} \, x=6 \;

Ejercicio 24 (3´04")     Sinopsis:

Resuelve: log_3 \, (x+3)=2 \;

Ejercicio 25 (5´17")     Sinopsis:

Resuelve: log_3 \, 36-log_3 \, (x-7)=2 \;

Ejercicio 26 (4´53")     Sinopsis:

Resuelve: log_7 \, (x+9)+log_7 \, 49=3 \;

Ejercicio 27 (4´02")     Sinopsis:

Resuelve: log_2 \, \sqrt{3x+1}=2 \;

Ejercicio 28 (4´08")     Sinopsis:

Resuelve: log_6 \, (5x-9)^2=4 \;

Ejercicio 29 (3´41")     Sinopsis:

Resuelve log \, \sqrt{x^2+75}=1 \;

Ejercicio 30 (5´56")     Sinopsis:

Resuelve: log \, (x+3)^2=1+log \, (3x-11) \;

Ejercicio 31 (4´11")     Sinopsis:

Resuelve: log_6 \, \sqrt[3]{4x-1}=log_6 \, \sqrt[3]{9}+log_6 \, \sqrt[3]{x-4} \;

Ejercicio 32 (7´08")     Sinopsis:

Resuelve: ln \, x + ln \, (x-3e) = ln \, 4 + 2 \;

Ejercicio 33 (4´46")     Sinopsis:

Resuelve: ln \, (x^2+x) - ln \, e = ln \, (x+1) \;

Ejercicio 34 (5´07")     Sinopsis:

Resuelve: \left( log_2 \, x \right)^2 = 1 \;

Ejercicios: Ecuaciones logarítmicas     Descripción:

Ejercicios resueltos sobre ecuaciones logarítmicas.

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Ecuaciones logarítmicas
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Actividad: Ecuaciones logarítmicas

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) ln(x-3)+ln(x+1)=ln\,3+ln(x-1) \;
b) 2\,(log\,x)^2+7\,log\,x-9=0 \;

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) solve loge(x-3)+loge(x+1)=loge(3)+loge(x-1) over the reals
b) solve 2*(log10(x))^2+7*log10(x)-9=0

Nota: En WolframAlpha log y loge simbolizan el logaritmo neperiano mientras que el logaritmo decimal es log10.

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Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

(Pág. 61)

7 y 8

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Ecuaciones factorizadas

Las ecuaciones factorizadas son ecuaciones del tipo:

(factor_1) \cdot (factor_2) \cdot \ \cdots \ \cdot (factor_n) = 0

donde cada factor puede ser una expresión algebraica, logarítmica, exponencial, trigonométrica, o combinación de estas.

ejercicio

Resolución de las ecuaciones factorizadas

Como para que un producto de números reales sea cero basta con que uno de ellos sea cero, las soluciones se obtendrán igualando a cero cada uno de los factores y resolviendo la ecuación resultante. Dependiendo de como sea cada factor tendremos que aplicar alguna de las distintas técnicas estudiadas anteriormente.

ejercicio

Ejemplo: Ecuación factorizada

Resuelve la ecuación x \cdot (x-5)\cdot (3x+1)=0\;\!

Solución:
x \cdot (x-5)\cdot (3x+1)=0\;\! \rightarrow \begin{cases} x = 0 \\ x-5=0 \rightarrow x=5 \\ 3x+1=0 \rightarrow 3x=-1 \rightarrow x= -\cfrac{1} {3} \end{cases}

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Ecuaciones factorizadas
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Actividad: Ecuaciones factorizadas

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x(2-5x)(x+3)^2=0 \;
b) x^2(x^2+1)(x+3)=0 \;

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) solve x*(2-5x)*(x+3)^2=0
b) solve x^2*(x^2+1)*(x+3)=0 over the reals

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Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Ecuaciones factorizadas

(Pág. 62)

9 al 16

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Ecuaciones polinómicas de grado superior a 2

En este apartado vamos a ver ecuaciones polinómicas de grado superior a 2, no bicuadradas, que requerirán del uso de la regla de Ruffini.

video
Ecuaciones polinómicas de grado superior a 2
Tutorial 1 (6'56")     Sinopsis:

Ecuaciones polinómicas de grado superior a 2. Ejemplos

Tutorial 2 (13'53")     Sinopsis:

Ecuaciones polinómicas de grado superior a 2. Ejemplos

Ejercicio 1 (6'06")     Sinopsis:

Resuelve:

2x^3-5x^2-9x+18=0\;

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Otros_tipos_de_ecuaciones_%284%C2%BAESO_Acad%C3%A9micas%29"
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