Funciones logarítmicas (1ºBach)
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- | ==Función logarítmica de base a== | + | {{Funciones logarítmicas (1ºBach)}} |
- | {{Tabla75 | + | |
- | |celda2= | + | |
- | [[Imagen:Logarithms.png|thumb|364px|Representación gráfica de logaritmos en varias bases: | + | |
- | <br />el <span style="color:red">rojo</span> representa el logaritmo en base '''e''', | + | |
- | <br />el <span style="color:green">verde</span> corresponde a la base 10, | + | |
- | <br />y el <span style="color:purple">púrpura</span> al de la base 1,7. | + | |
- | <br />Los logaritmos de todas las bases pasan por el punto (1, 0), esto es debido a que cualquier número elevado a la cero es igual a uno, y también los puntos ('''a''', 1) para la base '''a''', debido a que cualquier número elevado a la unidad es igual a sí mismo.]] | + | |
- | |celda1= | + | |
- | {{Caja_Amarilla | + | |
- | |texto= | + | |
- | Sea <math>a>0 \ , (a \ne 1)</math> un número real. Se define la '''función logarítmica de base <math>a\;</math>''' como: | + | |
- | + | ||
- | <center><math> | + | |
- | \begin{matrix} | + | |
- | f \colon \mathbb{R}{}_*^+ & \rightarrow & \mathbb{R} \quad | + | |
- | \\ | + | |
- | \, \quad x & \rightarrow & log_a \, x | + | |
- | \end{matrix} | + | |
- | </math></center> | + | |
- | + | ||
- | }} | + | |
- | {{p}} | + | |
- | La función logarítmica de base <math>e = 2,7182...\;</math> (número e) es de especial importancia en matemáticas. Se denomina '''función logaritmo neperiano''' y se designa por <math>ln \, x</math>. | + | |
- | La función logarítmica de base 10 también es de particular interés. Se denomina '''función logaritmo decimal''' y se designa por <math>log \, x</math> (sin especificar la base). | + | |
- | {{p}} | + | |
- | ===Propiedades=== | + | |
- | {{Caja_Amarilla | + | |
- | |texto=Las funciones exponenciales de base <math>a\;</math> cumplen las siguientes propiedades: | + | |
- | + | ||
- | *Son continuas en <math>\mathbb{R}{}_*^+</math>. | + | |
- | *Pasan por <math>(1,0)\;</math> y <math>(a,1)\;</math>. | + | |
- | *Si <math>a>1\;</math> son crecientes y si <math>0<a<1\;</math> son decrecientes. Su crecimiento es menor que el de las funciones raíz de cualquier índice <math>\sqrt[n]{x}</math>. | + | |
- | *La función logaritmica y la exponencial de la misma base son funciones inversas y por tanto sus gráficas son simétricas respecto de la recta <math>y=x\;</math>. | + | |
- | }} | + | |
- | {{p}} | + | |
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- | {{p}} | + | |
- | {{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Función logarítmica''|cuerpo= | + | |
- | {{ai_cuerpo | + | |
- | |enunciado='''Actividad 1.''' Representación gráfica de distintas funciones logarítimicas y comparación con la función exponencial con la misma base. | + | |
- | |actividad= | + | |
- | En esta escena tienes las gráfica de las funciones: | + | |
- | {{p}} | + | |
- | <center>'''a)''' <math>y = log_2 \, x\;</math> (en amarillo);{{b4}}'''b)''' <math>y = a^x \;</math> (en verde)</center> | + | |
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- | + | ||
- | <center><iframe> | + | |
- | url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_HCS_1/Funcion_logaritmica/Funcion_logaritmo_1_3.html | + | |
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- | </iframe></center> | + | |
- | <center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_HCS_1/Funcion_logaritmica/Funcion_logaritmo_1_3.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | + | |
- | {{p}} | + | |
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- | Cambia con los controles el valor de <math>a\;</math> (no olvides pulsar "Intro") y comprueba en la escena anterior que las funciones logarítmicas cumplen las siguientes propiedades: | + | |
- | + | ||
- | * Todas pasan por los punto <math>(1,0)\;</math> y <math>(a,1)\;</math>, donde <math>a\;</math> es la base. | + | |
- | * Si la base <math>a>1\;</math>, son crecientes y si <math>0<a<1\;</math> decrecientes. | + | |
- | * Observa como varía la gráfica al aumentar o disminuir el valor de la base. | + | |
- | * Las gráficas son simétricas respecto de la recta <math>y=x</math> (en rojo). | + | |
- | {{p}} | + | |
- | }} | + | |
- | }} | + | |
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- | ==El modelo logarítmico== | + | |
- | {{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Modelo logarítmico'' | + | |
- | |enunciado=Los científicos modelan la respuesta humana a estímulos (como sonido, luz o presión) por medio de funciones logarítmicas. El psicólogo Gustav Fechner formuló la ley como | + | |
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- | <center><math>k \, log \left( \frac{I}{I_0} \right)</math></center> | + | |
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- | donde <math>S\;</math> es la intensidad subjetiva del estímulo, <math>I\;</math> la intensida física del estímulo, <math>I_0\;</math> la intensidad física umbral y <math>k\;</math> es una constante que difiere en cada estímulo sensorial. | + | |
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- | Por ejemplo, la percepción de la sonoridad <math>B\;</math>, en decibelios (dB), de un sonido con intensidad física <math>I\;</math> en <math> W/m^2</math> está dada por | + | |
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- | <center><math>B= 10 \, log \left( \frac{I}{I_0} \right)</math></center> | + | |
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- | donde <math>I_0\;</math> la intensidad física de un sonido apenas audible (umbral). Encuentra el nivel de sonoridad (en dB) de un sonido cuya intensidad física <math>I\;</math> es 100 veces la de <math>I_0\;</math>. | + | |
- | |sol= | + | |
- | Partimos del hecho de que <math>I= 100 \, I_0</math>, entonces, sustituyendo en la fórmula de la percepción sonora, tendremos: | + | |
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- | <center><math> | + | |
- | B = 10 \, log \left( \cfrac{I}{I_0} \right)= \ 10 \, log \left( \cfrac{100 \,I_0}{I_0} \right) = 10 \, log 100 = 10 \cdot 2 = 20 | + | |
- | </math></center> | + | |
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- | '''''Solución:''''' La sonoridad del sonido es 20 db | + | |
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- | {{p}} | + | |
- | {{p}} | + | |
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- | ==Calculadora== | + | |
- | {{Casio FX-100MS Logaritmos}} | + | |
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Revisión actual
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Tabla de contenidos |
Función logarítmica de base a
Sea ![]()
|
Propiedades
Propiedades de la función logarítmica Las funciones exponenciales de base
|
El modelo logarítmico
Ejemplo: Modelo logarítmico
Los científicos modelan la respuesta humana a estímulos (como sonido, luz o presión) por medio de funciones logarítmicas. El psicólogo Gustav Fechner formuló la ley como
![k \, log \left( \frac{I}{I_0} \right)](/wikipedia/images/math/3/5/6/356998ebc09418d5f04c2a91d575b15c.png)
donde es la intensidad subjetiva del estímulo,
la intensida física del estímulo,
la intensidad física umbral y
es una constante que difiere en cada estímulo sensorial.
Por ejemplo, la percepción de la sonoridad , en decibelios (dB), de un sonido con intensidad física
en W / m2 está dada por
![B= 10 \, log \left( \frac{I}{I_0} \right)](/wikipedia/images/math/6/8/c/68cb918bb83a007c37204cbf5841f391.png)
donde la intensidad física de un sonido apenas audible (umbral). Encuentra el nivel de sonoridad (en dB) de un sonido cuya intensidad física
es 100 veces la de
.
Partimos del hecho de que , entonces, sustituyendo en la fórmula de la percepción sonora, tendremos:
![B = 10 \, log \left( \cfrac{I}{I_0} \right)= \ 10 \, log \left( \cfrac{100 \,I_0}{I_0} \right) = 10 \, log 100 = 10 \cdot 2 = 20](/wikipedia/images/math/1/6/d/16d943b9ed8d3df15c18d1c4fcef6e54.png)
Calculadora
Logartitmo decimal
Calculadora: Logaritmo decimal |
Logartitmo neperiano
Calculadora: Logaritmo neperiano |