Plantilla:Raíces

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(Diferencia entre revisiones)

Revisión de 08:33 20 feb 2009

Plantilla:Raices: definición y propiedades

Tabla de contenidos

1 Raíces exactas e inexactas
2 La raíz como potencia de exponente fraccionario
3 Calculadora

Raíces exactas e inexactas

Se llaman raíces exactas a aquellas que dan como resultado un número racional. En caso contrario diremos que son inexactas y el resultaado será un número irracional.

Para que una raíz sea exacta, al descomponer el radicando en factores primos, las potencias de éstos deben ser todas números divisibles por el índice.

Ejemplo: Raíces exactas e inexactas

Calcula las siguientes raíces cuando sean exactas:

$a) \sqrt[3]{216} \quad b) \sqrt[4]{0'0256}\quad c) \sqrt[3]{192}$

Solución:

a) Descomponemos $216=2^3 \cdot 3^3$ .

Como las potencias son divisibles por 3, la raíz es exacta. Para obtenerla, dividimos cada exponente entre el índice:

$\sqrt[3]{216}=\sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3}=2^{\frac{3}{3}} \cdot 3^{\frac{3}{3}}=2^1 \cdot 3^1=6$

Luego $\sqrt[3]{216}$ es racional.

b) Descomponemos $\cfrac{256}{10000}=\cfrac {2^8}{10^4}$ .

Como las potencias son divisibles por 4, la raíz es exacta. Para obtenerla, dividimos cada exponente entre el índice:

$\sqrt[4]{0'0256}=\sqrt[4]{\cfrac{256}{10000}}=\sqrt[4]{\cfrac {2^8}{10^4}}=\cfrac {2^{\frac{8}{4}}}{10^{\frac{4}{4}}}=\cfrac{2^2}{10^1}=\cfrac{4}{10}=0'4$

Luego $\sqrt[4]{0'0256}$ es racional.

c) Descomponemos $192=2^6 \cdot 3\;\!$ .

La potencia de 3 es 1, que no es divisible por 3. Por tanto, la raíz no es exacta.

Luego $\sqrt[3]{192}$ es irracional.

La raíz como potencia de exponente fraccionario

Proposición

Toda raíz se puede expresar como una potencia de la siguiente forma:

$\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}$

Demostración:

Basta con ver que se cumple la condición de la definición de raíz:

$(a^\frac{m}{n})^n=a^{\frac{m}{n} \cdot n}=a^m$

Ejemplos:

Pulsa el botón "Ejemplo" para ver distintos ejemplos y anótalos en tu cuaderno:

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Ejemplo: La raíz como potencia de exponente fraccionario

Escribe las siguientes potencias de exponente fraccionario en forma de raíces y calcula su valor:

$a)\ 16^\frac{3}{4}\quad b)\ 27^\frac{2}{3}\quad c)\ 125^\frac{4}{3}\quad d)\ 100^{-\frac{3}{2}}\quad e)\ 8^{-\frac{2}{3}}$

Solución:

Utiliza la siguiente escena para comprobar su resultado. Aumenta el número de decimales cuando sea necesario.

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Actividad Interactiva: Radicales

Actividad 1: De radical a potencia.

Actividad:

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Propiedades: Las potencias con exponente fraccionario tienen las mismas propiedades que con exponente natural o entero.

Calculadora

Raíz cuadrada

Calculadora: Raíz cuadrada

Para calcular raíces cuadradas usaremos la tecla .

Ejemplo:

Operación: $\sqrt {16}$

Procedimiento: $16\;\!$

Solución: $4\;\!$

Advertencia:

Ten cuidado, si trabajas con números enteros, porque la calculadora sólo da una de las dos soluciones posibles, la positiva.

Raíz cúbica

Calculadora: Raíz cúbica

Para calcular raíces cúbicas usaremos la tecla .

Ejemplo:

Operación: $\sqrt [3] {8}$

Procedimiento: $8\;\!$

Solución: $2\;\!$

Otras raíces

Calculadora: Otras raíces

Para calcular la raíz cuarta, quinta, etc., usaremos la tecla .

Ejemplo:

Operación: $\sqrt [4]{81}$

Procedimiento: $4\;\!$ $81\;\!$

Solución: $3\;\!$

Actividad Interactiva: Raíces y potencias con calculadora

Actividad 1: Potencias con calculadora científica.

Actividad:

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Actividad 2: Radicales con calculadora científica.

Actividad:

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Actividad 3: Operaciones combinadas de radicales con calculadora científica.

Actividad:

Click aquí si no se ve bien la escena

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Ra%C3%ADces"

-==Definición de raíz==
+{{Raices: definición y propiedades}}
-Sabemos que <math>3^2 = 9\;\!</math>. Esta igualdad la podemos expresar de forma similar como <math>\sqrt{9}=3</math> y se lee ''3 es igual a la raíz cuadrada de 9''. En general:{{p}}
-{{Caja_Amarilla|texto=
-*Se define la '''raíz cuadrada''' de un número <math>a\;\!</math> como otro número <math>b\;\!</math> tal que <math>b^2 =a\;\!</math>, que escribimos simbólicamente: <math>b=\sqrt{a}</math>.
-*Se define la '''raíz cúbica''' de un número <math>a\;\!</math> como otro número <math>b\;\!</math> tal que <math>b^3 =a\;\!</math>, que escribimos simbólicamente: <math>b=\sqrt[3]{a}</math>.
-*Igualmente, se define '''raíz n-sima''' <math>(n \in \mathbb{N},\ n>1)</math>de un número <math>a\;\!</math> como otro número <math>b\;\!</math> tal que <math>b^n =a\;\!</math>, que escribimos simbólicamente: <math>b=\sqrt[n]{a}</math>.
-*El número <math>a\;\!</math> se llama '''radicando''', el número <math>n\;\!</math> '''índice''' y <math>b\;\!</math> es la '''raíz'''.
-}}
 {{p}}
-==Propiedades de las raíces==
-{{Caja_Amarilla|texto=
-*<math>\sqrt[n]{1}=1</math> y <math>\sqrt[n]{0}=0</math>, para cualquier valor del índice <math>n\;\!</math>.
-*Si <math>a>0\;\!</math>, <math>\sqrt[n]{a}</math> existe cualquiera que sea el índice <math>n\;\!</math>.
-*Si <math>a<0\;\!</math>, <math>\sqrt[n]{a}</math> sólo existe si el índice <math>n\;\!</math> es impar.
-*Si el índice <math>n\;\!</math> es par y el radicando <math>a>0\;\!</math>, la raíz tiene dos soluciones: una positiva y otra negativa, pero iguales en valor absoluto. Si el índice es impar, siempre tiene una única solución, que tiene el mismo signo que el radicando <math>a\;\!</math>.
-}}{{p}}
-{{Desplegable|titulo=Ejemplos:{{b}}|contenido=
-#<math>\sqrt[3]{1}=1</math>.
-#<math>\sqrt[5]{0}=0</math>.
-#<math>\sqrt[4]{16}=\pm 2</math> porque <math>(\pm 2)^4=16\;\!</math>.
-#<math>\sqrt[3]{64}=4</math> porque <math>4^3=64\;\!</math>.
-#<math>\sqrt[3]{-8}=-2</math> porque <math>(-2)^3=-8\;\!</math>.
-#<math>\sqrt[4]{-8}= no \ existe</math> porque ningún número elevado a 4 puede dar negativo (-8).
-{{p}}
-Pulsa el botón "Ejemplo" para ver distintos ejemplos y anótalos en tu cuaderno:
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Radicales/radicales1_1.html
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-height=250
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-</iframe></center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Radicales/radicales1_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-}}
 ==Raíces exactas e inexactas==
 {{Caja_Amarilla|texto=

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La raíz como potencia de exponente fraccionario

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