Números complejos: Definición (1ºBach)

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Tabla de contenidos

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1 Necesidad de ampliación del campo numérico
2 Unidad imaginaria
- 2.1 Potencias de la unidad imaginaria
3 El conjunto de los números complejos
- 3.1 Forma binómica de un número complejo
- 3.2 Opuesto y conjugado de un complejo
4 Representación gráfica de los números complejos

Necesidad de ampliación del campo numérico

Hay ecuaciones como

$x^2 +9 = 0 \,$

que no tienen solución en el conjunto de los números reales

$x^2 +9 = 0 \rightarrow x^2=-9 \rightarrow x=\pm \sqrt{-9}$ (no existe en $\mathbb{R}$ )

Vamos a definir un nuevo conjunto que amplie al conjunto de los números reales y en el cual estas ecuaciones si tengan solución. Ese conjunto va a ser el conjunto de los números complejos. Para ello habrá que a empezar dando sentido a las raíces de números negativos.

Unidad imaginaria

Desde Al-Jwarizmi (800 DC), precursor del Álgebra, que sólo obtenía las soluciones positivas de las ecuaciones, pasaron más de ocho siglos, hasta que finalmente Descartes en 1637 puso nombre a las raíces cuadradas de números negativos, numeros imaginarios, y dedujo que las soluciones no reales de las ecuaciones eran números complejos. Durante todo ese tiempo se manejaron esas soluciones sin definirlas claramente, aunque Girard, en 1629, afirmaba ya que una ecuación polinómica de grado n tenía n soluciones.

Se denomina unidad imaginaria a $\sqrt{-1}$ . Se designa por la letra $i\,$

$i=\sqrt{-1}$

Con esta definición, la ecuación anterior ahora si tiene solución "imaginaria":

$x^2 +9 = 0 \rightarrow x^2=-9 \rightarrow x=\pm \sqrt{-9}=\pm 3 \, \sqrt{-1}=\pm \, 3i$

René Descartes

Potencias de la unidad imaginaria

$i^0=1\,$
$i^1=i\,$
$i^2=(\sqrt{-1} \, )^2=-1$
$i^3=i \cdot i^2=-i$
$i^4=i^2 \cdot i^2= (-1) \cdot (-1)=1$

A partir de $i^4\,$ se repiten cíclicamente los valores.

Ejemplo [Mostrar]

El conjunto de los números complejos

Definimos el conjunto de los números complejos de la siguiente manera:

$\mathbb{C}=\big\{ a+bi \, / \, a, \, b \in \mathbb{R} \big\}$

Forma binómica de un número complejo

La expresión $a+bi\,$ se denomina forma binómica de un número complejo. En ella, a $a\,$ se le llama parte real y a $b\,$ parte imaginaria. Si escribimos $z=a+bi\,$ , entonces se dice que $Re(z)=a\,$ y $Im(z)=b\,$
Si $b=0\,$ , lo que tenemos es un número real, por tanto $\mathbb{R} \sub \mathbb{C}$ .
Si $b \ne 0\,$ , lo que tenemos no es un número real, es un número imaginario.
Si $a=0\,$ y $b \ne 0\,$ , se le llama número imaginario puro.
Dos números complejos en forma binómica son iguales si tienen iguales sus partes reeales y sus partes imaginarias.

$\mathbb{C} \mbox{ Complejos} \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{Reales} \begin{cases} \mathbb{Q} & \mbox{Racionales} \begin{cases} \mathbb{Z} & \mbox{Enteros} \begin{cases} \mathbb{N} & \mbox{Naturales} \\ & \mbox{Enteros negativos} \\ & \mbox {Cero} \end{cases}\\ & \mbox{Fraccionarios} \end{cases}\\ & \mbox{Irracionales} \end{cases}\\ & \mbox{Imaginarios} \end{cases}$

Opuesto y conjugado de un complejo

Se define el opuesto de un complejo $a+bi\,$ como el número complejo $-a-bi\,$ .
Se define el conjugado de un complejo $z=a+bi\,$ como el número complejo $\bar z =a-bi\,$ .

Proposición

Cualquier ecuación de segundo grado con coeficientes reales que no tenga solución real tiene dos soluciones imaginarias que son números complejos conjugados

Demostración:[Mostrar]

Representación gráfica de los números complejos

Para representar los números reales utilizabamos una recta, la recta real. Para representar los números complejos vamos a utilizar un plano, el plano complejo. ¿Por qué?. Muy simple, un número complejo en forma binómica $a+bi\,$ queda determinado por un par de números reales: su parte real, $a\,$ y su parte imaginaria, $b\,$ . De esta manera, el par $(a,b)\,$ representa las coordenadas de un punto del plano. Diremos que $(a,b)\,$ es el afijo del número complejo $a+bi\,$ .

Ahora, al eje X, lo llamaremos eje real, y al eje Y, eje imaginario.

También podemos representar al número complejo mediante un vector de origen $(0,0)\,$ y extremo $(a,b)\,$ .

Algunos fractales son representados en el plano complejo, como los conjuntos de Mandelbrot y de Julia.

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Actividad 1: Representación de números complejos en forma binómica como vectores del plano complejo.

Actividad:[Mostrar]

Actividad 2: Representación del opuesto y del conjugado de un número complejo.

Actividad:[Mostrar]

Actividad 3: Representación de las potencia de $i\,$ .

Actividad:[Mostrar]

Video: Fractales... la geometría del caos (18´)

Sinopsis: [Mostrar]

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Categorías: Matemáticas | Geometría | Números

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-|enunciado=Representación de números complejos en forma binómica como vectores del plano complejo.
+|enunciado='''Actividad 1:''' Representación de números complejos en forma binómica como vectores del plano complejo.
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 Los números complejos se representan mediante vectores. Al extremo del vector se le llama '''afijo''' del complejo.
 b) Comprueba tus representaciones en la escena anterior.
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+{{ai_cuerpo
+|enunciado='''Actividad 2:''' Representación del opuesto y del conjugado de un número complejo.
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+En esta escena está expresado un número complejo, su opuesto y su conjugado, además puedes ver la representación gráfica de los mismos.
+Si mueves el afijo de z, irás viendo la representación y la expresión del opuesto y del conjugado de z.
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+<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_CNST_1/Los_numeros_complejos/complejos2_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
+'''EJERCICIO:'''
+a) Representa gráficamente en tu cuaderno los siguientes números complejos, sus opuestos y sus conjugados.
+:<math>3-5i \, , \quad -1-2i \quad ,  \quad -2+3i \quad ,  \quad 5 \quad ,  \quad 0 \quad ,  \quad 2i \quad ,  \quad -5i </math>
+b) Comprueba tus representaciones en la escena anterior.
+}}
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+|actividad=
+En esta escena puedes ver <math>i^n\,</math>, y su representación gráfica.
+Cambia el valor de n en la parte inferior para ver las sucesivas potencias de <math>i\,</math>.
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+'''EJERCICIO:'''
+Calcula las siguientes potencias de i en tu cuaderno, representa gráficamente los resultados, y compruébalo todo en la escena anterior:
+:<math>i^189 \, , \quad i^134 \quad ,  \quad i^275 \quad ,  \quad i^1284 </math>
 }}
 {{p}}

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Necesidad de ampliación del campo numérico

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Potencias de la unidad imaginaria

El conjunto de los números complejos

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Opuesto y conjugado de un complejo

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