Posiciones relativas de dos rectas del plano (1ºBach)
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- | *Si el sistema es compatible determinado (una solución) <math>(x_0,y_0)\,</math>, las dos rectas '''se cortan''' en ese punto. (Ésto ocurre cuando \cfrac{A}{A'} \ne \cfrac{B}{B'}). | + | *Si el sistema es compatible determinado (una solución) <math>(x_0,y_0)\,</math>, las dos rectas '''se cortan''' en ese punto. (Ésto ocurre cuando <math>\cfrac{A}{A'} \ne \cfrac{B}{B'}</math>). |
- | *Si el sistema es incompatible (no tiene solución), las dos rectas son '''paralelas'''. (Ésto ocurre cuando \cfrac{A}{A'}=\cfrac{B}{B'} \ne \cfrac{C}{C'}). | + | *Si el sistema es incompatible (no tiene solución), las dos rectas son '''paralelas'''. (Ésto ocurre cuando <math>\cfrac{A}{A'}=\cfrac{B}{B'} \ne \cfrac{C}{C'}</math>). |
- | *Si el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones) las rectas son '''coincidentes'''. (Ésto ocurre cuando \cfrac{A}{A'}=\cfrac{B}{B'} = \cfrac{C}{C'}). | + | *Si el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones) las rectas son '''coincidentes'''. (Ésto ocurre cuando <math>\cfrac{A}{A'}=\cfrac{B}{B'} = \cfrac{C}{C'}</math>). |
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\begin{cases} | \begin{cases} | ||
- | x-2y+4=0 | + | \quad \; x-2y+4=0 |
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-2x+4y+4=0 | -2x+4y+4=0 | ||
- | + | \end{cases} \, \rightarrow_{ \; 2 \cdot (I) + (II)} \; \rightarrow \; 0x+0y+12=0 \rightarrow | |
- | \end{cases} \; \rightarrow \,2 \cdot (I) + (II) \rightarrow 0x+0y+12=0 \rightarrow | + | |
- | \begin{cases} | + | |
</math> No tiene solución. | </math> No tiene solución. | ||
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Dadas las ecuaciones de dos rectas del plano, éstas pueden ser secantes, paralelas o coincidentes.
Veamos como se averigua dependiendo del tipo de ecuaciones que nos den.
Posición relativa de dos rectas dadas en ecuaciones paramétricas
Dadas las rectas: y
para hallar su posición relativa igualaremos las incógnitas y resolveremos el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, y
:
![\begin{cases} a+bt=a'+b's \\ c+dt=c'+d's \end{cases}](/wikipedia/images/math/d/b/b/dbb07ba0c6f4ac401c17109ea6344cda.png)
- Si el sistema es compatible determinado (una solución)
, las dos rectas se cortan en un punto, que se obtiene sustituyendo los parámetros
y
, en las ecuaciones paramétricas.
- Si el sistema es incompatible (no tiene solución), las dos rectas son paralelas.
- Si el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones) las rectas son coincidentes.
Ejemplo: Posición relativa de dos rectas
- Determina la posición relativa de las rectas:
y
Hay que resolver el siguiente sistema:
Luego las rectas son secantes, y su punto de corte lo obtenemos sustituyendo estas soluciones en cualquiera de las dos ecuaciones paramétricas, por ejemplo, en la primera:
![(7,-6)\,](/wikipedia/images/math/1/3/5/1358a704d60260e7c7b6a8fa64867332.png)
Posición relativa de dos rectas dadas en ecuaciones implícitas
Dadas las rectas: y
para hallar su posición relativa resolveremos el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:, e
:
![\begin{cases} Ax+By+C=0 \\ A'x+B'y+C'=0 \end{cases}](/wikipedia/images/math/3/3/4/334e6c64ef53f263aceff0096790e960.png)
- Si el sistema es compatible determinado (una solución)
, las dos rectas se cortan en ese punto. (Ésto ocurre cuando
).
- Si el sistema es incompatible (no tiene solución), las dos rectas son paralelas. (Ésto ocurre cuando
).
- Si el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones) las rectas son coincidentes. (Ésto ocurre cuando
).
Ejemplo: Posición relativa de dos rectas
- Determina la posición relativa de las rectas:
y
Hay que resolver el siguiente sistema:
No tiene solución.