Plantilla:Ecuaciones bicuadradas

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(Diferencia entre revisiones)

Revisión de 14:34 29 ago 2016

Las ecuaciones bicuadradas Son ecuaciones de cuarto grado pero tienen una característica que las hace especiales: no tienen terminos de grado impar, es decir son de la forma

$ax^4 + bx^2 +c = 0\,\!$

El truco para resolverlas es hacer el cambio de variable $x^2=y\,\!$ . Entonces, la ecuación quedará como una de segundo grado

$ay^2 + by + c = 0 \,\!$

Una vez resuelta esta ecuación en $y\;$ , tenemos que averiguar el valor de la $x\;$ . Para ello desharemos el cambio de variable, haciendo $x=\pm \sqrt{y}$ . En consecuencia, las soluciones $y<0\,\!$ , las rechazaremos, ya que no darán solución para la $x\,\!$ , quedándonos sólo con las soluciones de $y\,\!$ no negativas, cada una de las cuales dará dos soluciones para la $x\,\!$ .

Ejercicios resueltos: Ecuaciones bicuadradas

Resuelve las ecuaciones:

a) $x^4 - 10x^2 + 9 = 0\;\!$

b) $x^4 - 2x^2 - 3 = 0\;\!$

c) $x^4 - 5x^2 = 0 \;\!$

Solución:

$x^4 - 10x^2 + 9 = 0 \rightarrow \left \{ x^2=y \right \}\rightarrow y^2-10y+9=0$

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100-36}}{2}=\frac{10 \pm 8}{2} \rightarrow \begin{cases} y=1 \rightarrow x= \pm \sqrt 1 = \pm 1 \\ y=9 \rightarrow x= \pm \sqrt 9 = \pm 3 \end{cases}$

Soluciones: $-1,\, 1,\, -3,\, 3 \!$

$x^4 - 2x^2 - 3 = 0 \rightarrow \left \{ x^2=y \right \}\rightarrow y^2-2y-3=0$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4+12}}{2}=\frac{2 \pm 4}{2} \rightarrow \begin{cases} y=-1 \rightarrow \mbox {No existe solucion para x} \\ y=3 \rightarrow x= \pm \sqrt 3 \end{cases}$

Soluciones: $-\sqrt 3,\, \sqrt 3\,\!$

$x^4 - 5x^2 = 0 \rightarrow \left \{ x^2=y \right \}\rightarrow y^2-5y=0$

$y(y-5)=0 \rightarrow \begin{cases} y=0 \rightarrow x= 0 \\ y=5 \rightarrow x= \pm \sqrt 5 \end{cases}$

Soluciones: $0,\, -\sqrt 5,\, \sqrt 5\ \!$

Videotutoriales

Ecuaciones bicuadradas (5´48") Sinopsis:

Método de resolución de ecuaciones bicuadradas.
Ejemplos.

5 ejercicios (5´16") Sinopsis:

Resolución de las siguientes ecuaciones:

x 4 + 3 x 2 - 4 = 0

x 4 - 9 x 2 = 0

x 4 - 9 = 0

x 4 + 5 = 0

x 6 - 9 x 3 + 8 = 0

Actividad: Ecuaciones bicuadradas

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) $x^4-5x^2+4=0 \;$

b) $x^4+3x^2+2=0 \;$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) solve x^4-5x^2+4=0

b) solve x^4+3x^2+2=0 over the reals

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Ecuaciones_bicuadradas"

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-{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Ecuaciones bicuadradas''
+{{Ejemplo|titulo=Ejercicios resueltos: ''Ecuaciones bicuadradas''
 |enunciado=:Resuelve las ecuaciones:
-::a) <math>x^4 - 7x^2 + 6 = 0\;\!  </math>
+::a) <math>x^4 - 10x^2 + 9 = 0\;\!  </math>
-::b) <math>x^4 - 3x^2 - 10 = 0\;\! </math>
+::b) <math>x^4 - 2x^2 - 3 = 0\;\! </math>
-::c) <math>x^4 - 9x^2 = 0 \;\! </math>
+::c) <math>x^4 - 5x^2 = 0 \;\! </math>
 |sol=
 '''a)'''
-:<math>x^4 - 7x^2 + 6 = 0 \rightarrow \left \{ x^2=y \right \}\rightarrow y^2-7y+6=0</math>
+:<math>x^4 - 10x^2 + 9 = 0 \rightarrow \left \{ x^2=y \right \}\rightarrow y^2-10y+9=0</math>
-:<math>y = \frac{7 \pm \sqrt{49-24}}{2}=\frac{7 \pm 5}{2} \rightarrow \begin{cases} y=1 \rightarrow x= \pm \sqrt 1 = \pm 1 \\ y=6 \rightarrow x= \pm \sqrt 6 \end{cases}</math>
+:<math>y = \frac{10 \pm \sqrt{100-36}}{2}=\frac{10 \pm 8}{2} \rightarrow \begin{cases} y=1 \rightarrow x= \pm \sqrt 1 = \pm 1 \\ y=9 \rightarrow x= \pm \sqrt 9 = \pm 3 \end{cases}</math>
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+:'''Soluciones:''' <math>-1,\, 1,\, -3,\, 3 \!</math>
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 ----
 '''b)'''
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+:<math>x^4 - 2x^2 - 3 = 0 \rightarrow \left \{ x^2=y \right \}\rightarrow y^2-2y-3=0</math>
-:<math>y = \frac{3 \pm \sqrt{9+40}}{2}=\frac{3 \pm 7}{2} \rightarrow \begin{cases} y=-2 \rightarrow  \mbox {No existe solucion para x} \\ y=5 \rightarrow x= \pm \sqrt 5 \end{cases}</math>
+:<math>y = \frac{2 \pm \sqrt{4+12}}{2}=\frac{2 \pm 4}{2} \rightarrow \begin{cases} y=-1 \rightarrow  \mbox {No existe solucion para x} \\ y=3 \rightarrow x= \pm \sqrt 3 \end{cases}</math>
-:'''Soluciones:''' <math>  -\sqrt 5,\, \sqrt 5\,\!</math>
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 '''c)'''
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-:<math> y(y-9)=0 \rightarrow \begin{cases} y=0 \rightarrow x= 0 \\ y=9 \rightarrow x= \pm \sqrt 9 = \pm 3 \end{cases}</math>
+:<math> y(y-5)=0 \rightarrow \begin{cases} y=0 \rightarrow x= 0 \\ y=5 \rightarrow x= \pm \sqrt 5 \end{cases}</math>
-:'''Soluciones:''' <math>0,\, -3,\, 3\,\!</math>
+:'''Soluciones:''' <math>0,\, -\sqrt 5,\, \sqrt 5\ \!</math>
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 ===Videotutoriales===

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