Factoriales y números combinatorios (1ºBach)
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| - | # <math>{m\choose 0} = {m\choose m} = 1</math> | + | # <math>{n\choose 0} = {n\choose n} = 1</math> |
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| - | # <math>{m-1\choose n-1} + {m-1\choose n} = {m\choose n}</math> | + | # <math>{n-1\choose k-1} + {n-1\choose k} = {n\choose k}</math> |
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| - | # En un conjunto con ''m'' elementos se puede extraer sólo un conjunto con 1 elemento (sólo el <math>\varnothing</math>) y solo un conjunto con ''m'' elementos (el propio conjunto de partida). | + | # En un conjunto con ''n'' elementos se puede extraer sólo un conjunto con 1 elemento (sólo el <math>\varnothing</math>) y solo un conjunto con ''n'' elementos (el propio conjunto de partida). |
| - | # En un conjunto con ''m'' elementos, cada subconjunto con ''n'' elementos tiene un complementario con ''m-n'' elementos. | + | # En un conjunto con ''n'' elementos, cada subconjunto con ''k'' elementos tiene un complementario con ''n-k'' elementos. |
| # Esta demostración no se da por su complejidad. | # Esta demostración no se da por su complejidad. | ||
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Tabla de contenidos |
Factoriales
Se define el factorial de un número entero positivo "n" como
y se define, por convenio:
.
La operación de factorial aparece en muchas áreas de las matemáticas, particularmente en combinatoria y análisis matemático. De manera fundamental el factorial de n representa el número de formas distintas de ordenar n objetos distintos. Este hecho ha sido conocido desde hace varios siglos, en el siglo XII por los estudiosos hindúes.
La notación matemática actual n! fue usada por primera vez en 1808 por Christian Kramp (1760–1826), un matemático francés que trabajó, en especial, sobre los factoriales durante toda su vida.
Números combinatorios
Coeficiente binomial
Se llama coeficiente binomial, y lo representaremos por 
o 
, al número de subconjuntos de "k" elementos escogidos de un conjunto con "n" elementos. También se suele decir que es el número de "combinaciones de n elementos tomados de k en k" y, por tanto, que se le conozca también como "número combinatorio".
Proposición
- El coeficiente binomial viene dado por la fórmula:
Demostración:
Si se tiene un conjunto con n elementos, de los cuales se van a escoger k de ellos, la selección (ordenada) puede hacerse de
formas, ya que en el primer paso se tienen n opciones, en el segundo se tienen n-1, en el tercero n-2, y así sucesivamente, terminando en el paso k que tendrá n-k+1 opciones.
Ahora, para eleiminar los conjuntos repetidos, hay que dividir el producto anterior entre el número de selecciones "equivalentes" (conjuntos con los mismos elementos en distinto orden). Pero si se tiene k objetos, hay k! formas de permutarlos, es decir, k! formas de listarlos en distinto orden.
Concluimos que el número de subconjuntos con k elementos, escogidos de un conjunto con n elementos es
Multiplicando el numerador y el denominador por 
o lo que es lo mismo, expresado con factoriales:
Propiedades de los números combinatorios
Propiedades
Demostración:
- En un conjunto con n elementos se puede extraer sólo un conjunto con 1 elemento (sólo el
) y solo un conjunto con n elementos (el propio conjunto de partida).
- En un conjunto con n elementos, cada subconjunto con k elementos tiene un complementario con n-k elementos.
- Esta demostración no se da por su complejidad.
