Plantilla:Raiz de 2 no es racional
De Wikipedia
| Revisión de 13:06 7 sep 2016 Coordinador (Discusión | contribuciones) ← Ir a diferencia anterior |
Revisión de 18:28 7 sep 2016 Coordinador (Discusión | contribuciones) Ir a siguiente diferencia → |
||
| Línea 6: | Línea 6: | ||
| Vamos ha utilizar un tipo de demostración denominado "[[Método de reducción al absurdo |por reducción al absurdo]]". Supondremos que{{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\sqrt{2} \,</math>}} es racional y llegaremos a una conclusión sin sentido, lo que demostrará la falsedad de la hipótesis de partida. | Vamos ha utilizar un tipo de demostración denominado "[[Método de reducción al absurdo |por reducción al absurdo]]". Supondremos que{{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\sqrt{2} \,</math>}} es racional y llegaremos a una conclusión sin sentido, lo que demostrará la falsedad de la hipótesis de partida. | ||
| - | Por tanto, supongamos que{{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\sqrt{2} \,</math>}} es racional, o sea, que existe una fracción de números enteros <math>\cfrac {a}{b}</math> que es igual a{{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\sqrt{2} \,</math>}}. | + | Por tanto, supongamos que{{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\sqrt{2} \,</math>}} es racional, o sea, que existe una fracción que es igual a{{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\sqrt{2} \,</math>}}. |
| - | <center><math>\cfrac {a}{b}=\sqrt{2}</math></center> | + | <center><math>\cfrac {a}{b}=\sqrt{2} \, , \quad a, b \in \mathbb{Z}</math></center> |
| Elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad: | Elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad: | ||
| Línea 20: | Línea 20: | ||
| Sabemos que en la descomposición factorial de un cuadrado perfecto, distinto de 1, todos los factores que aparecen lo hacen un número par de veces. | Sabemos que en la descomposición factorial de un cuadrado perfecto, distinto de 1, todos los factores que aparecen lo hacen un número par de veces. | ||
| - | Como {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>b^2\;\!</math>}} es un cuadrado perfecto, el factor 2 o no aparece o lo hace un número par de veces. Pero entonces, el factor 2 aparecería un número impar de veces en la descomposición del cuadrado perfecto {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>a^2\;\!</math>}} por [1]. | + | Como {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>b^2\;\!</math>}} es un cuadrado perfecto, el factor 2 o no aparece o lo hace un número par de veces. Pero, por la expresión [1], el factor 2 aparecería un número impar de veces en la descomposición del cuadrado perfecto {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>a^2\;\!</math>}}, lo cual no es posible. |
| Ya hemos llegado al absurdo. | Ya hemos llegado al absurdo. | ||
| }} | }} | ||
Revisión de 18:28 7 sep 2016
Proposición
- No existe ningún número racional que elevado al cuadrado dé como resultado 2. Es decir, el número
no es racional.
Vamos ha utilizar un tipo de demostración denominado "por reducción al absurdo". Supondremos que es racional y llegaremos a una conclusión sin sentido, lo que demostrará la falsedad de la hipótesis de partida.
Por tanto, supongamos que es racional, o sea, que existe una fracción que es igual a.
Elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad:
Multiplicamos por 
los dos miembros de la igualdad:
[1]Sabemos que en la descomposición factorial de un cuadrado perfecto, distinto de 1, todos los factores que aparecen lo hacen un número par de veces.
Como es un cuadrado perfecto, el factor 2 o no aparece o lo hace un número par de veces. Pero, por la expresión [1], el factor 2 aparecería un número impar de veces en la descomposición del cuadrado perfecto 
, lo cual no es posible.
