Plantilla:Valor absoluto (1º Bach)

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(Diferencia entre revisiones)

Revisión de 08:38 8 sep 2016

Valor absoluto de un número real

(pág. 32)

El valor absoluto o módulo de un número real $a\;$ es el propio número $a\;$ , si es positivo, o su opuesto, $-a\;$ , si es negativo. Es decir:

$|a| = \begin{cases} \;\;\;a, & \mbox{si } a \ge 0\\ -a, & \mbox{si } a < 0 \end{cases}$

Valor absoluto de un número real (2´47") Sinopsis:

Definición del valor absoluto de un número.
Ejemplos.
Propiedades del valor absoluto.

Nótese que el valor absoluto de un número siempre será positivo. Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real $a\;$ corresponde a la distancia a lo largo de la recta real desde $a\;$ hasta el cero.

Reglas para trabajar con desigualdades

Sean $x, y, z \in \mathbb{R}$ , se cumplen las siguientes propiedades:

1. $x<y \Rightarrow x+z<y+z$

2. $x<y~;~ z>0 \Rightarrow x \cdot z<y \cdot z$

3. $x<y~;~ z<0 \Rightarrow x \cdot z>y \cdot z$

4. $x<y \, ; \ x,y \ne 0 \Rightarrow \cfrac{1}{x} > \cfrac{1}{y}$

Como consecuencia, en una inecuación:

Lo que está sumando en un lado de la desigualdad, pasa restando al otro miembro sin afectar a la desigualdad. Y viceversa.
Lo que está multiplicando a todo un miembro, pasa dividiendo al otro miembro. Y viceversa. En este caso la desigualdad sólo cambia de sentido si el número que pasa multiplicando o dividiendo es negativo.

¿Cuándo debe cambiar de sentido una desigualdad? (10'00") Sinopsis:

¿Cuándo debe cambiar de sentido una desigualdad?. Ejemplos.

Ejemplos: Valor absoluto

1) Calcula el valor absoluto de los siguientes números: $7.4,~0,~-5.87,~\sqrt{9},~1-\sqrt{3}$

2) ¿Para qué valores de x se cumplen las siguientes expresiones?

a) $|x|=3\;$

b) $|x|=0\;$

c) $|x|=\sqrt{3}\;$

Solución:

$|7.4|=7.4\;$

$|0|=0\;$

$|-5.87|=5.87\;$

$|\sqrt{9}|=|\pm 3|= 3\;$

$|1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1\;$

a) $|x|=3 \iff x=3 \quad \acute{o} \quad x=-3$

b) $|x|=0 \iff x=0$

c) $|x|= \sqrt{3} \iff x= \sqrt{3} \quad \acute{o} \quad x=-\sqrt{3}$

(pág. 33)

Ejercicios resueltos: Valor absoluto

2) ¿Para qué valores de x se cumplen las siguientes desigualdades?

a) $|x| \ge 3\;$

b) $|x-2|\le 3\;$

Solución:

a) $|x| \ge 3 \iff x \le-3 \quad \acute{o} \quad x \ge 3 \iff x \in \left ( -\infty , -3 \right ] \cup \left [ 3, +\infty \right ) \iff x \in \mathbb{R}-\left ( -3, 3 \right )$

b) $|x-2|\le 3 \iff -3<x-2<3 \iff -3+2<x-2+2<3+2 \iff -1<x<5 \iff x \in \left [ -1 , 5 \right ]$

Actividad: Valor absoluto

Resuelve

a) $|3x-1|=0 \;$

b) $|3x-1|=4 \;$

c) $|x-5|>2 \;$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

| 3 x - 1 | = 0

| 3 x - 1 | = 4

| x - 5 | > 2

Ejercicios

Ejercicios: Valor absoluto

Halla los siguientes valores absolutos:

a) $|-11| \;$ b) $|\pi| \;$ c) $|-\sqrt{5}| \;$

d) $|0| \;$ e) $|3-\pi| \;$ f) $|3-\sqrt{2}| \;$

g) $|1-\sqrt{2}| \;$ h) $|\sqrt{2}-\sqrt{3}| \;$ i) $|7-\sqrt{50}| \;$

Solución:

Utiliza Wolfram para comprobar las soluciones:

(pág. 33)

Ejercicios propuestos: Valor absoluto

2. Averigua para qué valores de x se cumplen las siguientes relaciones:

a) $|x|=5 \;$ b) $|x| \le 5 \;$ c) $|x-4|=2 \;$

d) $|x-4| \le 2 \;$ e) $|x-4| > 2 \;$ f) $|x+4|>5 \;$

Solución:

Utiliza Wolfram para comprobar las soluciones:

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Valor_absoluto_%281%C2%BA_Bach%29"

  \end{cases} </math></center>
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-Nótese que el valor absoluto de un número siempre será positivo. Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real <math>a\;</math> corresponde a la distancia a lo largo de la recta real desde <math>a\;</math> hasta el cero.
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+Nótese que el valor absoluto de un número siempre será positivo. Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real <math>a\;</math> corresponde a la [[Valor absoluto (1º Bach)#Distancia |distancia]] a lo largo de la recta real desde <math>a\;</math> hasta el cero.
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