Número áureo

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Revisión de 15:56 8 sep 2016

Tabla de contenidos

1 El número áureo
2 El rectángulo áureo
- 2.1 Construcción del rectángulo áureo
3 El número áureo en el péntágono estrellado
4 La sucesión de Fibonacci y el número áureo
5 El número áureo en la naturaleza y nuestro entorno
6 El número áureo en el arte y la cultura
7 Videos y páginas web

El número áureo

El número áureo, es un número irracional cuyo valor es:

$\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803398874988...$

Fue el primer número del que se tuvo conciencia que era irracional. Es representado por la letra griega phi φ (en minúscula) o Φ (en mayúscula) en honor al escultor griego Fidias.

También se le conoce como número de oro, razón áurea, sección áurea o divina proporción (por la obra de Luca Pacioli, De Divina Proportione, escrita entre 1496 y 1498).

Proposición 1

Si dividimos un segmento en dos partes a y b, de manera que la longitud total, a+b, es al segmento más largo a, como a es al segmento más corto b, entonces la razón de dicha proporción es el número áureo.

$\cfrac{a+b}{a} = \cfrac{a}{b} = \phi$

Demostración:

Partimos de la proporción dada:

$\cfrac{a+b}{a} = \cfrac{a}{b}$

Separamos en dos sumandos el término de la izquierda:

$\cfrac{a}{a}+\cfrac{b}{a} = \cfrac{a}{b}$

Llamando $x = \cfrac{a}{b}$ , tenemos que $\cfrac{1}{x} = \cfrac{b}{a}$ , de manera que:

$1+\cfrac{1}{x} = x$

Quitando denominadores y trasponiendo términos:

$x^2-x-1=0\;$

ecuación de segundo grado cuya única raíz válida es:

$x = \frac {1+\sqrt{5}}{2} = \phi$

con lo que queda demostrado.

Fig. 1: El número áureo surge de la división en dos de un segmento guardando las siguientes proporciones: La longitud total a+b es al segmento más largo a, como a es al segmento más corto b.

El rectángulo áureo

El rectángulo áureo (o rectángulo dorado) es un rectángulo que posee una proporcionalidad entre sus lados igual al número áureo.

Los griegos consideraban que un rectángulo de tales características era especialmente armonioso. Esta proporción de medidas se ha utilizado con mucha frecuencia en el arte.

Proposición 2

Si en un rectángulo áureo substraemos la imagen de un cuadrado igual al de su lado menor, el rectángulo resultante es también un rectángulo áureo.

Demostración:

Partimos de un rectángulo áureo. Lo dividimos en un cuadrado de lado su lado menor y otro rectángulo pequeño, como se observa en la Fig. 2.

Veamos que el rectángulo pequeño también es un rectángulo áureo. Para ello tendremos que comprobar que $\cfrac{a}{b}= \phi$

Por ser el rectángulo de partida un rectángulo áureo, se cumple que la proporción entre sus lados es el número áureo:

$\cfrac{a+b}{a} = \phi$

Operando:

$\cfrac{a+b}{a} = \phi \ \rightarrow \ \cfrac{a}{a}+\cfrac{b}{a} = \phi \ \rightarrow \ \cfrac{b}{a} = \phi - 1 \ \rightarrow$

$\rightarrow \ \cfrac{a}{b} = \cfrac{1}{\phi - 1} \ \rightarrow \ \cfrac{a}{b} = \cfrac{1}{\frac{1 + \sqrt{5}}{2} - 1} \ \rightarrow \cfrac{a}{b} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \phi$

c.q.d.

Fig. 2: Si en un rectángulo áureo substraemos la imagen de un cuadrado igual al de su lado menor, el rectángulo resultante es también un rectángulo áureo.

Construcción del rectángulo áureo

Construcción del rectángulo áureo con regla y compás

En la matemática clásica, Euclides construye el rectángulo áureo con regla y compás, siguiendo los siguientes pasos:

Se construye un cuadrado de lado unidad (de rojo, en la Fig. 3).
Se traza una segmento desde la mitad del lado del cuadrado hasta una de sus esquinas.
Empleando ese segmento como radio, se coloca la punta del compás en la mitad del cuadrado y se abate hasta cortar en la prolongación de la base del cuadrado.
Ese punto obtenido determina la base del rectángulo áureo con altura igual al lado del cuadrado.

Demostración:

Si te fijas en la Fig. 3, basta con demostrar que el segmento que se obtiene en el paso 2 mide $\cfrac{\sqrt{5}}{2}$ , para lo cual basta con usar el teorema de Pitágoras.

Construcción del número de oro Descripción:

En la escena puedes ver la construcción del número de oro basada en una construcción gráfica que se encuentra en un libro de Euclides (siglo III a.C.).

Para ello debes ir presionando sucesivamente el control pasos.
Toma nota en tu cuaderno de los pasos de la representación e intenta realizarla con regla y compás.
Si presionas sobre el control decimales podrás variar el número de cifras decimales.

Construcción de la sección áurea de un segmento y del rectángulo áureo. (5'15") Sinopsis:

Construcción con regla y compás de la sección áurea de un segmento y del rectángulo áureo.

Fig. 3: Construcción del rectángulo áureo con regla y compás .

El número áureo en el péntágono estrellado

Los griegos pitagóricos (seguidores de las teorías de Pitágoras) pensaban que el mundo se regía por su orden numérico y geométrico. Para ellos, los únicos números existentes eran los naturales y las relaciones entre ellos (fracciones). Su emblema era la estrella de cinco puntas o pentágono estrellado. Esta estrella representaba la vida y, puesta con una de sus vértices hacia abajo, representa lo contrario (lo maléfico). Comprobaron que en un pentágono regular, la relación entre su diagonal y su lado es el número áureo. Cuando llegaron a la conclusión de que esta relación no se podía expresar como cociente de dos números enteros, se quedaron espantados, y les pareció tan contrario a toda lógica que lo llamaron irracional. Es el primer número irracional del que se tuvo conciencia que lo era.

El número áureo en el péntágono estrellado

La razón entre la diagonal del del péntagono regular y su lado es igual al número áureo. (Ver Fig.4 )

$\cfrac{d}{l}= \phi$

Demostración:

Los triángulos ABF y EBD son semejantes ya que tienen sus ángulos iguales. Para comprobarlo basta aplicar la propiedad que dice que los ángulos inscritos en una circunferencia que abarcan el mismo arco son iguales.
Por ser semejantes los triángulos ABF y EBD, sus lados son proporcionales:

$\cfrac{l}{d}=\cfrac{d-l}{l} \ \rightarrow \ \cfrac{l}{d}=\cfrac{d}{l}-1 \ \rightarrow \ \cfrac{1}{{d \over l}}=\cfrac{d}{l}-1$

Haciendo el cambio de variable $x= \cfrac{d}{l}$ :

$\cfrac{1}{x}=x+1 \ \rightarrow \ x^2-x-1=0 \ \rightarrow \ x=\frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \phi$

c.q.d.

Fig. 4: En el petágono estrellado se cumple que d / l = Φ.

La sucesión de Fibonacci y el número áureo

La sucesión de Fibonacci se debe a Leonardo de Pisa (Fibonacci), matemático italiano del siglo XIII. Es la siguiente:

$1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ \cdots$

Es una sucesión recurrente dada por la siguiente relación de recurrencia:

$F_1=1,\ F_2=1,\ F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$

Término general de la sucesión de Fibonacci

El término general de la sucesión de Fibonacci es:

$F_n=\frac{\phi^n-\left(-\phi\right)^{-n}}{\sqrt5}$

siendo $\phi\;$ el número áureo.

$\phi=\frac{1+\sqrt5}2$

Demostración:

Puedes ver una demostración que sobrepasa este nivel en este enlace: enlace a wikipedia

La sucesión de Fibonacci y el número áureo

Si a partir de la sucesión de Fibonacci

$F_n\;$ = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...,

construimos, por recurrencia, la sucesión

$b_n=\cfrac{F_{n+1}}{F_n}$

Entonces, esta sucesión tiende al número áureo:

$lim \ b_n= \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \phi$

Demostración:

Comprobación: Si en la sucesión de Fibonacci

$1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55,\ 89, \cdots$

dividimos cada término entre el anterior, tenemos:

$\cfrac{1}{1},\ \cfrac{2}{1},\ \cfrac{3}{2},\ \cfrac{5}{3},\ \cfrac{8}{5},\ \cfrac{13}{8},\ \cdots$

que expresada con decimales nos da:

$1,\ 2,\ 1.5,\ 1.66,\ 1.6,\ 1.625,\ 1.615 \cdots \rightarrow \phi$

Demostración:

Por construcción de la sucesión de Fibonacci:

$F_{n+1}=F_n + F_{n-1} \;$

Dividiendo ambos miembros por $F_n \;$ :

$\frac {F_{n+1}}{F_n}=1 + \frac {F_{n-1}}{F_n} = 1 + \frac {1}{\cfrac {F_n}{F_{n-1}}}$

Tomando límites en ambos miembros:

$lim \ \frac {F_{n+1}}{F_n} = 1 + \frac {1}{lim \ \cfrac {F_n}{F_{n-1}}}$

Llamando $L = lim \ \frac {F_{n+1}}{F_n}=lim \ \cfrac {F_n}{F_{n-1}}$ , tenemos:

$L = 1 + \frac {1}{L} \longrightarrow L^2-L-1=0$

ecuación de segundo grado cuya única raíz válida es:

$L = \frac {1+\sqrt{5}}{2} = \phi$

con lo que queda demostrado.

El número áureo en la naturaleza y nuestro entorno

Ejemplo: La sucesión de Fibonacci y el número áureo

Fibonacci

El siguiente problema fue propuesto por Fibonacci, matemático italiano del siglo XIII:

"Cuántas parejas de conejos se producirán en un año, comenzando con una pareja única, si cada mes cualquier pareja engendra otra pareja, que se reproduce a su vez desde el segundo més?"

a) Escribe la sucesión cuyos términos son lás parejas de conejos que hay cada més. Esta recibe el nombre de sucesión de Fibonacci.

b) Ahora vas a construir la sucesión que se obtiene al dividir cada término entre el anterior. Esa sucesión verás que se aproxima al número áureo ( $\phi\;$ ):

$\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.618033988...$

Solución:

a) Sucesión de Fibonacci:

Mes 1: 1 pareja (la pareja nace al comenzar el primer mes)
Mes 2: 1 pareja (la pareja no es fértil hasta que termine el 2º mes)
Mes 3: 2 parejas (al comenzar el tercer mes se reproduce por primera vez)
Mes 4: 3 parejas (la primera pareja vuelve a reproducirse pero la segunda no lo hace hasta el comienzo del próximo mes)
Mes 5: 5 parejas (la primera y la segunda pareja ya se reproducen, la tercera aún no)
Mes 6: 8 parejas (se reproducen las 3 primeras parejas, las otras dos no)
Mes 7: 13 parejas (se reproducen las 5 parejas de hace 2 meses, pero las 3 nuevas del mes anterior aún no)

Así se obtiene la sucesión de Fibonacci, en la que cada término se obtiene a partir de la suma de los dos anteriores:

$\{ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55,\ 89, \cdots \}$

b) Sucesión del número áureo:

Dividiendo cada término entre el anterior, tenemos la sucesión:

$\left \{ \cfrac{1}{1},\ \cfrac{2}{1},\ \cfrac{3}{2},\ \cfrac{5}{3},\ \cfrac{8}{5},\ \cfrac{13}{8},\ \cdots \right \}$

que expresada con decimales vemos que se aproxima al número áureo:

$\{ 1,\ 2,\ 1.5,\ 1.66,\ 1.6,\ 1.625,\ 1.615 \cdots \} \rightarrow \phi$

Nota: Leonardo de Pisa (Fibonacci), en su Libro de los ábacos (Liber abacci, 1202, 1228), usa la sucesión que lleva su nombre para calcular el número de pares de conejos n meses después de que una primera pareja comienza a reproducirse (suponiendo que los conejos están aislados por muros, se empiezan a reproducir cuando tienen dos meses de edad, tardan un mes desde la fecundación hasta la parición y cada camada es de dos conejos). Este es un problema matemático puramente independiente de que sean conejos los involucrados. En realidad, el conejo común europeo tiene camadas de 4 a 12 individuos y varias veces al año, aunque no cada mes, pese a que la preñez dura 32 días. El problema se halla en las páginas 123 y 124 del manuscrito de 1228, que fue el que llegó hasta nosotros, y parece que el planteamiento recurrió a conejos como pudiera haber sido a otros seres; es un soporte para hacer comprensible una incógnita, un acertijo matemático.

Fibonacci: La magia de los números (16') Sinopsis:

Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci, es el autor de la primera summa matemática de la Edad Media, el Liber Abaci. Con este libro introduce en la Europa cristiana las nueve cifras hindúes y el signo del cero. Pero además brinda a los calculistas de la época reglas claras para realizar operaciones con estas cifras tanto con números enteros como con fracciones. Pero Fibonacci es más conocido entre los matemáticos por la curiosa sucesión de números que lleva su nombre y en la que cada término es la suma de los dos anteriores. Esta sucesión es una auténtica fuente de agradables sorpresas. Analizaremos las sugerentes relaciones que existen entre sus términos y descubriremos su presencia en fenómenos naturales coma la ramificación de algunas plantas, la distribución de los piñones en las piñas y de las pipas en los girasoles. Y, aunque en principio cueste trabajo creérselo, veremos que está directamente emparentada con un viejo amigo nuestro: el número áureo.

Fibonacci (24'29") Sinopsis:

Grandes temas de la matemática - Capítulo 4: Fibonacci. (con Adrian Paenza)

En la naturaleza, hay muchos elementos relacionados con la sección áurea y/o los números de Fibonacci:

La disposición de los pétalos de las flores (el papel del número áureo en la botánica recibe el nombre de Ley de Ludwig)
La distribución de las hojas en un tallo. (Sucesión de Fibonacci)
La relación entre las nervaduras de las hojas de los árboles.
La relación entre el grosor de las ramas principales y el tronco, o entre las ramas principales y las secundarias (el grosor de una equivale a Φ tomando como unidad la rama superior).
En la cantidad de elementos constituyentes de las espirales o dobles espirales de las inflorescencias, como en el caso del girasol, y en otros objetos orgánicos como las piñas de los pinos se encuentran números pertenecientes a la sucesión de Fibonacci y el cociente de dos elementos consecutivos tiende al número áureo.
La distancia entre el ombligo y la planta de los pies de una persona, respecto a su altura total.
La cantidad de pétalos en las flores.
La relación entre la distancia entre las espiras del interior espiralado de cualquier caracol o de cefalópodos como el nautilus. (Fig. 5)
Para que las hojas esparcidas de una planta (Ver Filotaxis) o las ramas alrededor del tronco tengan el máximo de insolación con la mínima interferencia entre ellas, éstas deben crecer separadas en hélice ascendente según un ángulo constante y teóricamente igual a 360º (2 - φ) ≈ 137º 30' 28"
Los televisores de pantalla ancha, las postales, las tarjetas de crédito y las fotografías se ajustan por lo común a sus proporciones.
Se han llevado a cabo muchos experimentos para probar que las proporciones de los rostros de las top models se adecuan más estrechamente a la sección áurea que las del resto de la población. Lo cual, supuestamente, explica por qué las encontramos bellas.

Fig. 5. Concha de nautilus en espiral logarítmica.

El número áureo en el arte y la cultura

Sus comienzos se sitúan en Egipto. Aparece, por ejemplo, en construcciones como la pirámide de Keops, en la que el cociente entre la altura de uno cualquiera de sus triángulos laterales con el la mitad del lado de la base es igual a Φ. (Fig. 6)

Los griegos de la antigüedad clásica creían que la proporción conducía a la salud y a la belleza. Creyeron que el entendimiento de la proporción podría ayudar a acercarse a Dios: Dios «estaba» en el número. En su libro Los Elementos (300 a. C.), Euclides demostró la proporción que Platón había denominado «la sección», y que más tarde se conocería como «sección áurea». Ésta constituía la base en la que se fundaba el arte y la arquitectura griegos. El famoso escultor Fidias (de ahí le viene el nombre Φ (phi) al número de oro) en su diseño del Partenón utilizó repetidamente la proporción áurea. El alzado del Partenón se enmarca en un rectángulo áureo, AB/CD= Φ. Además, hay muchas más proporciones áureas, como por ejemplo: AC/AD= Φ. (Fig. 7)

Los constructores de las iglesias medievales y góticas y de las catedrales europeas también erigieron estas asombrosas estructuras para adaptarse a la Sección Aurea. En este sentido, Dios realmente estaba en los números.

En su obra «La divina proporción», editada en 1509, Luca Pacioli propone un hombre perfecto en el que encontramos la razón áurea en las relaciones entre distintas partes del cuerpo:

Luca Pacioli, un amigo de Leonardo da Vinci al que conoció mientras trabajaba en la corte de Ludovico Sforza, duque de Milán, escribió un tratado crucial sobre la Sección Áurea, titulado De divina proportione. En este libro, Pacioli intenta explicar el significado de la Divina Proporción de una forma lógica y científica, aunque lo que él creía era que su esquiva cualidad reflejaba el misterio de Dios. Esta y otras obras de Pacioli parece que influyeron profundamente a Leonardo, y ambos se convirtieron en amigos inquebrantables, trabajando incluso juntos sobre problemas matemáticos. El uso de la Sección Áurea es evidente en las obras principales de Leonardo, quien mostró durante mucho tiempo un gran interés por las matemáticas del arte y de la naturaleza. Como el brillante Pitágoras antes que él, Leonardo hizo un estudio en profundidad de la figura humana, demostrando que todas las partes fundamentales guardaban relación con la Sección Áurea. Se ha dicho que la gran pintura inacabada de Leonardo, San Jerónimo, que muestra al santo con un león a sus pies, fue pintada en un intencionado estilo para asegurarse de que un rectángulo dorado (véase entrada) encajara perfectamente alrededor de la figura central. Dada la afición de Leonardo por la «geometría recreativa», esto parece una suposición razonable. También el rostro de la Mona Lisa encierra un rectángulo dorado pertecto. (Fig. 9)

Después de Leonardo, artistas como Rafael y Miguel Angel hicieron un gran uso de la Sección Áurea para construir sus obras. La impresionante escultura de Miguel Ángel, "El David", se ajusta en varios sentidos a la Sección Áurea, desde la situación del ombligo con respecto a la altura, hasta la colocación de las articulaciones de los dedos.

Es necesario desmentir la expandida aseveración de que el número áureo aparece en la conocida representación del Hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci. En este dibujo Leonardo da Vinci sigue estrictamente las proporciones fraccionarias del cuerpo humano que Vitruvio describe en su libro De architectura; concretamente en el Capítulo I del Libro Tercero, “El origen de las medidas del Templo”. (Algunos habían afirmado que en la famosa pintura de Leonardo de Vinci (1452-1519), el cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia desde el ombligo hasta los pies (radio de la circunferencia) es el número de oro. No es cierto.) (Fig. 8)

A lo largo de la historia ha fascinado a muchos científicos, artistas, poetas, ... Por ejemplo, encontramos la siguiente cita de Kepler (1571-1630):

Creo que de esta proporción geométrica se sirvió el Creador como la idea por medio de la que introdujo la generación continua de objetos semejantes a partir de objetos semejantes.

O este soneto que escribió Rafael Alberti cerrando el premio a la obra de Luca Pacioli en la edición de 1949 de la Ed. Losado, S. A., en Buenos Aires:

A ti, maravillosa disciplina,

media, extrema razón de la hermosura,

que claramente acata la clausura

viva en la malla de tu ley divina.

A ti, cárcel feliz de la retina,

áurea sección, celeste cuadratura,

misteriosa fontana de mesura

que el universo armónico origina.

A ti, mar de los sueños angulares,

flor de las cinco formas regulares,

dodecaedro azul, arco sonoro.

Lucas por alas un compás ardiente.

Tu canto es una esfera transparente.

A ti, divina proporción de oro.

Muchas piezas musicales de grandes compositores como Mozart, Beethoven, Bartók, Debussy, Schubert y Bach entre otros utilizaron la relación áurea para la división del tiempo en sus obras y en su estructura, de todas formas esto no tiene una percepción directa por el auditorio.

Los más apasionados del número de oro incluso hablan de su posible relación con la vida. Aseguran que, si se colocan todos los planetas en fila y se calcula cómo uno divide las distancias entre dos planetas vecinos, se observa que solo la Tierra se sitúa en el punto que se expresa por el número de sección áurea.

Fig. 6

Fig. 7

$Fig. 8. En la representación del Hombre de Vitruvio Leonardo da Vinci no utiliza el número áureo, sino el sistema fraccionario propuesto por Vitruvio.$

Fig. 8. En la representación del Hombre de Vitruvio Leonardo da Vinci no utiliza el número áureo, sino el sistema fraccionario propuesto por Vitruvio.

Fig. 9

Videos y páginas web

La divina proporción: el número phi (6') Sinopsis:

Documental sobre el número aureo.

El número áureo (18´) Sinopsis:

El programa presenta a este exótico número ya conocido por los griegos. Veremos cómo se obtiene, qué son los rectángulos áureos y su presencia en infinidad de manifestaciones artísticas, en Pintura, Arquitectura, Escultura... a lo largo de la historia. Pero el número de oro no es un mero invento del hombre, la naturaleza nos sorprende de una forma que no puede ser casual, tanto en el mundo vegetal como en el animal, como en multitud de fenómenos físicos, con acontecimientos en los que este famosos número hace acto de presencia.

Actividades

Phi, el número de oro Descripción:

A lo largo de la historia, Phi, el número de oro o número áureo, ha representado, para las personas que lo han conocido, la belleza, la magia, la perfección, lo divino. ¿Por qué?. Página elaborada por D. Luis Nicolás Ortiz.

Fibonacci: La magia de los números (16') Sinopsis:

Fibonacci (24'29") Sinopsis:

Grandes temas de la matemática - Capítulo 4: Fibonacci. (con Adrian Paenza)

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/N%C3%BAmero_%C3%A1ureo"

 *La relación entre las nervaduras de las hojas de los árboles.
 *La relación entre el grosor de las ramas principales y el tronco, o entre las ramas principales y las secundarias (el grosor de una equivale a Φ tomando como unidad la rama superior).
-*La cantidad de espirales de una piña, flores o inflorescencias. Estos números son elementos de la sucesión de Fibonacci y el cociente de dos elementos consecutivos tiende al número áureo.
+*En la cantidad de elementos constituyentes de las espirales o dobles espirales de las inflorescencias, como en el caso del girasol, y en otros objetos orgánicos como las piñas de los pinos se encuentran números pertenecientes a la sucesión de Fibonacci y el cociente de dos elementos consecutivos tiende al número áureo.
 *La distancia entre el ombligo y la planta de los pies de una persona, respecto a su altura total.
 *La cantidad de pétalos en las flores.
-*Si se divide el grado de inclinación de una espiral de ADN o de la concha de un molusco por sus respectivos diámetros (Fig. 5), se obtiene la sección áurea. Y si se mira la forma en que crecen las hojas de la rama de una planta, se puede ver que cada una crece en un ángulo diferente respecto a la de debajo. El ángulo más común entre hojas sucesivas está directamente relacionado con la sección áurea.
+*La relación entre la distancia entre las espiras del interior espiralado de cualquier caracol o de cefalópodos como el nautilus. (Fig. 5)
+*Para que las hojas esparcidas de una planta (Ver Filotaxis) o las ramas alrededor del tronco tengan el máximo de insolación con la mínima interferencia entre ellas, éstas deben crecer separadas en hélice ascendente según un ángulo constante y teóricamente igual a 360º (2 - φ) ≈ 137º 30' 28"
 *Los televisores de pantalla  ancha, las postales, las tarjetas de crédito y las fotografías se ajustan por lo común a sus proporciones.
 *Se han llevado a cabo muchos experimentos para probar que las proporciones de los rostros de las top models se adecuan más estrechamente a la sección áurea que las del resto de la población. Lo cual, supuestamente, explica por qué las encontramos bellas.

Número áureo

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El número áureo

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