Números complejos: Definición (1ºBach)

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Tabla de contenidos

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1 Necesidad de ampliación del campo numérico
2 Unidad imaginaria
- 2.1 Potencias de la unidad imaginaria
3 El conjunto de los números complejos
- 3.1 Forma binómica de un número complejo
- 3.2 Opuesto y conjugado de un complejo
4 Representación gráfica de los números complejos

Necesidad de ampliación del campo numérico

Hay ecuaciones como

$x^2 +9 = 0 \,$

que no tienen solución en el conjunto de los números reales

$x^2 +9 = 0 \rightarrow x^2=-9 \rightarrow x=\pm \sqrt{-9}$ (no existe en $\mathbb{R}$ )

Vamos a definir un nuevo conjunto que amplie al conjunto de los números reales y en el cual estas ecuaciones si tengan solución. Ese conjunto va a ser el conjunto de los números complejos. Para ello habrá que a empezar dando sentido a las raíces de números negativos.

Breve resumen de la historia de tu relación con los números (4´18") Sinopsis:[Mostrar]

Unidad imaginaria

Desde Al-Jwarizmi (800 DC), precursor del Álgebra, que sólo obtenía las soluciones positivas de las ecuaciones, pasaron más de ocho siglos, hasta que finalmente Descartes en 1637 puso nombre a las raíces cuadradas de números negativos, numeros imaginarios. En 1572, Raffaelle Bombelli, un matemático e ingeniero italiano, las inventó e hizo uso de ellas en sus cálculos en la resolución de ecuaciones. Leibniz decía de los números imaginarios que eran "una especie de anfibios entre el ser y la nada".

Se denomina unidad imaginaria a $\sqrt{-1}$ . Se designa por la letra $i\,$

$i=\sqrt{-1}$

El nombre de unidad imaginaria le fue dado por Euler en 1777.

Con esta definición, la ecuación anterior ahora si tiene solución "imaginaria":

$x^2 +9 = 0\;$

$x=\pm \sqrt{-9} \,=\, \pm 3 \, \sqrt{-1} \,=\, \pm \, 3i$

René Descartes

Potencias de la unidad imaginaria

Potencias de i

$i^0=1\,$
$i^1=i\,$
$i^2=(\sqrt{-1} \, )^2=-1$
$i^3=i \cdot i^2=-i$
$i^4=i^2 \cdot i^2= (-1) \cdot (-1)=1$

A partir de $i^4\,$ se repiten cíclicamente los valores.

Ejemplo [Mostrar]

El conjunto de los números complejos

Definimos el conjunto de los números complejos de la siguiente manera:

$\mathbb{C}=\big\{ a+bi \, / \, a, \, b \in \mathbb{R} \big\}$

Forma binómica de un número complejo

La expresión $a+bi\,$ se denomina forma binómica de un número complejo. En ella, a $a\,$ se le llama parte real y a $b\,$ parte imaginaria. Si escribimos $z=a+bi\,$ , entonces se dice que $Re(z)=a\,$ y $Im(z)=b\,$
Si $b=0\,$ , lo que tenemos es un número real, por tanto $\mathbb{R} \sub \mathbb{C}$ .
Si $b \ne 0\,$ , lo que tenemos no es un número real, es un número imaginario.
Si $a=0\,$ y $b \ne 0\,$ , se le llama número imaginario puro.
Dos números complejos en forma binómica son iguales si tienen iguales sus partes reeales y sus partes imaginarias.

$\mathbb{C} \mbox{ Complejos} \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{Reales} \begin{cases} \mathbb{Q} & \mbox{Racionales} \begin{cases} \mathbb{Z} & \mbox{Enteros} \begin{cases} \mathbb{N} & \mbox{Naturales} \\ & \mbox{Enteros negativos} \\ & \mbox {Cero} \end{cases}\\ & \mbox{Fraccionarios} \end{cases}\\ & \mbox{Irracionales} \end{cases}\\ & \mbox{Imaginarios} \end{cases}$

Opuesto y conjugado de un complejo

Se define el opuesto de un complejo $a+bi\,$ como el número complejo $-a-bi\,$ .
Se define el conjugado de un complejo $z=a+bi\,$ como el número complejo $\bar z =a-bi\,$ .

Proposición

Cualquier ecuación de segundo grado con coeficientes reales que no tenga solución real tiene dos soluciones imaginarias que son números complejos conjugados

Demostración:[Mostrar]

La unidad imaginaria. Números imaginarios puros. Números complejos (10´20") Sinopsis:[Mostrar]

Ejercicios: Números complejos

7 ejercicios (8´06") Sinopsis:[Mostrar]

Representación gráfica de los números complejos

Para representar los números reales utilizabamos una recta, la recta real. Para representar los números complejos vamos a utilizar un plano, el plano complejo. ¿Por qué?. Muy simple, un número complejo en forma binómica $a+bi\,$ queda determinado por un par de números reales: su parte real, $a\,$ y su parte imaginaria, $b\,$ . De esta manera, el par $(a,b)\,$ representa las coordenadas de un punto del plano. Diremos que $(a,b)\,$ es el afijo del número complejo $a+bi\,$ .

Ahora, al eje X, lo llamaremos eje real, y al eje Y, eje imaginario.

También podemos representar al número complejo mediante un vector de origen $(0,0)\,$ y extremo $(a,b)\,$ .

El plano complejo (3´50") Sinopsis:[Mostrar]

Ejercicios: El plano complejo

2 ejercicios (8´00") Sinopsis:[Mostrar]

Actividad interactiva: Representación gráfica de números complejos

Actividad 1: Representa en tu cuaderno los siguientes números complejos, sus opuestos y sus conjugados. Comprueba tus representaciones en la escena:

$5 + 2i \, , \quad -4 + 3i \quad , \quad -3 - 2i \quad , \quad 4 - 3i \quad , \quad 5i \quad , \quad -2i \quad , \quad -3 \quad , \quad 1 \quad , \quad -1 \quad , \quad i \quad , \quad -i$

Actividad:[Mostrar]

Actividad 2: Calcula las siguientes potencias de i en tu cuaderno, representa gráficamente los resultados y compruébalo todo en la escena:

$i^{189} \, , \quad i^{134} \quad , \quad i^{275} \quad , \quad i^{1284}$

Actividad:[Mostrar]

Video: Fractales... la geometría del caos (18´)

Sinopsis: [Mostrar]

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/N%C3%BAmeros_complejos:_Definici%C3%B3n_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría | Números

 ==Unidad imaginaria==
-{{Tabla75|celda2=<center>[[Imagen:descartes.jpg|200px]]<br>''[[Descartes|René Descartes]]</center>''|celda1=Desde [[Al-Jwarizmi]] (800 DC), precursor del Álgebra, que sólo obtenía las soluciones positivas de las ecuaciones, pasaron más de ocho siglos, hasta que finalmente [[Descartes]] en 1637 puso nombre a las raíces cuadradas de números negativos, ''numeros imaginarios'', y dedujo que las soluciones no reales de las ecuaciones eran ''números complejos''. Durante todo ese tiempo se manejaron esas soluciones sin definirlas claramente, aunque [[Albert Girard|Girard]], en 1629, afirmaba ya que una ecuación polinómica de grado n tenía n soluciones.
+{{Tabla75|celda2=<center>[[Imagen:descartes.jpg|200px]]<br>''[[Descartes|René Descartes]]</center>''|celda1=Desde [[Al-Jwarizmi]] (800 DC), precursor del Álgebra, que sólo obtenía las soluciones positivas de las ecuaciones, pasaron más de ocho siglos, hasta que finalmente [[Descartes]] en 1637 puso nombre a las raíces cuadradas de números negativos, ''numeros imaginarios''. En 1572, Raffaelle Bombelli, un matemático e ingeniero italiano, las inventó e hizo uso de ellas en sus cálculos en la resolución de ecuaciones. [[Leibniz]] decía de los números imaginarios que eran "una especie de anfibios entre el ser y la nada".
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 {{Caja_Amarilla|texto=Se denomina '''unidad imaginaria''' a <math>\sqrt{-1}</math>. Se designa por la letra <math>i\,</math>

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Necesidad de ampliación del campo numérico

Unidad imaginaria

Potencias de la unidad imaginaria

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Opuesto y conjugado de un complejo

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