Familias de funciones elementales (1ºBach)

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Tabla de contenidos

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Funciones algebraicas y trascendentes

  • Las funciones algebraicas son aquellas en las que las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.
  • Las funciones trascendentes son aquellas que no son algebraicas.

Funciones lineales

Las funciones lineales son aquellas que pueden describirse de la forma

\ y = mx+n

  • El número real m\; recibe el nombre de pendiente.
  • El número real n\; recibe el nombre de ordenada en el origen.
  • Si n=0\; se llama función de proporcionalidad directa.
  • Si n \ne 0\; se llama función afín.
  • Su gráfica es una recta.

Función lineal
Aumentar
Función lineal

ejercicio

Propiedades

La pendiente, m\,, describe el crecimiento de la función y=mx+n\,:

  • Si m>0\,, la función es creciente.
  • Si m<0\, la función es decreciente.
  • Si m=0\, la función es constante (recta horizontal).

Además, cuanto mayor es su pendiente (en valor absoluto), más inclinada es su gráfica.

Funciones cuadráticas

Una función cuadrática es aquella cuya expresión analítica puede escribirse como una ecuación polinómica de segundo grado:

y=ax^2+bx+c \;

con a \ne 0.

Funciones irracionales

Funciones de proporcionalidad inversa

Las funciones de proporcionalidad inversa son aquellas de la forma

\ y = \cfrac{k}{x} \qquad (k \in \mathbb{R})

donde el numero k\; recibe el nombre de constante de proporcionalidad.

Este tipo de funciones se llaman así porque si x\; e y\; son cantidades correspondientes de dos magnitudes inversamente proporcionales, con constante de proporcionalidad k\;, entonces sabemos que se cumple que x \cdot y = k \;.

ejercicio

Propiedades

Las funciones de proporcionalidad inversa y=\cfrac{k}{x}\; cumplen las siguientes propiedades:

  • Son funciones continuas en su dominio, que es D_f=\mathbb{R_*}=\mathbb{R}-\{0\}.
  • Son crecientes si k<0\; y decrecientes si k>0\;.
  • No tienen puntos de corte con los ejes.
  • La gráfica de esta función es una hipérbola equilátera:
  • Sus ramas son simétricas respecto del origen de coordenadas.
  • Sus asíntotas son los propios ejes de coordenadas.
Funciones de proporcionalidad inversa
Aumentar
Funciones de proporcionalidad inversa

Una función homográfica es una función racional del tipo:

\ y = \cfrac{ax+b}{cx+d}

ejercicio

Proposición

Si transformamos una función de proporcionalidad inversa por medio de traslaciones horizontales y verticales, el resultado es una función homográfica.

Funciones exponenciales

  • Sea a \in \mathbb{R} \ , a>0 \ , a \ne 1. Se define la función exponencial de base a\; como:


\begin{matrix} f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+ \\ \, \qquad \quad x \rightarrow y=a^x \end{matrix}


  • La función exponencial de base e = 2,7182...\; (número e) es de especial importancia en matemáticas y se denomina simplementre función exponencial, sin hacer mención a la base.
Funciones exponenciales
Aumentar
Funciones exponenciales

Propiedades

ejercicio

Propiedades de la función exponencial

Las funciones exponenciales de base a\; cumplen las siguientes propiedades:

  • Son continuas en su dominio, que es D_f=\mathbb{R}.
  • Pasan por (0,1)\; y (1,a)\;.
  • Crecimiento:
  • Si a>1\; son crecientes
  • Si 0<a<1\; son decrecientes.
  • Su crecimiento supera al de cualquier función potencia.
  • Son positivas y nunca se anulan (su gráfica está por encima del eje X).

Funciones exponenciales
Aumentar
Funciones exponenciales

Funciones logarítmicas

Sea a \in \mathbb{R} \ , a>0 \ , a \ne 1. Se define la función logarítmica de base a\; como:

\begin{matrix} f \colon \mathbb{R}{}_*^+ \rightarrow \mathbb{R} \quad \\ \, \qquad \qquad \ x \ \rightarrow y=log_a \, x \end{matrix}

  • La función logarítmica de base el número e = 2,7182... es de especial importancia en matemáticas. Se denomina función logaritmo neperiano y se designa por ln \, x.


  • La función logarítmica de base 10 también es de particular interés. Se denomina función logaritmo decimal y se designa por log \, x (sin especificar la base).
Funciones logarítmicas con distintas bases: - En rojo está representada la de base e. - En verde la de base 10. - En púrpura la de base 1.7.
Aumentar
Funciones logarítmicas con distintas bases:

- En rojo está representada la de base e.

- En verde la de base 10.

- En púrpura la de base 1.7.

Propiedades

ejercicio

Propiedades de la función logarítmica

Las funciones exponenciales de base a\; cumplen las siguientes propiedades:

  • Son continuas en su dominio: D_f=\mathbb{R}_*^+=\mathbb{R}^+ - \{0\}.
  • Pasan por (1,0)\; y (a,1)\;.
  • Crecimiento:
  • Si a>1\; son crecientes.
  • Si 0<a<1\; son decrecientes.
  • Su crecimiento es menor que el de las funciones raíz de cualquier índice \sqrt[n]{x}.
  • La función logaritmica y la exponencial de la misma base son funciones inversas y por tanto sus gráficas son simétricas respecto de la recta y=x\;.
Funciones logarítmicas
Aumentar
Funciones logarítmicas

Funciones trigonométricas

Ver tema: Funciones trigonométricas o circulares

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