Plantilla:Valor absoluto (1º Bach)

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:<math>\iff x \in \left ( -\infty , -3 \right ] \cup \left [ 3, +\infty \right ) \iff x \in \mathbb{R}-\left ( -3, 3 \right ) </math> :<math>\iff x \in \left ( -\infty , -3 \right ] \cup \left [ 3, +\infty \right ) \iff x \in \mathbb{R}-\left ( -3, 3 \right ) </math>
-b) <math>|x-2|\le 3 \iff -3<x-2<3 \iff -3+2<x-2+2<3+2 \iff</math>+b) <math>|x-2|\le 3 \iff -3 \le x-2 \le 3 \iff -3+2 \le x-2+2 \le 3+2 \iff</math>
-:<math> \iff -1<x<5 \iff x \in \left [ -1 , 5 \right ]</math>+:<math> \iff -1 \le x \le 5 \iff x \in \left [ -1 , 5 \right ]</math>
}} }}
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{{Inecuaciones con valores absolutos}} {{Inecuaciones con valores absolutos}}

Revisión de 06:52 22 sep 2017

El valor absoluto o módulo de un número real a\; es el propio número a\;, si es positivo o nulo. Y su opuesto, -a\;, si es negativo. Es decir:

|a| = \begin{cases} \;\;\;a \, , & \mbox{si } a \ge 0\\ -a\, , & \mbox{si } a < 0 \end{cases}

Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real a\; corresponde a la distancia a lo largo de la recta real desde a\; hasta el cero.

Propiedades del valor absoluto

ejercicio

Propiedades del valor absoluto

1.  |x|>0 \, ,\; \forall x \ne 0
2.   \forall k>0 \, , \, \ |x|=k \iff x=k \ \ \or \ \ x=-k
3.   \forall k>0 \, , \, \ |x|<k \iff -k < x < k
4.   \forall k>0 \, , \, \ |x|>k \iff x>k \ \ \or \ \ x<-k
5.   |x \cdot y|= |x| \cdot |y|
6.   |x + y| \le |x|+|y|

ejercicio

Reglas para trabajar con desigualdades

Sean x, y, z \in \mathbb{R}, se cumplen las siguientes propiedades:

1.  x<y \Rightarrow x+z<y+z
2.  x<y~;~ z>0 \Rightarrow x \cdot z<y \cdot z
3.  x<y~;~ z<0 \Rightarrow x \cdot z>y \cdot z
4.  x<y \, ; \ x,y \ne 0 \Rightarrow \cfrac{1}{x} > \cfrac{1}{y}

Como consecuencia, en una inecuación:

  • Lo que está sumando en un lado de la desigualdad, pasa restando al otro miembro sin afectar a la desigualdad. Y viceversa.
  • Lo que está multiplicando a todo un miembro, pasa dividiendo al otro miembro. Y viceversa. En este caso la desigualdad sólo cambia de sentido si el número que pasa multiplicando o dividiendo es negativo.

Ecuaciones con valor absoluto

ejercicio

Procedimiento

Para resolver ecuaciones con valor absoluto utilizaremos la 2ª de las propiedades del valor absoluto, que dice:

\forall k>0 \, , \, \ |x|=k \iff x=k \ \ \or \ \ x=-k

(pág. 33)

Inecuaciones con valor absoluto

ejercicio

Procedimiento

Para resolver inecuaciones con valor absoluto utilizaremos las propiedades 3ª y 4ª del valor absoluto, que dicen:

  •   \forall k>0 \, , \, \ |x|<k \iff -k < x < k
  •   \forall k>0 \, , \, \ |x|>k \iff x>k \ \ \or \ \ x<-k

ejercicio

Ejercicios resueltos: Valor absoluto

¿Para qué valores de x se cumplen las siguientes desigualdades?

a) |x| \ge 3\;
b) |x-2|\le 3\;

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