Factoriales y números combinatorios (1ºBach)
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Tabla de contenidos[esconder] |
(Pág. 43)
Factoriales
Se define el factorial de un número entero positivo "n" como

y se define, por convenio:

La operación de factorial aparece en muchas áreas de las matemáticas, particularmente en combinatoria y análisis matemático. De manera fundamental el factorial de n representa el número de formas distintas de ordenar n objetos distintos (permutaciones sin repetición). Este hecho ya era conocido en el siglo XII por los hindúes.
La notación matemática actual, , fue usada por primera vez en 1808 por Christian Kramp (1760–1826), un matemático francés que trabajó, en especial, sobre los factoriales durante toda su vida.
(Pág. 43)
Números combinatorios
Coeficiente binomial
Se llama coeficiente binomial, y lo representaremos por , o
, o bien
, al número de subconjuntos de
elementos escogidos de un conjunto con
elementos. También se suele decir que es el "número de combinaciones de
elementos tomados de
en
" y, por tanto, que se le conozca también como "número combinatorio".
Propiedades de los números combinatorios
Apéndice
Permutaciones
Se llama permutaciones de n elementos, y se representa , a las diferentes formas de ordenar esos n elementos.
Permutaciones con repetición
Se llama permutaciones con repetición de n elementos, donde el primer elemento se repite "a" veces , el segundo "b" veces , el tercero "c" veces, ..., con n=a+b+c+..., y se representa , a las distintas formas de ordenar esos n elementos, teniendo en cuenta que los elementos repetidos son indistinguibles.
Proposición
Las permutaciones con repetición de n elementos, donde el primer elemento se repite "a" veces , el segundo "b" veces , el tercero "c" veces, ..., con n=a+b+c+..., se pueden calcular con la siguiente fórmula:

Variaciones con repetición
Se llama variaciones con repetición de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y se representa , o bien
, al número de grupos distintos de n elementos que se pueden formar a partir de m elementos dados, de forma que importa el orden y se pueden repetir los elementos.
Proposición
Las variaciones con repetición de n elementos tomados de k en k (n ≥ k) se pueden calcular con la siguiente fórmula:

Variaciones ordinarias
Se llama variaciones ordinarias (o sin repetición) de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y se representa , o bien
, al número de grupos distintos de n elementos que se pueden formar a partir de m elementos dados, de forma que importa el orden y no se pueden repetir los elementos.
Proposición
Las variaciones ordinarias de n elementos tomados de k en k (n ≥ k) se pueden calcular con la siguiente fórmula:
