Factoriales y números combinatorios (1ºBach)

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Tabla de contenidos

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Factoriales

Sea n \in \mathbb{Z}^+. Se define el factorial de n\; como

n! = \prod_{k=1}^n k = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot ... \cdot n

y se define, por convenio:

0! = 1 \;.

La operación de factorial aparece en muchas áreas de las matemáticas, particularmente en combinatoria y análisis matemático. De manera fundamental el factorial de n representa el número de formas distintas de ordenar n objetos distintos ( permutaciones). Este hecho ya era conocido en el siglo XII por los hindúes.

La notación matemática actual, n!\;, fue usada por primera vez en 1808 por Christian Kramp (1760–1826), un matemático francés que trabajó, en especial, sobre los factoriales durante toda su vida.

(Pág. 43)

Números combinatorios

Coeficiente binomial

Sean n,k \in \mathbb{N} \ , n \ge k. Se llama coeficiente binomial, y lo representaremos por {n\choose k}, al número de subconjuntos de k\; elementos escogidos de un conjunto con n\; elementos. También se suele decir que es el "número de combinaciones de n\; elementos tomados de k\; en k\;" y, por tanto, que se le conozca también como "número combinatorio".

ejercicio

Proposición


El coeficiente binomial viene dado por la fórmula:

{n\choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}

Propiedades de los números combinatorios

ejercicio

Propiedades


  1. {n\choose 0} = {n\choose n} = 1
  2. {n\choose k} = {n\choose n-k}
  3. {n-1\choose k-1} + {n-1\choose k} = {n\choose k}

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