Plantilla:Tipos de discontinuidades

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(Diferencia entre revisiones)

Revisión de 13:23 17 mar 2020

Tabla de contenidos

1 Discontinuidad evitable
2 Discontinuidad esencial de primera especie
3 Discontinuidad esencial de segunda especie
4 Videotutoriales

Discontinuidad evitable

Una función $f(x)\;$ tiene una discontinuidad evitable en un punto $x=a\;$ si existe $\lim_{x \to a} f(x)=L \in \mathbb{R}$ pero éste no coincide con $f(a)\;$ , bien porque $f(x)\;$ no esté definida en $x=a\;$ o bien porque simplemente sean distintos.

Evitable (no definida en un punto, tiene un hueco)

$\lim_{x \to a} f(x)=L \in \mathbb{R}$ , pero $\not\exist f(a)$

Evitable (punto desplazado que deja un hueco)

$\lim_{x \to a} f(x)=L \in \mathbb{R}$ , pero $L \ne f(a)$

Ejemplo: Discontinuidad evitable

Comprueba en qué puntos presentan las siguientes funciones una discontinuidad evitable:

a) $y=\cfrac{x^2-2x}{(x-2)}$ b) $y = \begin{cases} x & \mbox{si }x \ne 1 \\ 3 & \mbox{si }x=1 \end{cases}$

Solución:[Mostrar]

Discontinuidad evitable [Mostrar]

Discontinuidad esencial de primera especie

Una función $f(x)\;$ tiene una discontinuidad esencial de primera especie de salto finito en un punto $x=a\;$ si existen los límites laterales en dicho punto y son finitos, pero estos no coinciden:

$\lim_{x \to a^+} f(x) \ne \lim_{x \to a^-} f(x)$

Se llama salto al valor absoluto de la diferencia enter ambos límites:

$salto=|\lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x)|$

Nota: $f(a)\;$ puede estar definida o no, y puede coincidir o no con uno de los dos límites laterales.

Salto finito (Salto=d-c)

$\lim_{x \to a^+} f(x)=d \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=c \, ; \not\exist f(a)$

Salto finito (Salto=d-c)

$\lim_{x \to a^+} f(x)=d \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=c \, ; f(a)=c$

Salto finito (Salto=d-c)

$\lim_{x \to a^+} f(x)=d \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=c \, ; f(a)=d$

Salto finito (Salto=d-c)

$\lim_{x \to a^+} f(x)=d \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=c \, ; f(a)=e$

Ejemplo: Discontinuidad de salto finito

Comprueba en qué punto presenta la siguiente función una discontinuidad de salto finito y averigua el valor del salto:

$y = \begin{cases} x & \mbox{si }x \le 2 \\ 1 & \mbox{si }x>2 \end{cases}$

Solución:[Mostrar]

Una función $f(x)\;$ tiene una discontinuidad esencial de primera especie de salto infinito si existen los límites laterales, siendo uno finito y otro infinito.

Nota: $f(a)\;$ puede estar definida o no, y puede coincidir o no con el límite lateral finito.

Salto infinito

$\lim_{x \to a^+} f(x)=+\infty \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=c$

En este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo y coincidir o no con "c"

Salto infinito

$\lim_{x \to a^+} f(x)=-\infty \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=c$

En este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo y coincidir o no con "c"

Salto infinito

$\lim_{x \to a^+} f(x)=c \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=+\infty$

En este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo y coincidir o no con "c"

Salto infinito

$\lim_{x \to a^+} f(x)=c \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=-\infty$

En este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo y coincidir o no con "c"

Ejemplo: Discontinuidad de salto infinito

Comprueba en qué punto presenta la siguiente función una discontinuidad de salto ifinito:

$y = \begin{cases} x & \mbox{si }x \le 0 \\ \cfrac{1}{x} & \mbox{si }x>0 \end{cases}$

Solución:[Mostrar]

Una función $f(x)\;$ tiene una discontinuidad esencial de primera especie asintótica si si existen los límites laterales, siendo ambos + o - infinito, pero no necesariamente iguales.

Nota: $f(a)\;$ puede estar definida o no.

Asintótica

$\lim_{x \to a^+} f(x)=-\infty \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=+\infty$

En este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo

Asintótica

$\lim_{x \to a^+} f(x)=+\infty \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=+\infty$

En este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo

Asintótica

$\lim_{x \to a^+} f(x)=+\infty \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=-\infty$

En este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo

Asintótica

$\lim_{x \to a^+} f(x)=-\infty \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=-\infty$

En este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo

Ejemplo: Discontinuidad asintótica

Comprueba en qué puntos presentan las siguientes funciones una discontinuidad asintótica:

a) $y = \cfrac{2}{x+2}$ b) $y = \cfrac{1}{x^2}$

Solución:[Mostrar]

Discontinuidad de primera especie [Mostrar]

Discontinuidad esencial de segunda especie

Una función $f(x)\;$ tiene una discontinuidad de segunda especie si no existe alguno de los límites laterales.

Nota: $f(a)\;$ puede estar definida o no.

Segunda especie

$\not \exist \lim_{x \to a^+} f(x) \, ; \not \exist \lim_{x \to a^-} f(x)$

Es oscilante por ambos lados

"f(a)" puede estar definida o no

Segunda especie

$\not \exist \lim_{x \to a^+} f(x) \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=c$

Es oscilante por la derecha

"f(a)" puede estar definida o no

Segunda especie

$\not \exist \lim_{x \to a^-} f(x) \, ; \lim_{x \to a^+} f(x)=c$

Es oscilante por la izquierda

"f(a)" puede estar definida o no

Ejemplo: Discontinuidad de segunda especie

Comprueba en qué punto presenta la siguiente función una discontinuidad de segunda especie:

$y = sen \, \frac{1}{x}$

Solución:[Mostrar]

Advertencia [Mostrar]

Videotutoriales

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