Relaciones trigonométricas fundamentales (4ºESO Académicas)

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Relaciones fundamentales de la trigonometría

Relaciones fundamentales de la trigonometría

1. $sen^2 \, \alpha + cos^2 \, \alpha = 1$ (Identidad pitagórica)

2. $tg \, \alpha =\cfrac{sen \, \alpha }{cos \, \alpha}$

3. $1+tg^2 \, \alpha =\cfrac{1}{cos^2 \, \alpha}$

Demostración:

1. $sen^2 \, \alpha + cos^2 \, \alpha = \left ( \cfrac{c_o}{h} \right )^2 + \left ( \cfrac{c_c}{h} \right )^2 =\cfrac {c_o^2+c_c^2}{h^2}= \cfrac {h^2}{h^2}=1$

ya que, por el teorema de Pitágoras, $c_o^2+c_c^2=h^2\;$ .

2. $\cfrac{sen \, \alpha }{cos \, \alpha}=\cfrac{c_o}{h}:\cfrac{c_c}{h}=\cfrac{c_o}{c_c}=tg \, \alpha$

3. $sen^2 \, \alpha + cos^2 \, \alpha = 1 \ \rightarrow \ \cfrac{sen^2 \, \alpha}{cos^2 \, \alpha}+ \cfrac{cos^2 \, \alpha}{cos^2 \, \alpha}=\cfrac{1}{cos^2 \, \alpha} \ \rightarrow \ tg^2 \, \alpha+1=\cfrac{1}{cos^2 \, \alpha}$

Identidades trigonométricas

Tutorial 1 (7´13") Sinopsis:

Demostración de las relaciones fundamentales de la trigonometría.

Tutorial 2 (7´08") Sinopsis:

Demostración de la identidad pitagórica.

Ejercicio 1 (9´45") Sinopsis:

Dada una de las razones trigonométricas de un ángulo, determinar las cinco restantes, haciendo uso de las relaciones fundamentales de la trigonometría.

a) $sen \, \mu = \cfrac{1}{3}$ ; b) $cos \, \mu = \cfrac{1}{2}$ ; c) $tg \, \mu = 2$

d) $cotg \, \mu = 1$ ; e) $sec \, \mu = 2$ ; f) $cosec \, \mu = 3$

Ejercicio 2 (3'41") Sinopsis:

Simplifica: $M=\sqrt{cotg^2 \theta + cos \, \theta \, \sqrt{1 + tg^2 \theta}}$

Ejercicio 3 (7'45") Sinopsis:

Comprueba las siguientes identidades trigonométricas:

a) $tg \, \alpha + cotg \, \alpha = sec \, \alpha \cdot cosec \, \alpha$

b) $2(1- cos^2 \alpha) + cos^2 \alpha = 1 + sen^2 \alpha\;$

Ejercicio 4 (7'34") Sinopsis:

Comprueba la siguiente identidad trigonométrica:

$\cfrac{tg \, x - cotg \, x}{tg \, x + cotg \, x} = 2sen^2 x \, - 1$

Ejercicio 5 (5'48") Sinopsis:

Comprueba la siguiente identidad trigonométrica:

$\cfrac{1+sen \, x}{1- sen \, x}-\cfrac{1-sen \, x}{1+ sen \, x} = 4 \cdot tg x \cdot sec \, x$

Ejercicio 6 (6'22") Sinopsis:

Comprueba la siguiente identidad trigonométrica:

$\cfrac{1}{cos \, x}-\cfrac{cos \, x}{1+ sen \, x} = tg x$

Ejercicio 7 (6'47") Sinopsis:

Comprueba la siguiente identidad trigonométrica:

$1 - 2 sen^2 x = \cfrac{1- tg^2 x}{1+ tg^2 x}$

Ejercicio 8 (5'16") Sinopsis:

Comprueba la siguiente identidad trigonométrica:

$cos^4 x - sen^4 x +1 = 2 cos^2 x\;$

Ejercicio 9 (8'39") Sinopsis:

Comprueba la siguiente identidad trigonométrica:

$\cfrac{sen^4 \alpha - cos^4 \alpha + 1}{1 + cotg^2 \alpha}\;$

Ejercicios 10 (18'32") Sinopsis:

Identidades trigonométricas. Ejercicios.

Ejercicios 11 (11'47") Sinopsis:

Identidades trigonométricas. Ejercicios.

Ejercicios 12 (12'34") Sinopsis:

Identidades trigonométricas. Ejercicios.

Ejercicio resuelto: Razones trigonométricas de un ángulo agudo

Sea $\alpha\;$ un ángulo agudo.

Sabiendo que $cos \, \alpha = 0.86$ , calcular $sen \, \alpha$ y $tg \, \alpha$ .
Sabiendo que $tg \, \alpha = 2.83$ , calcular $sen \, \alpha$ y $cos \, \alpha$ .

Solución:

Hay que usar las relaciones fundamentales de la trigonometría para despejar la razón trigonométrica desconocida:

1. $sen \, \alpha = 0.51 \, , \ tg \, \alpha=0.59$

2. $sen \, \alpha = 0.93 \, , \ cos \, \alpha=0.33$

Razones trigonométricas de algunos ángulos importantes

Razones trigonométricas de ángulos complementarios

Sea $\alpha \;$ un ángulo y $90^\circ-\alpha \;$ su complementario.

Se cumple que:

$sen \, (90^\circ-\alpha)=cos \, \alpha$

$cos \, (90^\circ-\alpha)= sen \, \alpha$

$tg \, (90^\circ-\alpha)=cot \, \alpha$

Razones trigonométricas de ángulos complementarios

Tutorial 1 (7´45") Sinopsis:

Relación entre el coseno, el seno y la tangente de ángulos complementarios.

Tutorial 2 (6´00") Sinopsis:

Relación entre el coseno y el seno de ángulos complementarios.

Tutorial 3 (4´54") Sinopsis:

Razones trigonométricas de ángulos complementarios:

Dos ángulos agudos se dicen complementarios si suman 90º.
El seno de un ángulo agudo coincide con el coseno de su complementario.
La tangente de un ángulo agudo coincide con la cotangente de su complementario.
La secante de un ángulo agudo coincide con la cosecante de su complementario.

Ejercicio (5´41") Sinopsis:

Halla $sen\,32^\circ$ sabiendo que $cos\,58^\circ \approx 0.53$ .

Problema (6´17") Sinopsis:

El rio Nilo se ha desbordado y ha inundado sus alrededores, a excepción de la punta de la pirámide de Guiza. Se ha enviado una expedición para averiguar la altura que alcanzó el agua. Los exploradores midieron el borde inclinado de la pirámide que quedó fuera del agua resultando ser de 72 m. Ellos saben además que la longitud total del borde es de 180 m y que la altura de la pirámide es de 139 m. ¿Cuál es la altura del agua sobre el nivel del suelo, redondeada a dos decimales?

Actividades Descripción:

Razones trigonométricas de ángulos complementarios.

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Relaciones trigonométricas fundamentales

(Pág. 146)

1, 2, 3, 4, 5

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