Método de Gauss
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Método reducción de Gauss
El método de Gauss que se debe al matemático alemán Johann Carl Friedrich Gauss, es una generalización del método de reducción, que utilizamos para eliminar una incógnita en los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Consiste en la aplicación sucesiva del método de reducción, utilizando los criterios de equivalencia de sistemas, para transformar la matriz ampliada con los términos independientes ( 
) en una matriz triangular, de modo que cada fila (ecuación) tenga una incógnita menos que la inmediatamente anterior. Se obtiene así un sistema, que llamaremos escalonado, tal que la última ecuación tiene una única incógnita, la penúltima dos incógnitas, la antepenúltima tres incógnitas, ..., y la primera todas las incógnitas.
Las operaciones que podemos realizar en dicha matriz para transformar el sistema inicial en otro equivalente son las siguientes:
- Multiplicar o dividir una fila por un número real distinto de cero.
- Sumarle o restarle a una fila otra fila.
- Sumarle a una fila otra fila multiplicada por un número distinto de cero.
- Cambiar el orden de las filas.
- Cambiar el orden de las columnas que corresponden a las incógnitas del sistema, teniendo en cuenta los cambios realizados a la hora de escribir el nuevo sistema equivalente.
- Eliminar filas proporcionales o que sean combinación lineal de otras.
- Eliminar filas nulas (0 0 0 ... 0).
Ejemplo: Método de reducción de Gauss
- Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss:
La matriz ampliada del sistema de ecuaciones es:
Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos:
Si ahora intercambiamos la segunda y tercera filas, obtenemos
que es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones:
que es equivalente al inicial.
Solucionamos la tercera ocuacion para obtener 
:
En la primera y segunda ecuación, sustituimos por la solucion de la tercera ecuación (
), para obtener:
La segunda ecuación es ahora una ecuación con una sola incognita 
, que resolvemos para obtener:
Sustituimos la incógnita de la primera ecuación, por la solución obtenida en la segunda ecuación (
). Esto nos da una ecuación en 
:
que al resolverla termina de darnos la solución del sistema de ecuaciones inicial:
Video: Gauss, el príncipe de las matemáticas (22´)
Principios del siglo XIX. Un joven matemático acaba de resolver un problema de más de 2.000 años de antigüedad: la construcción con regla y compás del polígono regular de 17 lados. Esta va a ser una de las primeras anotaciones que hará en una vieja libreta de 19 páginas. Al final de su vida las anotaciones no llegarán a 50, pero sin duda esta libreta será el sueño de cualquier matemático del siglo XIX. Las aportaciones que en ella se reflejan contienen el suficiente material para mantener ocupados a todos los matemáticos del siglo.
Sin embargo la fama de este joven, Gauss le va a venir de los cielos. A finales de 1800 los astrónomos descubren un nuevo objeto celeste. No se trata de un cometa, bien podía ser el planeta buscado tantos años entre Marte y Júpiter. Por desgracia se le pierde la pista. Pero con las pocas observaciones realizadas, Gauss se pone a la tarea de deducir su órbita y señala el lugar del cielo hacia donde apuntar los telescopios un año más tarde. Y en efecto alli aparece Ceres.
Las increíbles aportaciones de Gauss no se limitan al mundo de las Matemáticas y de la Astronomía. Junto a Weber va a poner en marcha el primer telégrafo operativo unos años antes que el de Morse. En magnetismo también nos ha dejado su huella: el primer mapa magnético de la Tierra es obra suya. No es inmerecido el título de Príncipe de los Matemáticos, aunque reinó en casi todas las ciencias.Discusión de sistemas
Después de realizar las transformaciones que se consideren pertinentes, se obtendrá un sistema escalonado. Suponiendo que hubiésemos eliminado, si las hubiera, las filas nulas (0 0 0 ... 0), que corresponden a ecuaciones del tipo 0 = 0, el sistema equivalente tendría ahora k ecuaciones lineales con n incógnitas. Analizando el sistema resultante, podemos efectuar su discusión del siguiente modo:
Sistema incompatible (S.I.)
Si alguna de las ecuaciones es del tipo 0 = b (siendo b distinto de cero), el sistema es incompatible y no tiene solución.
Consideremos el siguiente sistema:
Operamos de la siguiente manera:
- Fila2:
- Fila3:
Ahora operamos con la última fila para terminar de triangular:
- Fila3:
que es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones:
que es equivalente al inicial.
El sistema es incompatible pués la tercera ecuación es absurda.
Sistema compatible determinado (S.C.D.)
Si no hay ecuaciones del tipo 0 = b, y además k = n, es decir, el número de ecuaciones del sistema equivalente es igual al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado y, por lo tanto, tiene una única solución.
Consideremos el siguiente sistema:
Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos:
Si ahora intercambiamos la segunda y tercera filas, obtenemos
que es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones:
que es equivalente al inicial.
Solucionamos la tercera ocuacion para obtener :
En la primera y segunda ecuación, sustituimos por la solucion de la tercera ecuación (), para obtener:
La segunda ecuación es ahora una ecuación con una sola incognita , que resolvemos para obtener:
Sustituimos la incógnita de la primera ecuación, por la solución obtenida en la segunda ecuación (). Esto nos da una ecuación en :
que al resolverla termina de darnos la solución del sistema de ecuaciones inicial:
Sistema compatible indeterminado (S.C.I.)
Si no hay ecuaciones del tipo 0 = b y k < n, es decir, el número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado y, en consecuencia, tiene infinitas soluciones. En este caso, tenemos que separar las incógnitas principales de las no principales. Pero, ¿cuáles son las incógnitas principales? Se puede dar el siguiente criterio: Si el sistema es escalonado y tiene k ecuaciones, las k primeras incógnitas serán las principales y las n - k restantes serán las no principales que pasaremos al segundo miembro como parámetros.
Consideremos el siguiente sistema:
Operamos de la siguiente manera:
- Fila1:
- Fila3:
Intercambiamos Fila 1 y Fila 2:
Ahora operamos con las dos últimas filas:
- Fila3:
que es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones:
que es equivalente al inicial.
La tercera ecuación se puede suprimir y de la segunda ecuación tenemos que 
.
Sustituyendo el valor en la primera ecuación, ésta queda:
y simplificada:
Así nuestro sistema es equivalente a otro con una sola ecuación y dos incógnitas, que por tanto tiene infinitas soluciones, que podemos expresar de la siguiente forma:
Se trata de un sistema compatrible indeterminado.
 Actividades Interactivas: Método de Gauss
1. Discusión y resolución de sistemas por el método de Gauss.
Actividad: La siguiente escena efectúa la discusión y resuelve, en los casos que proceda (sistema compatible determinado o indeterminado), cualquier sistema de ecuaciones lineales, utilizando el método de Gauss. El número máximo de ecuaciones y de incógnitas que puede tener el sistema es 5. |
