Regla de Ruffini (4ºESO Académicas)

De Wikipedia

(Diferencia entre revisiones)
Revisión de 16:41 14 ene 2009
Coordinador (Discusión | contribuciones)
(→División de un polinomio por (x-a). Regla de Ruffini)
← Ir a diferencia anterior		 Revisión de 17:44 14 ene 2009
Coordinador (Discusión | contribuciones)
(→División de un polinomio por (x-a). Regla de Ruffini)
Ir a siguiente diferencia →
Línea 83: Línea 83:
{{p}} {{p}}
===División de un polinomio por (x-a). Regla de Ruffini=== ===División de un polinomio por (x-a). Regla de Ruffini===
-{{Teorema|titulo=+{{Regla de Ruffini}}
-''Regla de Ruffini''+
-|enunciado=+
-La '''Regla de Ruffini''' nos permite dividir un polinomio entre un binomio de la forma <math>(x-r)\;</math>, siendo <math>r\;</math> un número entero.+
- +
-Debemos esta regla al matemático italiano [[Ruffini|Paolo Ruffini]],+
- +
-|demo=+
-Vamos a dividir el polinomio+
- +
-:<math>P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0</math>+
- +
-entre el binomio +
- +
-:<math>Q(x)=x-r\,\!</math>+
- +
-para obtener el cociente +
- +
-:<math>C(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_1x+b_0</math>+
- +
-y el resto <math>s\;</math>.+
- +
-1. Trazamos dos líneas a manera de ejes. Cogemos los coeficientes de <math>P(x)\;</math> y los escribimos ordenados. Entonces escribimos <math>r\;</math> en la parte inferior izquierda del eje, encima de la línea:+
- +
-<center><math>\begin{matrix}+
-~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 +
-\\+
-r~ | & & & & &+
-\\+
----&-----&-----&-----&-----&-----+
-\\+
-~~ \, | & & & & &+
-\\+
-~~ \, | & & & & &+
-\end{matrix}</math></center>+
- +
-2. Pasamos el coeficiente más pegado a la izquierda, <math>a_n\;</math>, justo debajo de la línea, para obtener el primero de los coeficientes <math>b_{n-1}\;</math>:+
- +
-<center><math>\begin{matrix}+
-~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 +
-\\+
-r~ | & & & & &+
-\\+
----&-----&-----&-----&-----&-----+
-\\+
-~~ \, | & a_n & & & & +
-\\+
-~~ \, | & =b_{n-1} & & & &+
-\end{matrix}</math></center>+
- +
-3. Multiplicamos el número más pegado a la derecha debajo de la línea por r\; y lo escribimos sobre la línea en la primera posición de la derecha:+
- +
-<center><math>\begin{matrix}+
-~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 +
-\\+
-r~ | & & b_{n-1} \ r & & &+
-\\+
----&-----&-----&-----&-----&-----+
-\\+
-~~ \, | & a_n & & & & +
-\\+
-~~ \, | & =b_{n-1} & & & &+
-\end{matrix}</math></center>+
- +
-4. Añadimos los dos valores que hemos puesto en la misma columna:+
- +
-<center><math>\begin{matrix}+
-~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 +
-\\+
-r~ | & & rb_{n-1} & & &+
-\\+
----&-----&------&-----&-----&-----+
-\\+
-~~ \, | & a_n & a_{n-1}+rb_{n-1} & & & +
-\\+
-~~ \, | & =b_{n-1} & =b_{n-2} & & &+
-\end{matrix}</math></center>+
- +
-5. Repetimos los pasos 3 y 4 hasta que no tengamos más números:+
- +
-<center><math>\begin{matrix}+
-~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 +
-\\+
-r~ | & & rb_{n-1} & \cdots & rb_1 & rb_0+
-\\+
----&-----&------&-----&-----&-----+
-\\+
-~~ \, | & a_n & a_{n-1}+rb_{n-1} & \cdots & a_1+rb_1 & a_0 +rb_0 +
-\\+
-~~ \, | & =b_{n-1} & =b_{n-2} & \cdots & =b_0 & =s+
-\end{matrix}</math></center>+
- +
- +
-Los valores <math>b_i\;</math> son los coeficientes del polinomio cociente <math>C(x)\;</math>, cuyo grado será un grado menor que el del dividendo <math>P(x)\;</math>. El resto será <math>s\;</math>.+
-}}+
-{{p}}+
-{{Ejemplo+
-|titulo=Ejemplo: ''Regla de Ruffini''+
-|enunciado=+
-:Divide los polinomios usando la regla de [[Ruffini]]:+
-::<math> P(x)=7x^4-5x^3-4x^2+6x-1\,\! </math> +
-::<math> Q(x)=x-2\,\! </math>+
-|sol=+
-{{Tabla50+
-|celda1=+
-<pre>+
- | 7 -5 -4 6 -1+
- | +
- 2| 14 18 28 68+
- --|-------------------+
- | 7 9 14 34 |67+
- |____+
-</pre>+
- +
-El resultado significa que:+
-*'''Cociente de la división:''' <math>C(x)=7x^3+9x^2+14x+34\,\!</math>+
-*'''Resto:''' <math>r=67\,\!</math>+
- +
-|celda2=+
-{{p}}+
-:'''Operaciones:'''+
-:* <math>2 \cdot 7=14\,\!</math>+
- +
-:* <math>-5+14=9\,\!</math>+
- +
-:* <math>2 \cdot 9 =18\,\!</math>+
- +
-:* <math>-4+18=14\,\!</math>+
- +
-:* <math>2\cdot 14=28\,\!</math>+
- +
-:* <math>6+28=34\,\!</math>+
- +
-:* <math>2 \cdot 34=68\,\!</math>+
- +
-:* <math>-1+68=67\,\!</math>+
- +
-}}+
-}}+
- +
[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Álgebra]] [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Álgebra]]

Revisión de 17:44 14 ene 2009

Menú:
Enlaces internos Para repasar Enlaces externos
Indice
Descartes
Manual Casio
Test de Álgebra WIRIS
Calculadora

Tabla de contenidos

Cociente de monomios

Entenderemos la división de monomios como una fracción que hay que simplificar, dividiendo los coeficientes y restando los exponentes de las potencias de la misma base.

\frac{ax^m} {bx^n}= \frac{a} {b} x^{m-n}

ejercicio

Ejemplos: Cociente de monomios

Calcula:
a) 4ax^4y^3 : 2x^2y \;\!
b) 6x^4y : 2ax^3 \;\!
Solución:
a) 4ax^4y^3 : 2x^2y = \cfrac {4ax^4y^3}{2x^2y}=2ax^2y^2
b) 6x^4y : 2ax^3 =\cfrac {6x^4y}{2ax^3}=\cfrac {3xy}{a}

División de polinomios

La división polinómica es, en ciertos aspectos, similar a la división numérica.

Dados dos polinomios P(x)\; (dividendo) y Q(x)\; (divisor) de modo que el grado de P(x)\; sea mayor o igual que el grado de Q(x)\; y el grado de Q(x)\; sea mayor o igual a cero, siempre podremos hallar dos polinomios C(x)\; (cociente) y R(x)\; (resto) tales que:

P(x) = Q(x) \cdot C(x)+ R(x) \,
dividendo = divisor × cociente + resto

que también podemos representar como:

\begin{matrix} P(x) \ | \ Q(x) \\ \qquad \quad |--- \, \\ R(x) \quad C(x) \end{matrix}


  • El grado de C(x) está determinado por la diferencia entre los grados de P(x) y Q(x), mientras que el grado de R(x) será, como máximo, un grado menor que Q(x).
  • Cuando el resto sea igual a cero diremos que el dividendo es divisible por el divisor, es decir, que la división es exacta.

ejercicio

Ejemplo: División de polinomios

Divide los siguientes polinomios:

P(x) = 3 \, x^{4} - 2 \, x^{3} + 4 \, x^{2} + 2 \, \, x - 3\;
Q(x) = x^{2} - 2 \, x - 1 \;
Solución:
\begin{matrix} 3x^{4} - 2x^3 + 4x^2 + 2x - 3 \quad | \quad x-2 \qquad \quad \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \quad \; \, \, \, |-------- \quad \\ -3x^4 + 6x^3 + 3x^2 \qquad \qquad \quad \quad 3x^{2} + 4x +15 \; \, \\ -------- \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \\ 4x^3 + 7x^2 + 2x -3 \qquad \qquad \quad \\ -4x^3 + 8x^2 + 4x \qquad \qquad \qquad \quad \; \, \\ ---------- \qquad \qquad \qquad \\ ~15x^2 + ~6x -~3 \quad \quad \; \, \\ -15x^2 + 30x + 15 \quad \quad \; \, \, \\ --------- \qquad \quad \\ \quad \ 36x+12 \end{matrix}

División de un polinomio por (x-a). Regla de Ruffini

ejercicio

Regla de Ruffini

La Regla de Ruffini es un procedimiento que nos permite dividir un polinomio entre un binomio de la forma (x-r)\;.

Debemos esta regla al matemático italiano Paolo Ruffini,

Demostración:

Procedimiento:

Vamos a dividir el polinomio

P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0

entre el binomio

Q(x)=x-r\,\!

para obtener el cociente

C(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_1x+b_0

y el resto s\;.

1. Trazamos dos líneas a manera de ejes. Cogemos los coeficientes de P(x)\; y los escribimos ordenados. Entonces escribimos r\; en la parte inferior izquierda del eje, encima de la línea:

\begin{matrix} ~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\ r~ | & & & & & \\ ---&-----&-----&-----&-----&----- \\ ~~ \, | & & & & & \\ ~~ \, | & & & & & \end{matrix}

2. Pasamos el coeficiente más pegado a la izquierda, a_n\;, justo debajo de la línea, para obtener el primero de los coeficientes b_{n-1}\;:

\begin{matrix} ~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\ r~ | & & & & & \\ ---&-----&-----&-----&-----&----- \\ ~~ \, | & a_n & & & & \\ ~~ \, | & =b_{n-1} & & & & \end{matrix}

3. Multiplicamos el número más pegado a la derecha debajo de la línea por r\; y lo escribimos sobre la línea en la primera posición de la derecha:

\begin{matrix} ~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\ r~ | & & b_{n-1} \ r & & & \\ ---&-----&-----&-----&-----&----- \\ ~~ \, | & a_n & & & & \\ ~~ \, | & =b_{n-1} & & & & \end{matrix}

4. Añadimos los dos valores que hemos puesto en la misma columna:

\begin{matrix} ~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\ r~ | & & rb_{n-1} & & & \\ ---&-----&------&-----&-----&----- \\ ~~ \, | & a_n & a_{n-1}+rb_{n-1} & & & \\ ~~ \, | & =b_{n-1} & =b_{n-2} & & & \end{matrix}

5. Repetimos los pasos 3 y 4 hasta que no tengamos más números:

\begin{matrix} ~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\ r~ | & & rb_{n-1} & \cdots & rb_1 & rb_0 \\ ---&-----&------&-----&-----&----- \\ ~~ \, | & a_n & a_{n-1}+rb_{n-1} & \cdots & a_1+rb_1 & a_0 +rb_0 \\ ~~ \, | & =b_{n-1} & =b_{n-2} & \cdots & =b_0 & =s \end{matrix}


Los valores b_i\; son los coeficientes del polinomio cociente C(x)\;, cuyo grado será un grado menor que el del dividendo P(x)\;. El resto será s\;.

ejercicio

Ejemplo: Regla de Ruffini

Divide los polinomios usando la regla de Ruffini:

P(x)=7x^4-5x^3-4x^2+6x-1\,\!
Q(x)=x-2\,\!
Solución:
   | 7  -5  -4   6  -1
   |                   
  2|    14  18  28  68
 --|-------------------
   | 7   9  14  34 |67
                   |____

El resultado significa que:

  • Cociente de la división: C(x)=7x^3+9x^2+14x+34\,\!
  • Resto: r=67\,\!

Operaciones:
  • 2 \cdot 7=14\,\!
  • -5+14=9\,\!
  • 2 \cdot 9 =18\,\!
  • -4+18=14\,\!
  • 2\cdot 14=28\,\!
  • 6+28=34\,\!
  • 2 \cdot 34=68\,\!
  • -1+68=67\,\!

video
Regla de Ruffini
Tutorial 1 (5´53")     Sinopsis:

Regla de Ruffini. Ejemplos.

Tutorial 2 (8'48")     Sinopsis:

Regla de Ruffini: Método rápido para realizar divisiones de polinomios entre binomios del tipo (x - a). Ejemplos.

Tutorial 3 (13´16")     Sinopsis:

La regla de Ruffini nos permite determinar supersónicamente el cociente y el resto de la división entre un polinomio P(x) y el polinomio Q(x) = x - a.

Tutorial 4 (10´38")     Sinopsis:

Cómo se aplica la Regla de Ruffini.

Tutorial 5 (5´26")     Sinopsis:

División de polinomios por el método de Ruffini para divisores del tipo (x-a).

Ejercicio 1 (5'14")     Sinopsis:

Ejemplo de división de polinomios usando la regla de Ruffini.

Ejercicio 2 (17'39")     Sinopsis:

2 ejemplos de división de polinomios usando la regla de Ruffini.

Ejercicio 3 (7´07)     Sinopsis:

2 ejemplos de división mediante la regla de Ruffini

Ejercicio 4 (6´57")     Sinopsis:

Otros 2 ejemplos de aplicación de la regla de Ruffini

Ejercicio 5 (6'50")     Sinopsis:

Divide 4x^4-5x^2-3x+11\; entre x-2\;.

Ejercicio 6 (12´03)     Sinopsis:

a) Divide -ax^3+a^3x-1\; entre x-a\;

b) Divide 6x^{40}-42x^{30}+8x^{20}-56x^{10}+57\; entre x^{10}-7\;

Ejercicio 7 (14´17")     Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios utilizando la regla de Ruffini:

1a) (x^3-6x^2-5x+2):(x-1)\;
1b) (x^5+x^4+x^3+x+1):(x+1)\;
1c) (x^6+2x^5-3x^4+x-8):(x-3)\;
1d) (x^5-3x^4-2x^3+x^2-x+1):(x-8)\;
1e) (x^3+5x^2+x-1):(x-2)\;
1f) (x^3+x^2-x-2):(x-1)\;
Ejercicio 8 (13´24")     Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios utilizando la regla de Ruffini:

1g) (4x^2-6x-4):(x-2)\;
1h) (x^3-6x^2-3x+1):(x-1)\;
1i) (x^3+5x-1):(x+3)\;
1j) (x^4-1):(x+1)\;
1k) (x^7-x^6-3x^4+16x^3+47x+3x^5-30x^2-24):(x-1)\;
1l) (x^4-2x^3+x^2+x-1):(x-1)\;
Ejercicio 9 (10´40")     Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios utilizando la regla de Ruffini:

2a) (x^5-32):(x+2)\;
2b) (x^5-32):(x-2)\;
2c) (x^4-16):(x+2)\;
2d) (x^3-8):(x-2)\;
2e) (x^3-8):(x+2)\;
Ejercicio 10 (9´14")     Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios utilizando la regla de Ruffini:

2f) (x^3+8):(x-2)\;
2g) (x^3+8):(x+2)\;
2h) (x^3-27):(x-3)\;
2i) (x^3-27):(x+3)\;
2j) (x^4+1):(x+1)\;
Ejercicio 11 (4´13")     Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios utilizando la regla de Ruffini:

a) (-3x^4+6x^2-x+2):(x+3)\;
b) (x^3+4x^2+x-6):(x-1)\;
c) (-x^3+5):(x+2)\;

Autoevaluación: Regla de Ruffini     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre la regla de Ruffini.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Regla_de_Ruffini_%284%C2%BAESO_Acad%C3%A9micas%29"
Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda