Número áureo

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==El número áureo== ==El número áureo==
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El '''número áureo''', es el primer [[Números irracionales|número irracional]] del que se tuvo conciencia de que lo era. Su valor es: El '''número áureo''', es el primer [[Números irracionales|número irracional]] del que se tuvo conciencia de que lo era. Su valor es:
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==Rectángulo áureo== ==Rectángulo áureo==
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===Construcción del rectángulo áureo=== ===Construcción del rectángulo áureo===
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# Ese punto obtenido determina la base del rectángulo áureo con altura igual al lado del cuadrado. # Ese punto obtenido determina la base del rectángulo áureo con altura igual al lado del cuadrado.
|demo= Si te fijas en la Fig. 3, basta con demostrar que el segmento que se obtiene en el paso 2 mide <math>\cfrac{\sqrt{5}}{2}</math>, para lo cual basta con usar el teorema de Pitágoras. |demo= Si te fijas en la Fig. 3, basta con demostrar que el segmento que se obtiene en el paso 2 mide <math>\cfrac{\sqrt{5}}{2}</math>, para lo cual basta con usar el teorema de Pitágoras.
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 +<center><math>\cfrac{d}{l}= \phi</math></center>
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 +*Los triángulos ABF y EBD son semejantes ya que tienen sus ángulos iguales. Para comprobarlo basta aplicar la propiedad que dice que los ángulos inscritos en una circunferencia que abarcan el mismo arco son iguales.
 +*Por ser semejantes los triángulos ABF y EBD, sus lados son proporcionales:
 +{{p}}
 +<center><math>\cfrac{l}{d}=\cfrac{d-l}{l} \ \rightarrow \ \cfrac{l}{d}=\cfrac{d}{l}-1 \ \rightarrow \ \cfrac{1}{{d \over l}}=\cfrac{d}{l}-1</math></center>
 +{{p}}
 +Haciendo el cambio de variable <math>x= \cfrac{d}{l}</math>:
 +
 +<center><math>\cfrac{1}{x}=x+1 \ \rightarrow \ x^2-x-1=0 \ \rightarrow \ x=\frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \phi</math></center>
 +{{p}}
 +c.q.d.
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{{p}} {{p}}

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Tabla de contenidos

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El número áureo

El número áureo, es el primer número irracional del que se tuvo conciencia de que lo era. Su valor es:

\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803398874988...

Es representado por la letra griega phi φ (en minúscula) o Φ (en mayúscula) en honor al escultor griego Fidias.

También se le conoce como número de oro, razón áurea o divina proporción (por la obra de Luca Pacioli, De Divina Proportione, escrito entre 1496 y 1498).

ejercicio

Proposición 1

Si dividimos un segmento en dos partes a y b, de manera que la longitud total, a+b, es al segmento más largo a, como a es al segmento más corto b, entonces la razón de dicha proporción es el número áureo.
\cfrac{a+b}{a} = \cfrac{a}{b} = \phi
Fig.1 El número áureo surge de la división en dos de un segmento guardando las siguientes proporciones: La longitud total a+b es al segmento más largo a, como a es al segmento más corto b.
Aumentar
Fig.1 El número áureo surge de la división en dos de un segmento guardando las siguientes proporciones: La longitud total a+b es al segmento más largo a, como a es al segmento más corto b.

Rectángulo áureo

El rectángulo áureo (o rectángulo dorado) es un rectángulo que posee una proporcionalidad entre sus lados igual al número áureo.

Los griegos consideraban que un rectángulo de tales características era especialmente armonioso. Esta proporción de medidas se ha utilizado con mucha frecuencia en el arte.

ejercicio

Proposición 2

Si en un rectángulo áureo substraemos la imagen de un cuadrado igual al de su lado menor, el rectángulo resultante es también un rectángulo áureo.
Fig.2 Si en un rectángulo áureo substraemos la imagen de un cuadrado igual al de su lado menor, el rectángulo resultante es también un rectángulo áureo.
Aumentar
Fig.2 Si en un rectángulo áureo substraemos la imagen de un cuadrado igual al de su lado menor, el rectángulo resultante es también un rectángulo áureo.

Construcción del rectángulo áureo

ejercicio

Construcción del rectángulo áureo con regla y compás

En la matemática clásica, Euclides construye el rectángulo áureo con regla y compás, siguiendo los siguientes pasos:
  1. Se construye un cuadrado de lado unidad (de rojo, en la Fig. 3).
  2. Se traza una segmento desde la mitad del lado del cuadrado hasta una de sus esquinas.
  3. Empleando ese segmento como radio, se coloca la punta del compás en la mitad del cuadrado y se abate hasta cortar en la prolongación de la base del cuadrado.
  4. Ese punto obtenido determina la base del rectángulo áureo con altura igual al lado del cuadrado.

Fig.3 Construcción del rectángulo áureo con regla y compás .
Aumentar
Fig.3 Construcción del rectángulo áureo con regla y compás .

El número áureo en el péntágono estrellado

ejercicio

El número áureo en el péntágono estrellado

La razón entre la diagonal del del péntagono regular y su lado es igual al número áureo. (Ver Fig.4 )


\cfrac{d}{l}= \phi

Fig.4 Petágono estrellado.
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Fig.4 Petágono estrellado.

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