Números complejos: Definición (1ºBach)
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| ===Potencias de la unidad imaginaria=== | ===Potencias de la unidad imaginaria=== | ||
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| Indice Descartes Manual Casio | WIRIS Geogebra Calculadoras |
Tabla de contenidos |
Necesidad de ampliación del campo numérico
Hay ecuaciones como
que no tienen solución en el conjunto de los números reales
(no existe en 
)Vamos a definir un nuevo conjunto que amplie al conjunto de los números reales y en el cual estas ecuaciones si tengan solución. Ese conjunto va a ser el conjunto de los números complejos. Para ello habrá que a empezar dando sentido a las raíces de números negativos.
Breve resumen de la historia de tu relación con los números (4´18") Sinopsis:Primero aprendiste a "contar" como un autómata, a modo de mantra: uno, dos, tres, .... Aprendiste a distinguir los correspondientes "símbolos": 1, 2, 3, .... Después llegó el mágico "cero" con su símbolo 0, y con él los números negativos: -1, -2. -3, .... A continuación llegaron las fracciones (y con ellas los números racionales: enteros, decimales exactos y decimales periódicos) y los números irracionales (tienen infinitos decimales y no son periódicos). Por último, llegaron los números reales (unión de los racionales y los irracionales).
Unidad imaginaria
| Desde Al-Jwarizmi (800 DC), precursor del Álgebra, que sólo obtenía las soluciones positivas de las ecuaciones, pasaron más de ocho siglos, hasta que finalmente Descartes en 1637 puso nombre a las raíces cuadradas de números negativos, numeros imaginarios, y dedujo que las soluciones no reales de las ecuaciones eran números complejos. Durante todo ese tiempo se manejaron esas soluciones sin definirlas claramente, aunque Girard, en 1629, afirmaba ya que una ecuación polinómica de grado n tenía n soluciones.
Se denomina unidad imaginaria a  Con esta definición, la ecuación anterior ahora si tiene solución "imaginaria": 
 |
. Se designa por la letra 
Potencias de la unidad imaginaria
Potencias de i
A partir de 
se repiten cíclicamente los valores.
(Al hacer la división entera: 
).
El conjunto de los números complejos
Definimos el conjunto de los números complejos de la siguiente manera:
Forma binómica de un número complejo
- La expresión
se denomina forma binómica de un número complejo. En ella, a 
se le llama parte real y a 
parte imaginaria. Si escribimos 
, entonces se dice que 
y 
- Si
, lo que tenemos es un número real, por tanto 
.
- Si
, lo que tenemos no es un número real, es un número imaginario.
- Si
y , se le llama número imaginario puro.
- Dos números complejos en forma binómica son iguales si tienen iguales sus partes reeales y sus partes imaginarias.
Opuesto y conjugado de un complejo
- Se define el opuesto de un complejo como el número complejo
.
- Se define el conjugado de un complejo como el número complejo
.
Proposición
- Cualquier ecuación de segundo grado con coeficientes reales que no tenga solución real tiene dos soluciones imaginarias que son números complejos conjugados
Veámoslo con un ejemplo:
La unidad imaginaria. Números imaginarios puros. Números complejos (10´20") Sinopsis:Videotutorial.
 Ejercicios: Números complejos 7 ejercicios (8´06") Sinopsis:Videotutorial. |
Representación gráfica de los números complejos
Para representar los números reales utilizabamos una recta, la recta real. Para representar los números complejos vamos a utilizar un plano, el plano complejo. ¿Por qué?. Muy simple, un número complejo en forma binómica queda determinado por un par de números reales: su parte real, y su parte imaginaria, . De esta manera, el par  representa las coordenadas de un punto del plano. Diremos que es el afijo del número complejo .
Ahora, al eje X, lo llamaremos eje real, y al eje Y, eje imaginario. También podemos representar al número complejo mediante un vector de origen | 
|
y extremo El plano complejo (3´50") Sinopsis:Videotutorial.
Ejercicios: El plano complejo 2 ejercicios (8´00") Sinopsis:{{{sinopsis}}} |
 Actividad interactiva: Representación gráfica de números complejos
Actividad: Los números complejos se representan mediante vectores. Al extremo del vector se le llama afijo del complejo. Por ejemplo, el afijo del número complejo En el eje horizontal representamos la parte real del número complejo, por eso se le llama eje real . En el eje vertical representamos la parte imaginaria del número complejo, por eso se le llama eje imaginario. Mueve con el ratón el afijo del número complejo de esta escena y podrás ver su representación gráfica por un vector. Si quieres representar un número complejo de forma más exacta, puedes introducir las coordenadas del punto pulsando con el botón derecho sobre él y eligiendo "propiedades" en el menú. Para ver el conjugado y el opuesto marca la casilla correspondiente.
Actividad: En esta escena puedes ver  , y su representación gráfica.
Cambia el valor de n en la parte inferior para ver las sucesivas potencias de |
es el punto 
.
Video: Fractales... la geometría del caos (18´)
El ordenador los ha puesto de moda. Y sin embargo ya eran conocidos a principios de siglo. Nos referimos a los fractales. Son los objetos matemáticos más atractivos, espectaculares y enigmáticos. A medio camino entre la linea y el plano, entre el plano y el espacio, rompen hasta con el concepto clásico de dimensión. Sus dimensiones no son números enteros, de ahí su extraño nombre. Y sin embargo se pueden obtener mediante simples iteracciones, es decir, repitiendo indefinidamente procedimientos geométricos o funcionales muy simples. Han dado origen a una nueva geometría: la geometría fractal. Una nueva herramienta matemática capaz de arrojar un poco de luz sobre los fenómenos caóticos y de mostrarnos que incluso en el caos es posible encontrar un determinado orden.
Algunos fractales son representados en el plano complejo, como los conjuntos de Mandelbrot y de Julia.
