Números complejos: Definición (1ºBach)
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- | *La expresión <math>a+bi\,</math> se denomina '''forma binómica''' de un número complejo. En ella, a <math>a\,</math> se le llama '''parte real''' y a <math>b\,</math> '''parte imaginaria'''. Si escribimos <math>z=a+bi\,</math>, entonces se dice que <math>Re(z)=a\,</math> y <math>Im(z)=b\,</math> | + | *La expresión <math>a+bi\,</math> se denomina '''forma binómica''' de un número complejo. |
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+ | *'''Igualdad:''' Dos números complejos en forma binómica decimos que son '''iguales''' si tienen iguales sus partes reales y sus partes imaginarias. | ||
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*Si <math>b=0\,</math>, lo que tenemos es un número real, por tanto <math>\mathbb{R} \sub \mathbb{C}</math>. | *Si <math>b=0\,</math>, lo que tenemos es un número real, por tanto <math>\mathbb{R} \sub \mathbb{C}</math>. | ||
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*Si <math>b \ne 0\,</math>, lo que tenemos no es un número real, es un número '''imaginario'''. | *Si <math>b \ne 0\,</math>, lo que tenemos no es un número real, es un número '''imaginario'''. | ||
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*Si <math>a=0\,</math> y <math>b \ne 0\,</math>, se le llama número '''imaginario puro'''. | *Si <math>a=0\,</math> y <math>b \ne 0\,</math>, se le llama número '''imaginario puro'''. | ||
- | *Dos números complejos en forma binómica decimos que son '''iguales''' si tienen iguales sus partes reales y sus partes imaginarias. | + | |
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Tabla de contenidos[esconder] |
Necesidad de ampliación del campo numérico
Hay ecuaciones como

que no tienen solución en el conjunto de los números reales


Vamos a definir un nuevo conjunto que amplie al conjunto de los números reales y en el cual estas ecuaciones si tengan solución. Ese conjunto va a ser el conjunto de los números complejos. Para ello habrá que a empezar dando sentido a las raíces de números negativos.
Unidad imaginaria
Desde Al-Jwarizmi (800 DC), precursor del Álgebra, que sólo obtenía las soluciones positivas de las ecuaciones, pasaron más de ocho siglos, hasta que finalmente Descartes en 1637 puso nombre a las raíces cuadradas de números negativos, numeros imaginarios. En 1572, Raffaelle Bombelli, un matemático e ingeniero italiano, las inventó e hizo uso de ellas en sus cálculos en la resolución de ecuaciones. Leibniz decía de los números imaginarios que eran "una especie de anfibios entre el ser y la nada".
Se denomina unidad imaginaria a
El nombre de i le fue dado por Euler en 1777, por imaginario. Y llamó imaginarios a todos los números en cuya expresión aparecía la i. Con esta definición, la ecuación anterior ahora si tiene solución "imaginaria": ![]()
![]() |
Potencias de la unidad imaginaria
El conjunto de los números complejos
Definimos el conjunto de los números complejos de la siguiente manera:

Forma binómica de un número complejo
- La expresión
se denomina forma binómica de un número complejo.
- Si escribimos
, entonces:
se le llama parte real o componente real y se denota
.
se llama parte imaginaria o componente imaginaria y se denota
..
- Igualdad: Dos números complejos en forma binómica decimos que son iguales si tienen iguales sus partes reales y sus partes imaginarias.
- Si
, lo que tenemos es un número real, por tanto
.
- Si
, lo que tenemos no es un número real, es un número imaginario.
- Si
y
, se le llama número imaginario puro.

Opuesto y conjugado de un complejo
- Se define el opuesto de un complejo
como el número complejo
.
- Se define el conjugado de un complejo
como el número complejo
.
Proposición
- Cualquier ecuación de segundo grado con coeficientes reales que no tenga solución real tiene dos soluciones imaginarias que son números complejos conjugados
Ejercicios: Números complejos |
Representación gráfica de los números complejos
Ejercicios: El plano complejo |
Actividad interactiva: Representación gráfica de números complejos
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