Paralelismo y perpendicularidad en el plano (1ºBach)
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*Para la segunda afirmación, recordemos que la pendiente de una recta coincide con la tangente del ángulo que forma con el eje de abscisas, por tanto, si dos rectas tienen la misma pendiente, las tangentes de los ángulos que forman, serán iguales. Ahora, si las tangentes de dos ángulos son iguales, los ángulos o son iguales o difieren en 180º. En ambos casos las rectas tienen la misma inclinación. | *Para la segunda afirmación, recordemos que la pendiente de una recta coincide con la tangente del ángulo que forma con el eje de abscisas, por tanto, si dos rectas tienen la misma pendiente, las tangentes de los ángulos que forman, serán iguales. Ahora, si las tangentes de dos ángulos son iguales, los ángulos o son iguales o difieren en 180º. En ambos casos las rectas tienen la misma inclinación. |
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Paralelismo
He aquí dos criterios para determinar si dos rectas son paralelas:
Dos rectas son paralelas si tienen la misma dirección.
Proposición
- Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son proporcionales.
- Dos rectas son paralelas si sus pendientes coinciden.
- La primera afirmación es inmediata ya que dos rectas son paralelas si tienen la misma dirección y sabemos que dos vectores tiene la misma dirección si son proporcionales.
- Para la segunda afirmación, recordemos que la pendiente de una recta coincide con la tangente del ángulo que forma con el eje de abscisas, por tanto, si dos rectas tienen la misma pendiente, las tangentes de los ángulos que forman, serán iguales. Ahora, si las tangentes de dos ángulos son iguales, los ángulos o son iguales o difieren en 180º. En ambos casos las rectas tienen la misma inclinación.
Perpendicularidad
He aquí dos criterios para determinar si dos rectas son perpendiculares:
Dos rectas son perpendiculares si sus vectores de dirección son ortogonales.
Proposición
- Dos rectas son perpendiculares si el producto escalar de sus vectores de dirección es cero.
![\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = 0](/wikipedia/images/math/4/0/8/4089243cf551cebb9912caf6a10c76b8.png)
- Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes,
y
, cumplen que:
.
- La primera afirmación es inmediata ya que dos rectas son perpendiculares si sus vectores de dirección son ortogonales y esto ocurre cuando el producto escalar de ambos es cero.
- Para la segunda afirmación: Dada una recta
, sabemos que
es la pendiente de esa recta y que
es su vector de dirección.
Sea , otra recta, con
su pendiente, y
su vector de dirección.
Supongamos que . Sustituyendo:
Traduciendo ésto a coordenadas:
Proposición
Dos rectas con vectores de dirección y
son perpendiculares.
Es inmediato a partir de lo dicho antes ya que el producto escalar de estos dos vectores es cero.
Actividad interactiva: Paralelismo y perpendicularidad Actividad 1: En la siguiente escena nos dan las ecuacionés paramétricas de tres rectas que son paralelas o perpendiculares entre sí. Actividad: Las ecuaciones de las rectas que aparecen en la siguiente escena son:
Observa cómo son los vectores de dirección:
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Ejercicios resueltos: Paralelismo y perpendicularidad
Dada la recta r: 3x - 7y + 10 = 0, halla:
- a) Las ecuaciones paramétricas de la perpendicular a r que pase por P(2,-4).
- b) La ecuación explícita de la paralela a r que pase por el origen.
a)
![y=\cfrac{3}{7} x](/wikipedia/images/math/8/5/d/85d1faeb96aae3e4fee67f357cf2b6da.png)
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Paralelismo y perpendicularidad |