Plantilla:Dominio e imagen de una función (Bachiller)

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Revisión de 12:35 9 dic 2016

Tabla de contenidos

1 Dominio e imagen de una función
2 Ejercicios propuestos

Dominio e imagen de una función

Al conjunto de los valores que puede tomar la variable independiente $x\;$ , se le llama dominio de definición de la función. Lo representaremos por $D_f\;$ ó $Dom_f\;$
La imagen, rango o recorrido de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente $y\;$ . Lo representaremos por $Im_f\;$ o $R_f\;$ .

Dominio e imagen Descripción:

En esta escena podrás visualizar el dominio y la imagen de una función. Podrás elegir entre un tramo de recta (función lineal) o de parábola (función cuadrática).

Dominio de definición de una función (8'51") Sinopsis:

El "dominio de definición" de la función "f" se denota Dom_f, y es el conjunto que forman los números reales "x" que tienen imagen segun "f"; o sea, los "x" tales que al calcular "f(x)" no se viola ninguna Regla Sagrada. A la hora de representar la gráfica de "f" lo primero SIEMPRE es determinar Dom_f, pues así sabremos en qué puntos del eje de abcisas hay curva y en qué puntos no la hay.

Razones para restringir el dominio de una función

Imposibilidad de realizar alguna operación con ciertos valores de $x\;$ (Por ejemplo: denominadores que se anulan, radicandos que toman valores negativos, logaritmos de valores no positivos)
Contexto en el que se estudia la función (Por ejemplo, una función que relaciona lado y área de una figura plana, no puede tomar valores negativos)
Por voluntad de quien propone la función.

Ejemplo: Dominio de definición de una función

Halla el dominio de las funciones:

a) $y=x-3 \ , \quad x \in [-1,1]\;\!$

b) $y=\cfrac{1}{x-1}$

c) $y=\sqrt{x}$

d) $y=ln\, (x^2-4)\;$

e) $A=l^2\;$ (Área de un cuadrado de lado $l\;$ )

Solución:

a) Su dominio es $[-1,1]\;\!$ , por voluntad del que ha definido la función, ya que, en principio, cualquier valor de $x\;$ da un valor de $y\;$ válido.

b) Su dominio es $\mathbb{R}- \left \{ 1 \right \}$ , porque el denominador no puede tomar el valor cero, ya que imposibilitaría hacer la división.

c) Su dominio es $\mathbb{R^+}$ , porque el radicando no puede ser negativo para poder hallar la raíz.

d) Su dominio es $(-2,2)\;$ , porque el logaritmo de un número sólo existe si éste es positivo. Al resolver la inecuación $x^2-4>0\;$ resulta que $x \in (-2,2)$ .

d) Su dominio es $(0, + \infty)$ , porque el lado de un cuadrado sólo puede tomar valores positivos

Reglas fundamentales

En el estudio de una función (dominio, límites, continuidad, etc.) hay una serie de "reglas sagradas" que hay que tener muy presentes:

Prohibido dividir por cero.
Toda raíz de índice par de un número negativo no es un número real.
El logaritmo (en cualquier base) de un número no positivo no es un número real.

Reglas "Sagradas" del Cálculo (3'43") Sinopsis:

Hay ciertas reglas en matemáticas que no se pueden violar. Estas reglas afectan a la hora de determinar el dominio de una función. Aquí las vamos a recordar:

Prohibido dividir por cero.
Toda raíz de índice par de un número negativo no es un número real.
El logaritmo (en cualquier base) de un número no positivo no es un número real.

AVISO: será inmisericordemente suspendido ipso facto todo el que viole una Regla Sagrada; caerán sobre él toneladas de desprestigio y deshonor, y el estigma de tan ignominioso acto apestará la honra de su linaje por los siglos de los siglos.

De las funciones y de las serpientes (9'01") Sinopsis:

Hay funciones que a la hora de trabajar con ellas no presentan ningún problema; otras sin embargo son realmente peligrosas.

En relación a los tres conceptos fundamentales del Cálculo (límite, continuidad y derivada de una función "f" en un punto "c"), y debido a las posibles violaciones de las tres Reglas Sagradas, las funciones son como las serpientes: las hay inofensivas y las hay peligrosas. Por eso, al trabajar con una función "f" en el punto "c", lo primero es invertir un par de segundos en analizar si "f" es o no peligrosa en "c". Naturalmente, si es peligrosa, pondremos todos nuestros sentidos en estado de máxima concentración y alerta, para así intentar evitar que nos mande al otro barrio.

9 ejemplos de "serpientes" peligrosas... o no (14'53") Sinopsis:

En este vídeo vemos ejemplos en los que analizamos la peligrosidad de trabajar (límite, continuidad, derivada) con una cierta función "f" en un cierto punto "c".

Todo se reduce a analizar si en "c" se viola alguna Regla Sagrada; a saber:

Prohibido dividir por cero.
Toda raíz de índice par de un número negativo no es un número real.
El logaritmo (en cualquier base) de un número no positivo no es un número real.

Signo de una función

El estudio del signo de una función va a ser útil en la representación gráfica de funciones y en el estudio del dominio de funciones.

Signo de una función (8'52") Sinopsis:

A la hora de representar la gráfica de la función "f", el estudio del signo del número real f(x) nos permite conocer la posición de la gráfica respecto al eje de abcisas.

La gráfica está por encima del eje de abcisas en los puntos "x" tales que f(x) es positivo.
La gráfica está por debajo del eje de abcisas en los puntos "x" tales que f(x) es negativo.
La gráfica toca al eje de abcisas en los puntos "x" tales que f(x) = 0.

El estudio del signo de una función también es útil cuando queremos determinar el dominio de una función.

Signo de una función (2 ejercicios) (5'45") Sinopsis:

2 ejercicios sobre el estudio del signo de una función

Signo de una función (4 ejercicios) (5'45") Sinopsis:

4 ejercicios sobre el estudio del signo de una función

Cálculo del dominio de una función

Ejemplos: Dominio de definición de una función

1. Ejemplos (9'14") Sinopsis:

15 ejemplos.

2. Ejemplos (11'08") Sinopsis:

16 ejemplos.

3. Ejemplos (9'24") Sinopsis:

10 ejemplos.

4. Ejemplos (11'24") Sinopsis:

11 ejemplos.

5. Ejemplos (13'01") Sinopsis:

7 ejemplos.

6. Ejemplos (10'41") Sinopsis:

8 ejemplos.

7. Ejemplos (8'07") Sinopsis:

4 ejemplos.

8. Ejemplos (14'26") Sinopsis:

6 ejemplos.

9. Ejemplos (9'33") Sinopsis:

7 ejemplos.

10. Ejemplos (10'03") Sinopsis:

7 ejemplos.

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Concepto de función y de dominio de una función

(Pág. 249)

1, 2

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Categorías: Matemáticas | Geometría

 ::c) <math>y=\sqrt{x}</math>
-::d) <math>A=l^2\;</math> (Área de un cuadrado de lado <math>l\;</math>)
+::d) <math>y=ln\, (x^2-4)\;</math>
+::e) <math>A=l^2\;</math> (Área de un cuadrado de lado <math>l\;</math>)
 |sol=
 :a) Su dominio es <math>[-1,1]\;\!</math>, por voluntad del que ha definido la función, ya que, en principio, cualquier valor de <math>x\;</math> da un valor de <math>y\;</math> válido.
 :c) Su dominio es <math>\mathbb{R^+}</math>, porque el radicando no puede ser negativo para poder hallar la raíz.
+:d) Su dominio es <math>(-2,2)\;</math>, porque el logaritmo de un número sólo existe si éste es positivo. Al resolver la inecuación <math>x^2-4>0\;</math> resulta que <math>x \in (-2,2)</math>.
 :d) Su dominio es <math>(0, + \infty)</math>, porque el lado de un cuadrado sólo puede tomar valores positivos

Plantilla:Dominio e imagen de una función (Bachiller)

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Tabla de contenidos

Dominio e imagen de una función

Razones para restringir el dominio de una función

Reglas fundamentales

Signo de una función

Cálculo del dominio de una función

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