Familias de funciones elementales (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Funciones algebraicas y trascendentes
2 Funciones lineales
3 Funciones cuadráticas
4 Funciones irracionales
5 Funciones de proporcionalidad inversa
6 Funciones exponenciales
- 6.1 Propiedades
7 Funciones logarítmicas
- 7.1 Propiedades
8 Funciones trigonométricas

Funciones algebraicas y trascendentes

Las funciones algebraicas son aquellas en las que las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.
Las funciones trascendentes son aquellas que no son algebraicas.

Funciones algebraicas y trascendentes (8'51") Sinopsis:

La función "f" se dice "algebraica" si las operaciones que deben realizarse para determinar el número real "f(x)" son las llamadas algebraicas: suma, resta, multiplicación, división, potenciación de exponente constante y radicación de ínidice constante. Si "f" no es algebraica, se dice "trascendente".

Funciones lineales

Las funciones lineales son aquellas que pueden describirse de la forma

$\ y = mx+n$

El número real $m\;$ recibe el nombre de pendiente.
El número real $n\;$ recibe el nombre de ordenada en el origen.

Si $n=0\;$ se llama función de proporcionalidad directa.
Si $n \ne 0\;$ se llama función afín.

Su gráfica es una recta.

La función lineal Descripción:

Representación de la familia de funciones lineales.

Ejemplos:

Utilidad de las funciones lineales

Función lineal

Propiedades

La pendiente, $m\,$ , describe el crecimiento de la función $y=mx+n\,$ :

Si $m>0\,$ , la función es creciente.
Si $m<0\,$ la función es decreciente.
Si $m=0\,$ la función es constante (recta horizontal).

Además, cuanto mayor es su pendiente (en valor absoluto), más inclinada es su gráfica.

Significado del signo de la pendiente (4'44") Sinopsis:

Pendiente de una recta. Significado del signo de la pendiente.

La pendiente y el crecimiento Descripción:

En esta escena podrás ver como afecta el signo de la pendiente al crecimiento de la función lineal.

Funciones cuadráticas

Una función cuadrática es aquella cuya expresión analítica puede escribirse como una ecuación polinómica de segundo grado:

$y=ax^2+bx+c \;$

con $a \ne 0$ .

La función cuadrática Descripción:

Representación de la familia de funciones cuadráticas.

Funciones irracionales

La función irracional Descripción:

Representación de la familia de funciones irracionales.

Funciones de proporcionalidad inversa

Las funciones de proporcionalidad inversa son aquellas de la forma

$\ y = \cfrac{k}{x} \qquad (k \in \mathbb{R})$

donde el numero $k\;$ recibe el nombre de constante de proporcionalidad.

Este tipo de funciones se llaman así porque si $x\;$ e $y\;$ son cantidades correspondientes de dos magnitudes inversamente proporcionales, con constante de proporcionalidad $k\;$ , entonces sabemos que se cumple que $x \cdot y = k \;$ .

La función de proporcionalidad inversa Descripción:

Representación de la familia de funciones de proporcionalidad inversa.

Ejemplos:

Utilidad de la función de proporcionalidad inversa

Propiedades

Las funciones de proporcionalidad inversa $y=\cfrac{k}{x}\;$ cumplen las siguientes propiedades:

Son funciones continuas en su dominio, que es $D_f=\mathbb{R_*}=\mathbb{R}-\{0\}$ .
Son crecientes si $k<0\;$ y decrecientes si $k>0\;$ .
No tienen puntos de corte con los ejes.
La gráfica de esta función es una hipérbola equilátera:

Sus ramas son simétricas respecto del origen de coordenadas.
Sus asíntotas son los propios ejes de coordenadas.

Funciones de proporcionalidad inversa

Una función homográfica es una función racional del tipo:

$\ y = \cfrac{ax+b}{cx+d}$

Proposición

Si transformamos una función de proporcionalidad inversa por medio de traslaciones horizontales y verticales, el resultado es una función homográfica.

Demostración:

Si partimos de una función de proporcionalidad inversa:

$\ y = \cfrac{k}{x}$

y sobre ella efectuamos traslaciones verticales y horizontales, nos quedaría:

$\ y = \cfrac{k}{x+m}+n$

Desarrollando esta expresión:

$\ y = \cfrac{k+nx+nm}{x+m}=\cfrac{nx+(nm+k)}{x+m}$

que es de tipo homográfico.

La función homográfica Descripción:

Representación de la familia de funciones homográficas.

Funciones exponenciales

Sea $a \in \mathbb{R} \ , a>0 \ , a \ne 1$ . Se define la función exponencial de base $a\;$ como:

$\begin{matrix} f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+ \\ \, \qquad \quad x \rightarrow y=a^x \end{matrix}$

La función exponencial de base $e = 2,7182...\;$ (número e) es de especial importancia en matemáticas y se denomina simplementre función exponencial, sin hacer mención a la base.

Funciones exponenciales

Propiedades

Propiedades de la función exponencial

Las funciones exponenciales de base $a\;$ cumplen las siguientes propiedades:

Son continuas en su dominio, que es $D_f=\mathbb{R}$ .
Pasan por $(0,1)\;$ y $(1,a)\;$ .
Crecimiento:

Si $a>1\;$ son crecientes
Si $0<a<1\;$ son decrecientes.
Su crecimiento supera al de cualquier función potencia.

Son positivas y nunca se anulan (su gráfica está por encima del eje X).

Funciones exponenciales

Funciones logarítmicas

Sea $a \in \mathbb{R} \ , a>0 \ , a \ne 1$ . Se define la función logarítmica de base $a\;$ como:

$\begin{matrix} f \colon \mathbb{R}{}_*^+ \rightarrow \mathbb{R} \quad \\ \, \qquad \qquad \ x \ \rightarrow y=log_a \, x \end{matrix}$

La función logarítmica de base el número e = 2,7182... es de especial importancia en matemáticas. Se denomina función logaritmo neperiano y se designa por $ln \, x$ .

La función logarítmica de base 10 también es de particular interés. Se denomina función logaritmo decimal y se designa por $log \, x$ (sin especificar la base).

Funciones logarítmicas con distintas bases:

- En rojo está representada la de base e.

- En verde la de base 10.

- En púrpura la de base 1.7.

Propiedades

Propiedades de la función logarítmica

Las funciones exponenciales de base $a\;$ cumplen las siguientes propiedades:

Son continuas en su dominio: $D_f=\mathbb{R}_*^+=\mathbb{R}^+ - \{0\}$ .
Pasan por $(1,0)\;$ y $(a,1)\;$ .
Crecimiento:

Si $a>1\;$ son crecientes.
Si $0<a<1\;$ son decrecientes.
Su crecimiento es menor que el de las funciones raíz de cualquier índice $\sqrt[n]{x}$ .

La función logaritmica y la exponencial de la misma base son funciones inversas y por tanto sus gráficas son simétricas respecto de la recta $y=x\;$ .

Funciones logarítmicas

Funciones trigonométricas

Ver tema: Funciones trigonométricas o circulares

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Categorías: Matemáticas | Funciones

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 *El número real <math>m\;</math> recibe el nombre de '''pendiente'''.

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Funciones algebraicas y trascendentes

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