Plantilla:Término general de una progresión geométrica
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Revisión de 16:01 23 may 2017
Término general de una progresión geométrica
El término general, , de una progresión geométrica de razón
es:
![a_n = a_1 \cdot r^{n-1}](/wikipedia/images/math/3/f/3/3f36a41c2e5453c7652fd1786b8c2f7a.png)
En efecto, de forma intuitiva:
![a_2 = a_1 \cdot r = a_1 \cdot r^1 \;\!](/wikipedia/images/math/d/9/9/d9937eba41d8c160675d7124f7d3ea98.png)
........................
Demostración por el método de inducción completa:
Para ello hay que comprobar primero que la fórmula se cumple para n=1. A continuación, suponiendo que la fórmula es cierta para el valor n, deberemos comprobar que también se cumple para el valor n+1. Con ésto, la fórmula será cierta para todo valor n natural.
Veamos que se cumple para n=1. Sustituimos n por 1 en el lado derecho de la fórmula:
![a_1 = a_1 \cdot r^{1-1} = a_1 \cdot r^0 = a_1](/wikipedia/images/math/7/7/1/7710bdbe23e6ce78ca854dc8445ac3d1.png)
con lo que queda comprobada para n=1.
Supongamos que la fórmula es cierta para el valor n:
![a_n = a_1 \cdot r^{n-1}](/wikipedia/images/math/3/f/3/3f36a41c2e5453c7652fd1786b8c2f7a.png)
Por ser una progresión geométrica cada término se obtiene multiplicando por r el anterior término:
![a_{n+1}=a_n \cdot r \;](/wikipedia/images/math/1/2/a/12a0f1f690bafb50b6876cf19b2c310f.png)
Debemos comprobar que se cumple para el valor n+1:
![a_{n+1}\begin{matrix} ~_{[2]}~ \\ = \\ ~ \end{matrix}a_n \cdot r \begin{matrix} ~_{[1]}~ \\ = \\ ~ \end{matrix} a_1 \cdot r^{n-1} \cdot r =a_1 \cdot r^{((n+1)-1)}](/wikipedia/images/math/b/5/0/b50e2fb51571873946095ab7579f8b90.png)
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
- Definición de progresión geométrica.
- Ejemplos.
- Término general de una progresión geométrica.
Ejercicio resuelto: Progresión geométrica
En una progresión geométrica de términos positivos, y
.
Halla
,
y
.
Como la progresión es de términos positivos, sólo nos vale el valor posivo: .
![a_{21} = 3 \cdot (\sqrt{2})^{21-1} = 3 \cdot (\sqrt{2})^{20} = 3 \cdot 2^{10} =3072](/wikipedia/images/math/3/f/5/3f554a49d693d561945dd1dfdba4245f.png)
Encuentra el término general de una progresión geométrica dada.