Mínimo común múltiplo (2º ESO)

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Indice Descartes Manual Casio			WIRIS Calculadora

Tabla de contenidos

1 Mínimo común múltiplo
2 Cálculo del mínimo común múltiplo
3 Problemas
4 Máximo común divisor
5 Cálculo del máximo común divisor
- 5.1 Algoritmo de Euclides
6 Números primos entre sí
7 Problemas
8 Ejercicios propuestos

(Pág. 20)

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Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números, es el menor de todos los múltiplos comunes a esos números, distinto de cero.

Propiedad

Si a es múltiplo de b, entonces $m.c.m.(a,b)=a \;\!$ .
Los múltiplos comunes de varios números son también múltiplos del m.c.m.
Cualquier múltiplo del m.c.m. de varios números también lo es de dichos números.
Dados varios números, si se multiplican o dividen por otro número entonces su m.c.m también queda dividido o multiplicado por el mismo número.

Ejemplos

m.c.m.(15, 30)=30, porque 30 es múltiplo de 15.

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Cálculo del mínimo común múltiplo

Nos preguntamos a continuación por los múltiplos comunes de dos o más números? ¿Nos interesa encontrar el mayor o el menor? ¿Será útil?.

En el caso de los múltiplos, nos interesará encontrar el común más pequeño. No tiene sentido preguntarse por el mayor, pues hay infinitos múltiplos comunes a varios números. Una vez encontrado el más pequeño, se pueden conseguir tantos como quieras, sólo tienes que multiplicarlo por cualquier número natural.

Una posible estrategia sería buscar múltiplos de los números por separado hasta que lleguemos a encontrar el primero que sea igual para todos. A este procedimiento lo llamaremos 2método artesanal".

Procedimiento artesanal

Para calcular el mínimo común múltiplo de dos o más números obtendremos los múltiplos de dichos números y seleccionaremos el primero que se repita en todos ellos.

Ejemplo:

Calcula el m.c.m.(24,60) por el método artesanal:

Múltiplos de 24: 24, 48, 72, 96, 120, 144,...

Múltiplos de 60: 60, 120, 180, ...

m.c.m.(24,60)= 120

Mínimo común múltiplo (método artesanal)

Tutorial (3´52") Sinopsis:

Problemas prácticos en los que calcularemos el m.c.m. por el método artesanal.

Ejercicio 1 (2´37") Sinopsis:

1) Dados los números del 1 al 20:

a) Rodea de rojo los múltiplos de 3 y de azul los de 6.

b) ¿Cuáles son múltiplos comunes de 3 y 6?

c) ¿Cuál es el m.c.m. de 3 y 6?

Ejercicio 2 (7´05") Sinopsis:

2) Calcula hallando los múltiplos comunes:

a) m.c.m.(3, 5)

b) m.c.m.(4, 5)

c) m.c.m.(3, 7)

d) m.c.m.(4, 6)

e) m.c.m.(3, 9)

Ejercicio 3 (6´48") Sinopsis:

3) Calcula hallando los múltiplos comunes:

a) m.c.m.(10, 20, 8)

b) m.c.m.(2, 4, 5)

c) m.c.m.(3, 4, 6)

Ejercicio 4 (6´27") Sinopsis:

Calcula m.c.m.(15, 6, 10)

Mínimo común múltiplo (método artesanal) Descripción:

Actividad en la que podrás obtener el m.c.m. de dos números por el método artesanal.

El método artesanal es lento y puede llegar a exigir escribir mucho. No es un buen método para números grandes. A continuación presentamos un método mejor, que llamaremos "método óptimo", y que se apoya en la factorización.

Sabemos que cada múltiplo de un número entero contiene a todos los factores primos de dicho número. Entonces, lo lógico sería coger todos los factores que aparezcan en las descomposiciones de los números con los que trabajemos. Lógicamente, si hay factores repetidos, los escogeremos una sola vez, ya que queremos que nuestro múltiplo común sea el menor de todos los que hay.

Procedimiento óptimo

Para obtener el m.c.m. de dos o más números se siguen los siguientes pasos:

Se descomponen los números en factores primos.
Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente.
Se multiplican dichos factores y el resultado obtenido es el m.c.m.

Ejemplo:

Calcula el m.c.m.(24,60) por el método óptimo:

Descomponemos 24 y 60 en sus factores primos:

$24=2^3 \cdot 3\qquad60=2^2 \cdot 3 \cdot 5$

Multiplicando todos los factores elevados al mayor exponente:

$m.c.m.(24,60)= 2^3 \cdot 3 \cdot 5=120$

Mínimo común múltiplo

Tutorial 1 (8´14") Sinopsis:

Tutorial que explica el significado del mínimo común múltiplo con un simpático ejemplo.

Tutorial 2 (11´18") Sinopsis:

Tutorial que explica el significado del mínimo común múltiplo, es decir "¿qué es?" y las distintas técnicas para su cálculo, desde mentalmente o bien obteniendo los múltiplos de los números, para el caso de número pequeños, o el algoritmo general.

00:00 a 06:33: ¿Qué es el Mínimo Común Múltiplo? Método de extracción de múltiplos.
06:33 a 11:18: Método general para calcular el MCM. Ejemplos.

Tutorial 3 (10´38") Sinopsis:

Tutorial que explica qué es y cómo se calcula el mínimo común múltiplo de dos o tres números.

Tutorial 4 (3´33") Sinopsis:

Mínimo común múltiplo de dos números enteros. Ejemplo.

Tutorial 5 (2´35") Sinopsis:

Tutorial que explica qué es y cómo se calcula el mínimo común múltiplo de dos números. Desarrolla un ejemplo en el que calcula el m.c.m. mediante el método artesanal.

Ejercicio 1 (6'19") Sinopsis:

Cálcula el mínimo común múltiplo de:

a) 12 y 18

b) 360 y 84

c) 40, 72 y 300

Ejercicio 2 (11'24") Sinopsis:

Cálcula el mínimo común múltiplo de:

a) 4 y 3

b) 4 y 30

c) 75, 25 y 15

d) 98, 10 y 45

Ejercicio 3 (5'24") Sinopsis:

Cálcula el mínimo común múltiplo de:

a) 6 y 8

b) 14, 21 y 28

Ejercicio 4 (12'12") Sinopsis:

Cálcula el mínimo común múltiplo de:

a) 4 y 6

b) 9, 10 y 15

Ejercicio 5 (5´05") Sinopsis:

Calcula el mínimo común múltiplo de 28 y 21 por el método artesanal y el método óptimo.

Ejercicio 6 (8´39") Sinopsis:

Calcula:

m.c.m.(6, 8)
m.c.m.(2, 4, 10)
m.c.m.(10, 15)
m.c.m.(2, 5, 30)

Ejercicio 7 (6´31") Sinopsis:

Calcula:

m.c.m.(4, 10)
m.c.m.(8, 14, 20)

Ejercicio 8 (4'41") Sinopsis:

Calcula: m.c.m.(72, 108).

Ejercicio 9 (6'45") Sinopsis:

Calcula: m.c.d.(336, 540).

Ejercicio 10 (4'43") Sinopsis:

Calcula: m.c.d.(12, 9, 108).

Ejercicio 11 (7´30") Sinopsis:

Calcula:

a) m.c.m.(20, 2)

b) m.c.m.(24, 18)

Ejercicio 12 (4´21") Sinopsis:

Calcula m.c.m.(20, 18)

Mínimo común múltiplo

Actividad 1 Descripción:

Actividad en la que podrás obtener el m.c.m. de dos números por descomposición factorial.
Actividad en la que deberás obtener el m.c.m. de dos números por descomposición factorial.
Actividad en la que deberás obtener el m.c.m. de tres números por descomposición factorial.

Actividad 2 Descripción:

Actividades sobre cómo se calcula el mínimo común múltiplo.

Autoevaluación 1 Descripción:

Cálculo del mínimo común múltiplo de dos números

Autoevaluación 2 Descripción:

Ejercicios de cálculo del mínimo común múltiplo de dos números

Autoevaluación 3 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el m.c.m.

Mínimo común múltiplo

Actividad: Mínimo común múltiplo

a) Halla el m.c.m.(12, 56, 80)

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) lcm(12, 56, 80)

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Problemas

Problema resuelto: m.c.m.

Un distribuidor de electrodomésticos desea cargar dos palés, uno con lavavajillas de 45 kg y otro con frigoríficos de 40 kg, de forma que ambos pesen lo mismo y lo menos posible. ¿Cuánto pesará cada palé?

Solución:

Solución: 360 Kg

Problemas: Mínimo común múltiplo

Problema 1 (3´45") Sinopsis:

María tarda 6 min en dar una vuelta al barrio corriendo y Pedro 8 min. ¿Cuándo coincidirán de nuevo en la plaza si han salido juntos de ella a las 10:15?

Problema 2 (3´56") Sinopsis:

Un viajero va a Brasil cada 18 días y otro cada 24. Si hoy han estado los dos en Brasil, ¿cuántos días pasarán para que vuelvan a coincidir?

Problema 3 (2´46") Sinopsis:

Necesitamos hacer bolsitas con 3 caramelos de los colores de las luces de un semáforo (rojo, verde y amarillo). En la tienda donde venden los caramelos me dicen que los caramelos rojos vienen en paquetes de 6, los amarillos en paquetes de 5 y los verdes en paquetes de 10. ¿Cuántos paquetes, como mínimo, tenemos que usar para hacer bolsitas con cada uno de los tres colores sin que nos sobre ninguno?.¿Cuántas bolsitas nos saldrán?

Problema 4 (8´52") Sinopsis:

Cuatro ciclistas compiten en una pista circular y la recorren totalmente en 8, 10, 12 y 15 segundos, respectivamente. Si parten juntos, ¿en cuantos minutos se encontraran en la partida?

A) 120; B) 1; C) 2; D) 3

Problema 5 (4´25") Sinopsis:

De los 630 primeros números enteros positivos, ¿cuántos son múltiplos de 3 y 7 a la vez?

A) 10; B) 21; C) 20; D) 30

Problema 6 (10´03") Sinopsis:

El número de páginas de un libro está comprendido entre 300 y 350. Si se cuentan de 3 en 3, sobran 2; de 4 en 4 sobran 3 y de 7 en 7 sobran 6. ¿Cuántas páginas tiene el libro?

A) 325; B) 345; C) 315; D) 335

Problema 7 (8´23") Sinopsis:

Claudia va al hospital cada 15 días, Joaquín cada 12 y Ángel cada 18. Si hoy es 05 de Septiembre y se encontraron en el hospital, entonces la fecha más próxima en la cual se encontrarán los tres nuevamente será:

A) 5 de Enero; B) 5 de Diciembre; C) 4 de Marzo; D) 4 de Febrero; E) 2 de Marzo

Problema 6 (3´57") Sinopsis:

Antonio va al piscina cada 6 días y Alba cada 4 días. ¿Cuántos días, pasarán para que vuelvan a coincidir por primera vez? ¿Qué día de la semana será?

Nivel más avanzado:

Problema 1 (5´59") Sinopsis:

Se compran televisores de 17 pulgadas a 3 por 1200 dólares y se venden a 4 por 2400 dólares. Para ganar 3000 dólares, ¿cuántos se debe vender?

A) 12; B) 15; C) 14; D) 8; E) 10

Problema 2 (11´16") Sinopsis:

Un vendedor tiene entre 600 y 800 naranjas. Si se puede agruparlas de 15 en 15, de 18 en 18 y de 24 en 24 sin que sobre alguna, ¿cuántas naranjas tiene el vendedor?

A) 640; B) 6800; C) 720; D) 760; E) 800

Problema 3 (9´17") Sinopsis:

Se tiene tres reglas calibradas, de 48 cm cada una. La primera está calibrada con divisiones de 4/21 cm; la segunda, con divisiones de 24/35 cm; y la tercera, con divisiones de 8/7 cm. Si se hace coincidir las tres reglas en sus extremos de calibración, ¿cuántas coincidencias de calibración hay en las tres reglas?

A) 13; B) 14; C) 4; D) 15; E) 12

Problemas: Mínimo común múltiplo

Problema 1 Descripción:

Marina tiene una planta que riega cada 3 días y otra que riega cada 5. Si el lunes ha regado las dos, ¿qué día de la semana volverá a regar otra vez las dos?

Problema 2 Descripción:

En una parada de autobús comienzan dos líneas. Los autobuses de una línea salen cada 6 minutos, y los de la otra, cada 8. Si dos autobuses de distintas líneas salen a la misma hora, ¿Cuántos minutos tardarán en volver a coincidir en la salida?

Problema 3 Descripción:

Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos, y un tercero cada minuto. A las 6:30 de la tarde los tres coinciden. Averigua las veces que volverán a coincidir durante los próximos 5 minutos.

Problema 4 Descripción:

Tres ciclistas tardan en dar la vuelta a un velódromo 48, 56 y 72 segundos, respectivamente. Si salen a la vez, ¿al cabo de cuántos segundos volverán a coincidir en la salida?

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Máximo común divisor

El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números es el mayor de todos los divisores comunes a esos números.

Propiedades

Si $a\;$ es múltiplo de $b\;$ , entonces $m.c.d.(a,b)=b\;$ .
Los divisores comunes de varios números coinciden con los divisores del m.c.d.
Dados varios números, si se multiplican o dividen por otro número, entonces su m.c.d también queda multiplicado o dividido por el mismo número.
Dados dos números naturales, $a\;$ y $b\;$ , se cumple:

$m.c.m.(a,b) \cdot m.c.d (a,b)=a \cdot b$

Ejemplos

Un ejemplo de la primera propiedad:

m.c.d.(15, 30) = 15, porque 30 es múltiplo de 15.

Un ejemplo de la última propiedad:

m.c.d.(6,20) = 2 y m.c.m.(6,20) = 60

m.c.m.(6,20) · m.c.d.(6,20) = 2 · 60 = 120

a · b = 6 · 20 = 120.

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Cálculo del máximo común divisor

Ya sabemos encontrar todos los divisores de un número. Ahora nos interesa hallar un divisor en concreto. Queremos, de entre todos los divisores comunes a varios enteros, el mayor de ellos.

Y, ¿por qué el mayor?, ¿por qué un divisor común a varios números?, ¿para qué sirve esto?. Lo cierto es que el cálculo del máximo común divisor será muy útil para resolver problemas de divisibilidad en los que intervengan varios números. De ahí lo de común y lo de divisor. ¿Y por qué el mayor y no, por ejemplo, el menor? Piensa detenidamente... ¿Qué número es divisor de cualquier entero?. Efectivamente, el 1. ¿Crees que hay divisores menores que 1?

Una primera solución para encontrar el máximo común divisor de varios números podría ser calcular los divisores de cada uno de ellos y comprobar cuál es el mayor de los divisores comunes. A este método lo llamaremos "método artesanal".

Procedimiento artesanal

Para calcular el máximo común divisor de dos o más números se siguen los siguientes pasos:

Averiguaremos todos los divisores de dichos números.
De los divisores comunes (los que se repitan en todos) cogeremos el mayor.

Ejemplo:

Calcula el m.c.d.(24,60) por el método artesanal

Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Divisores de 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

m.c.d.(24,60)= 12

Máximo común divisor (método artesanal)

Tutorial (6´36") Sinopsis:

Problemas prácticos en los que calcularemos el m.c.d. por el método artesanal.

Ejercicio 1 (5´56") Sinopsis:

Calcula:

a) m.c.d. (12, 8)

b) m.c.d. (25, 20)

c) m.c.d. (5, 12)

d) m.c.d. (6, 12)

Ejercicio 2 (4´48") Sinopsis:

Calcula el m.c.d. (-12, -30) hallando los divisores comunes.

Ejercicio 3 (6´13") Sinopsis:

Calcula hallando los divisores comunes:

a) m.c.d. (6, -12)

b) m.c.d. (-12, -15)

c) m.c.d. (-6, 8)

d) m.c.d. (0, -18)

e) m.c.d. (6, 4)

f) m.c.d. (8, -72)

Ejercicio 4 (6´15") Sinopsis:

Calcula hallando los divisores comunes:

a) m.c.d.(4, 16, 14)

b) m.c.d.(9, 12, 18)

c) m.c.d.(8, 16, 28)

d) m.c.d.(21, 27, 30)

Máximo común divisor (método artesanal)

Actividad 1 Descripción:

Actividad en la que podrás obtener el m.c.d. de dos números por el método artesanal.

Actividad 2 Descripción:

Actividad en la que podrás ver como se obtiene el m.c.d de dos números mediante el procedimiento artesanal.

Pero el método artesanal no es adecuado para números grandes pues requeriría muchos cálculos. Hay otro método basado en la factorización que es mucho más rápido. Lo llamaremos "método óptimo".

Sabemos que los divisores de un número son una combinación de algunos de sus factores primos. Por tanto, si queremos un divisor común a varios números, tendremos que tomar factores primos comunes a todos ellos. Si además queremos que sea el mayor de todos los divisores comunes, tendremos que tomar todos los factores que sean comunes.

Procedimiento óptimo

Para obtener el m.c.d. de dos o más números se siguen los siguientes pasos:

Se descomponen los números en factores primos.
Se toman los factores comunes con menor exponente.
Se multiplican dichos factores y el resultado obtenido es el m.c.d.

Observación:

En el caso de que no haya ningún factor común, en realidad nos estamos olvidando del 1, que aunque no es primo, es factor de cualquier número entero. Por tanto, si no hay coincidencia de ningún factor primo, el máximo común divisor es 1.

Ejemplo:

Calcula el m.c.d.(24,60) por el método óptimo

Descomponemos 24 y 60 en sus factores primos:

$24=2^3 \cdot 3 \qquad 60=2^2 \cdot 3 \cdot 5$

Multiplicando los factores comunes elevados al menor exponente:

$m.c.d.(24,60)= 2^2 \cdot 3=12$

Calcula el m.c.d.(17,19) por el método óptimo

Descomponemos 17 y 19 en sus factores primos (incluimos al 1 aunque no sea primo):

$17=17 \cdot 1 \qquad 19=19 \cdot 1$

El único factor común es 1:

$m.c.d.(17,19)= 1\;$

Máximo común divisor

Tutorial 1 (13´46") Sinopsis:

Tutorial que explica el significado del máximo común divisor, es decir "¿qué es?" y las distintas técnicas para su cálculo, desde mentalmente o bien obteniendo los divisores de los números, para el caso de número pequeños, o el algoritmo general.

00:00 a 07:33: ¿Qué es el máximo común divisor? Método de extracción de divisores.
07:33 a 13:46: Método general para calcular el m.c.d. Ejemplos.

Tutorial 2 (9´57") Sinopsis:

Tutorial que explica qué es y cómo se calcula el máximo común divisor de dos o tres números.

Tutorial 3 (14´36") Sinopsis:

Concepto y cálculo del máximo común divisor de dos o más números.

Tutorial 4 (3´34") Sinopsis:

Concepto de máximo común divisor. Ejemplo.

Tutorial 5 (2´04") Sinopsis:

Tutorial que explica qué es y cómo se calcula el máximo común divisor de dos números. Desarrolla un ejemplo en el que calcula el m.c.d. mediante el método artesanal.

Ejercicio 1 (1'01") Sinopsis:

Cálcula el máximo común divisor de 12 y 20

Ejercicio 2 (6'19") Sinopsis:

Cálcula el máximo común divisor de:

a) 12 y 18

b) 360 y 84

c) 40, 72 y 300

Ejercicio 3 (5'52") Sinopsis:

Cálcula el máximo común divisor de:

a) 30 y 45

b) 36, 84 y 120

Ejercicio 4 (14'59") Sinopsis:

Cálcula el máximo común divisor de:

a) 18 y 24

b) 36, 54 y 90

Ejercicio 5 (6'22") Sinopsis:

Calcula:

a) m.c.d.(36, 48).

b) m.c.d.(60, 90, 150).

Ejercicio 6 (9´06") Sinopsis:

Calcula:

a) m.c.d.(15, 20)

b) m.c.d.(12, 18)

c) m.c.d.(16, 20, 24)

d) m.c.d.(18, 27)

Ejercicio 7 (8´10") Sinopsis:

Calcula:

a) m.c.d.(8, 20)

b) m.c.d.(96, 160, 24)

Ejercicio 8 (6'17") Sinopsis:

Calcula: m.c.d.(48, 36, 84).

Ejercicio 9 (4'46") Sinopsis:

Calcula: m.c.d.(72, 108, 60).

Ejercicio 10 (2´09") Sinopsis:

3) Escribe los divisores de 4 y los divisores de 8.

a) ¿Es 4 divisor de 8?

b) ¿Son todos los divisores de 4 también divisores de 8?

c) ¿Es 8 divisor de 4?

d) ¿Son todos los divisores de 8 también divisores de 4?

e) ¿Cuál es el m.c.d. de 4 y 8?

Ejercicio 11 (10´37") Sinopsis:

Calcula:

a) m.c.d (16, 8)

b) m.c.d (40, 45)

c) m.c.d (9, 6)

d) m.c.d.(105, 30)

Máximo común divisor

Actividad 1 Descripción:

Actividad en la que podrás obtener el m.c.d. de dos números por descomposición factorial.
Actividad en la que deberás obtener el m.c.d. de dos números por descomposición factorial.

Actividad 2 Descripción:

Actividades sobre el máximo común divisor.

Actividad 3 Descripción:

Juego para practicar el m.c.d.

Autoevaluación 1 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el m.c.d.

Autoevaluación 2 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el m.c.d.

Autoevaluación 3 (Nivel avanzado) Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el m.c.d. (Nivel avanzado)

Máximo común divisor

Actividad: Máximo común divisor

a) Halla el m.c.d.(30,150,700)

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) gcd(30, 150, 700)

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Algoritmo de Euclides

Proposición

Sean $a\;$ y $b\;$ , $(a \ge b)\;$ , dos números naturales, entonces se cumple que:

$m.c.d.(a,b)=m.c.d.(b,r)\;$

donde $r\;$ es el resto de la división de $a\;$ entre $b\;$ .

Apoyándonos en el resultado anterior tenemos el siguiente algoritmo para el cáculo del m.c.d. de dos números.

Algoritmo de Euclides

El algoritmo de Euclides es un procedimiento para calcular el m.c.d. de dos números. Los pasos son:

Se divide el número mayor entre el menor.

Si la división es exacta, el divisor es el m.c.d.
Si la división no es exacta, dividimos el divisor entre el resto obtenido y se continúa de esta forma hasta obtener una división exacta, siendo el último divisor el m.c.d.

El algoritmo de Euclides

Tutorial 1 (5'43") Sinopsis:

Cálculo del m.c.d. usando el algoritmo de Euclides.

Tutorial 2 (4'45") Sinopsis:

Euclides.
Ejemlplos de cálculo del m.c.d. usando el algoritmo de Euclides.

Tutorial 3 (3'31") Sinopsis:

Cálculo del m.c.d. y del m.c.m. usando el algoritmo de Euclides.

Ejercicio 1 (6'00") Sinopsis:

Calcula el m.c.d. de 364 y 748 usando el algoritmo de Euclides.

Ejercicio 2 (4'15") Sinopsis:

Calcula el m.c.d. de 136 y 48 usando el algoritmo de Euclides.

Ejercicio 3 (5'55") Sinopsis:

Calcula el m.c.d. de 44 y 24 usando el método artesanal y el algoritmo de Euclides.

Ejercicio 4 (5'52") Sinopsis:

Calcula el m.c.d. de 100 y 150 usando el método artesanal y el algoritmo de Euclides.

Autoevaluación: Algoritmo de Euclides Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el algoritmo de Euclides.

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Números primos entre sí

Dos o más números son primos entre sí o coprimos, si su m.c.d. es 1, es decir, no tienen divisores comunes salvo la unidad.

Ejemplo

6 y 11 son primos entre sí ya que no tienen divisores comunes salvo el 1.
6 y 27 no son primos entre sí porque tienen como divisor común a 3.

Números primos entre sí

Tutorial (0´44") Sinopsis:

¿Cuándo son dos números primos entre sí?. Ejemplo.

Ejercicio 1 (0´46") Sinopsis:

Comprueba si los números 3 y 7 son o no primos entre sí.

Ejercicio 2 (0´51") Sinopsis:

Comprueba si los números 11 y 22 son o no primos entre sí.

Ejercicio 3 (1´09") Sinopsis:

Comprueba si los números 9 y 48 son o no primos entre sí.

Ejercicio 4 (1´02") Sinopsis:

Comprueba si los números 45 y 34 son o no primos entre sí.

Ejercicio 5 (1´21") Sinopsis:

Comprueba si los números 6, 8 y 20 son o no primos entre sí.

Propiedades

Si a y b son primos entre sí, entonces m.c.m.(a,b)=a · b.
Si se dividen varios números por su m.c.d., los cocientes resultantes son primos entre sí.

Ejemplo

Como 6 y 11 son primos entre sí, entonces m.c.m(6,11)=6·11=66
Sean los números 1 y 25. Su m.c.d.(10,25)=5

10:5=2 y 25:5=5; m.c.d.(2,5)=1, luego 2 y 5 son primos entre sí.

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Problemas

Problema resuelto: m.c.d.

En un almacén quieren envasar, para su distribución, 200 kg de manzanas y 260 kg de de naranjas, en cajones del mismo peso y de la mayor carga que sea posible. ¿Cuántos kilos deben poner en cada cajón?

Solución:

Solucuión: 20 kg

Problemas: Máximo común divisor

Problema 1 (6´03") Sinopsis:

Iker ha cocinado 24 galletas de chocolate, 16 de manzana y 20 buñuelos. Quiere colocarlo todo en platos que contengan un solo tipo de postre y con el mismo número de unidades. Si quiere utilizar el menos número de platos posible, ¿cómo debe hacerlo?.

Problema 2 (5´40") Sinopsis:

Se desea dividir un terreno rectangular cuyas dimensiones son de 186 m y 162 m, en parcelas cuadradas, para lo cual se colocan estacas en cada uno de los vértices de las parcelas. ¿Cuántas estacas se necesitarán colocar en total como mínimo?

Problema 3 (6´30") Sinopsis:

En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son 250, 360 y 540 litros. Se quiere envasar todo el vino en botellas iguales lo más grandes posible. Calcula la capacidad de estas botellas y cuántas serán necesarias.

Problema 4 (2´20") Sinopsis:

Un comerciante tiene dos barriles llenos de vino: uno de vino tinto, cuya capacidad es de 250 litros, y otro de vino moscatel, de 160 litros. Para efectos de comercialización y transporte requiere distribuir todo el vino de ambos barriles, sin mezclar los contenidos, en recipientes de igual capacidad, de modo que el número de estos sea el menor posible y estén completamente llenos. ¿Qué cantidad de estos recipientes necesitará para el vino moscatel?

Problema 5 (4´33") Sinopsis:

Tres cables que miden 20, 150 y 180 metros se dividen en el menor número de trozos de igual longitud. ¿Cuál es la longitud de cada trozo?

A) 5 m; B) 20 m; C) 12 m; D) 15 m; E) 10 m

Problema 6 (6´38") Sinopsis:

Un albañil debe colocar losetas cuadradas en un piso de un baño cuyas dimensiones son 270 cm y 300 cm. ¿Cuántas losetas enteras entrarán en dicho piso, si estas deben ser del mayor tamaño posible?

A) 30; B) 90; C) 10; D) 19

Problema 7 (8´29") Sinopsis:

Las edades de dos amigos son como 4 es a 7. Si el mínimo común múltiplo de sus edades es 168 y su máximo común divisor es 6, ¿Cuáles son sus edades?

A) 24 y 48; B) 24 y 36; C) 12 y 24; D) 24 y 42

Problema 8 (3´50") Sinopsis:

Camila tiene 24 bocadillos y 20 zumos para repartir en bolsas. Cada bolsa tiene que tener el mismo número de bocadillos y el mismo número de zumos. ¿Cuántas bolsas, como máximo, necesita? ¿Cuántos zumos y cuántos bocadillos mete en cada bolsa?

Nivel más avanzado:

Problema 1 (7´47") Sinopsis:

Si tienes que llenar 4 cilindros de capacidades 72, 24, 56 y 120 galones respectivamente. ¿Cuál es la capacidad del balde que puede usarse para llenarlos exactamente si está comprendida entre 2 y 8 galones?

Problema 2 (8´23") Sinopsis:

Juan tiene un terreno de forma rectangular de 40m de ancho y 96m de largo. si se divide su terreno en parcelas cuadradas iguales y planta en el interior de cada parcela 3 árboles, ¿cuál es el mínimo número de árboles que podría sembrar en todo su terreno?

a) 160; b) 150; c) 190; d) 170; e) 180

Problema 3 (8´09") Sinopsis:

Raúl compró cierto número de televisores por S/.31500 y vendió unos cuantos en S/15000, cobrando cada televisor lo mismo que le había costado. ¿Cuántos televisores le quedan si el precio de estos es el mayor posible?

a) 11; b) 9; c) 13; d) 10; e) 12

Problema 4 (10´29") Sinopsis:

Se desea colocar postes igualmente espaciados en el perímetro de un terreno rectangular de 280 m de largo por 120 m de ancho. Si se sabe que debe colocarse un poste en cada esquina y el número de postes debe ser el menor posible, determínese el número total de postes por colocar.

A) 24; B) 20; C) 48; D) 40; E) 18

Problemas: Máximo común divisor

Problema 1 Descripción:

Un comerciante desea poner en cajas 6690 manzanas y 6630 naranjas, de modo que cada caja contenga el mismo número de piezas de fruta, y además, el mayor número posible. Halla el número de piezas de fruta de cada caja.

Problema 2 Descripción:

¿Cuántos centímetros mide el lado de la mayor baldosa que cabe un número exacto de veces en una sala de 20 m de largo y 16 m de ancho?

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