Factoriales y números combinatorios (1ºBach)
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Revisión de 08:28 24 sep 2017
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Tabla de contenidos |
(Pág. 43)
Factoriales
Se define el factorial de un número entero positivo "n" como
![n! = \prod_{k=1}^n k = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot ... \cdot n](/wikipedia/images/math/1/f/0/1f041b7917591630513119e69f7cf47a.png)
y se define, por convenio:
![0! = 1 \;](/wikipedia/images/math/a/4/5/a452c66b3c63b3c6e8178850da8221d9.png)
La operación de factorial aparece en muchas áreas de las matemáticas, particularmente en combinatoria y análisis matemático. De manera fundamental el factorial de n representa el número de formas distintas de ordenar n objetos distintos ( permutaciones). Este hecho ya era conocido en el siglo XII por los hindúes.
La notación matemática actual, , fue usada por primera vez en 1808 por Christian Kramp (1760–1826), un matemático francés que trabajó, en especial, sobre los factoriales durante toda su vida.
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
Factorial de un número. Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
a) Halla "x":
b) Halla "a":
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
a) Calcula sabiendo que
b) Simplifica:
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
a) Halla "a":
b) Halla "x":
(Pág. 43)
Números combinatorios
Coeficiente binomial
Se llama coeficiente binomial, y lo representaremos por , al número de subconjuntos de
elementos escogidos de un conjunto con
elementos. También se suele decir que es el "número de combinaciones de
elementos tomados de
en
" y, por tanto, que se le conozca también como "número combinatorio".
Proposición
El coeficiente binomial viene dado por la fórmula:
![{n\choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}](/wikipedia/images/math/c/2/d/c2d02458d8c35f11e465c639ba62f081.png)
Demostración:
Si se tiene un conjunto con n elementos, de los cuales se van a escoger k de ellos, la selección (ordenada) puede hacerse de
![n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \dots \cdot (n-k+1)](/wikipedia/images/math/5/9/c/59c3b61f2891915a6afd453757bb8c23.png)
formas, ya que en el primer paso se tienen n opciones, en el segundo se tienen n-1, en el tercero n-2, y así sucesivamente, terminando en el paso k que tendrá n-k+1 opciones.
Ahora, para eleiminar los conjuntos repetidos, hay que dividir el producto anterior entre el número de selecciones "equivalentes" (conjuntos con los mismos elementos en distinto orden). Pero si se tiene k objetos, hay k! formas de permutarlos, es decir, k! formas de listarlos en distinto orden.
Concluimos que el número de subconjuntos con k elementos, escogidos de un conjunto con n elementos es
![{n\choose k} = \frac{ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \dots (n-k+1)}{k!}](/wikipedia/images/math/1/a/c/1ac5cae00275349183c9aef06798230b.png)
Multiplicando el numerador y el denominador por
![{n\choose k} = \frac{ 1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-k)\cdot (n-k+1)\cdots (n-2)\cdot (n-1)\cdot n}{1\cdot 2 \cdot 3\cdots (n-k) \cdot k!}](/wikipedia/images/math/3/c/9/3c9d54a7139e62f775f6b90567a7e133.png)
o lo que es lo mismo, expresado con factoriales:
![{n\choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}](/wikipedia/images/math/c/2/d/c2d02458d8c35f11e465c639ba62f081.png)
![](/wikipedia/images/thumb/5/59/Profesor10demates.jpg/22px-Profesor10demates.jpg)
Tutorial sobre números combinatorios.
![](/wikipedia/images/thumb/5/59/Profesor10demates.jpg/22px-Profesor10demates.jpg)
Calcula:
![](/wikipedia/images/thumb/5/59/Profesor10demates.jpg/22px-Profesor10demates.jpg)
Calcula:
![](/wikipedia/images/thumb/5/59/Profesor10demates.jpg/22px-Profesor10demates.jpg)
Calcula:
![](/wikipedia/images/thumb/5/59/Profesor10demates.jpg/22px-Profesor10demates.jpg)
Comprueba que:
![](/wikipedia/images/thumb/5/59/Profesor10demates.jpg/22px-Profesor10demates.jpg)
Comprueba que:
![](/wikipedia/images/thumb/5/59/Profesor10demates.jpg/22px-Profesor10demates.jpg)
Comprueba que:
![](/wikipedia/images/thumb/5/59/Profesor10demates.jpg/22px-Profesor10demates.jpg)
Calcula:
Propiedades de los números combinatorios
Propiedades
Demostración:
- En un conjunto con n elementos se puede extraer sólo un conjunto con 1 elemento (sólo el
) y solo un conjunto con n elementos (el propio conjunto de partida).
- En un conjunto con n elementos, cada subconjunto con k elementos tiene un complementario con n-k elementos.
- Esta demostración no se da por su complejidad.