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Revisión de 17:19 15 sep 2018
Polinomios
- Un polinomio es una expresión algebraica formada por un monomio o por la suma de varios monomios. A cada monomio se le llama término del polinomio. Si tiene dos términos se llama binomio; si tiene tres trinomio; si tiene cuatro cuatrinomio etc.
- Un polinomio se dice que es nulo si todos los monomios que lo componen tienen coeficiente cero.
- Un polinomio está dado en forma reducida si en su expresión no aparecen monomios semejantes, ni nulos.
- Se llama grado de un polinomio no nulo, al mayor de los grados de los monomios que lo componen cuando el polinomio se ha puesto en forma reducida. Un polinomio nulo tiene grado cero.
| Elementos y grado de un polinomio
|
Para nombrar un polinomio usaremos una letra mayúscula (lo normal es usar las letras: P, Q, R, S, ...) seguida de las variables que forman parte del polinomio, entre paréntesis.
Por ejemplo:
Polinomios: Elementos, tipos y grado [Mostrar]
Tutorial en el que se dan las definiciones básicas del álgebra: expresión algebraica, monomios, polinomios, grado, término independiente, coeficientes...
Polinomios. Grado de un polinomio. Ejemplos.
Polinomios. Grado de un polinomio. Ejemplos.
Aprende a calcular el grado relativo y absoluto de un polinomio.
Nota: Al "grado absoluto" de un polinomio se le llama simplemente "grado" del polinomio.
Aprende a calcular el grado relativo y absoluto de un monomio y de un polinomio.
Nota: Al "grado absoluto" de un polinomio se le llama simplemente "grado" del polinomio.
Polinomios: términos y tipos de polinomios. Polinomios nulos.
Forma reducida de un polinomio. Grado. Polinomios iguales y semejantes.
- Polinomios ordenados, completos / incompletos, homogéneos / heterogéneos.
- Valor numérico de un polinomio.
Polinomios. Monomios. Grado y término independiente de un polinomio.
Dado el polinomio
, identifica sus términos junto con el coeficiente y exponente de cada uno de ellos.
Escribe un polinomio que exprese el valor de "p" billetes de 20 pesos, "q" monedas de 10 pesos y "r" monedas de 5 pesos.
Elementos y grado de un polinomio.
Expresiones algebraicas: monomios y polinomios.
- Actividad en la que deberás encontrar la expresión polinómica adecuada para cada situación.
- Actividad en la que deberás construir un polinomio conocida cierta información sobre su grado y los coeficientes de sus términos.
- Actividad en la que deberás encontrar el valor de algún coeficiente de un polinomio.
- Actividad en la que aprenderás a escribir polinomios en su forma usual.
- Actividad en la que deberás decir cual es el coeficiente de cada grado de un polinomio.
Actividad sobre polinomios.
Operaciones con polinomios
Suma y resta de polinomios
Procedimiento
Para sumar o restar polinomios, sumaremos o restaremos los monomios semejantes de ambos.
Ejemplos: Suma y resta de polinomios
Calcula:
- a)
- b)
a)
b)

Aprende a sumar y restar polinomios
En este tutorial se explica la suma y resta de polinomios comenzando con algunas definiciones básicas y terminando con ejemplos.
Aprende a sumar polinomios
Aprende a restar polinomios
Suma y resta de polinomios en una variable. Ejemplos.
Suma de polinomios. Ejemplos.
Propiedades de la suma de polinomios: conmutativa y asociativa.
Propiedades de la suma de polinomios: Elemento neutro y opuesto.
Resta de polinomios. Equivalencias fundamentales.
Suma y resta de polinomios.
Calcula la suma:
Calcula la suma:
Calcula la resta:
Calcula la resta:
Calcula:
a)
b)
Simplifica:
Simplifica:
Resta
de
.
Simplifica:
Simplifica:
Simplifica:
Resta
de
.
Encuentra el error cometido en la resta que se muestra en el video.
1) Ordena los polinomios y realiza las sumas que se indican:
;
;
1a) P(x) + Q(x)
1b) P(x) + R(x)
1c) P(x) + S(x)
Dados los siguientes polinomios, realiza las sumas que se indican:
;
;
1d) Q(x) + S(x)
1e) R(x) + S(x)
1f) Q(x) + R(x)
Dados los polinomios:
;
;
;
4a) Calcula P(x) - Q(x).
4b) Calcula P(x) - R(x).
4c) Calcula [P(x) + Q(x)]-[R(x) + S(x)]
4d) Calcula [P(x) + S(x)]-[Q(x) + R(x)]
4e) Calcula T(x) + M(x)
4f) Calcula T(x) - M(x)
5) ¿Qué polinomio se ha de restar al polinomio
para obtener el polinomio
?
6) Dados los polinomios
;
calcula el valor de
sabiendo que
.
7) Escribe dos polinomios de tercer grado de tal modo que su suma se el polinomio nulo.
8) Escribe dos polinomios reducidos de segundo grado y comprueba con ellos la conmutatividad de la suma.
9) Dado el polinomio
, escribe su opuesto, -P(x). Calcula los valores numéricos de P(x) y -P(x) para x = 0, x = 1 y x = 2, y comprueba comprueba que son números opuestos.
10) ¿Qué polinomio tienes que sumar con
para que la suma sea 5x^3-6x?
11) Dado el polinomio
, halla otro polinomio Q(x) tal que
.
Dados los polinomios
;
;
;
12a) Calcula P(x) + Q(x).
12b) Calcula P(x) - V(x).
12c) Calcula P(x) + R(x).
12d) Calcula P(x) - R(x).
12e) Calcula S(x) + T(x) + V(x).
12f) Calcula S(x) - T(x) + V(x).
13) Dados los polinomios
;
calcula el polinomio M(x) tal que P(x) + M(x) = Q(x).
14) Escribe dos polinomios cualesquiera y súmalos. Contesta:
- 14a) ¿Es mayor el grado de los sumandos o el de la suma? ¿Es igual? ¿Es menor?
- 14b) ¿Puede en algún caso ser menor el grado de la suma que el de los sumandos? ¿Cuándo? Justifícalo con ejemplos.
15) ¿Qué puedes decir del grado de la diferencia de dos polinomios?
16) escribe dos polinomios de tercer grado de modo que su suma se el polinomio
.
Actividades para aprender y practicar la suma y resta de polinomios.
Ejercicios para practicar la suma y resta de polinomios.
Suma y resta de polinomios.
Suma y resta de polinomios con dos variables.
Suma y resta de polinomios con dos variables.
Suma y resta de polinomios con dos variables: encuentra el error.
Ejercicios de autoevaluación sobre suma y resta de polinomios.
Producto de un monomio por un polinomio
Procedimiento
Para multiplicar un monomio por un polinomio, se aplica la propiedad distributiva, es decir, se multiplica el monomio por cada término del polinomio y se suman los resultados.
Ejemplo: Producto de un monomio por un polinomio
Calcula el producto:
Producto de un monomio por un polinomio [Mostrar]
Aprende a multiplicar un monomio por un polinomio
Cómo se multiplica un polinomio por un monomio.
Multiplica y reduce:
- a)
- b)
Expresa el área de la figura dada en el video como un trinomio.
Multiplica:
Averigua el valor de "c", "d" y "f" sabiendo que
Calcula
Calcula:
- 1c)
- 1d)
Actividades para aprender y practicar la multiplicación de un monomio por un polinomio.
Multiplicación de un número por un polinomio.
Multiplicación de monomios por polinomios.
Multiplicación de monomios por polinomios.
Multiplicación de monomios por polinomios.
Producto de polinomios
Procedimiento
Para multiplicar dos polinomios, se multiplica cada monomio de uno de sus factores por todos y cada uno de los monomios del otro factor y, después, se suman los monomios semejantes obtenidos.
Ejemplo: Producto de polinomios
Calcula el producto:
Aprende a multiplicar binomios
Aprende a multiplicar polinomios
En este tutorial se explica la multiplicación de monomios y polinomios comenzando con algunas definiciones básicas y terminando con ejemplos.
Producto de monomios y polinomios en una variable.
Cómo se multiplican polinomios.
Propiedades conmutativa y asociativa del producto de polinomios.
Elemento neutro y distributiva en el producto de polinomios.
Producto de binomios:
Multiplica (x − 4)(x + 7).
Multiplica (3x + 2)(5x − 7).
Halla el área de la figura dada en el video, expresándola como el producto de dos binomios y como un trinomio.
Producto de binomios por polinomios:
Multiplica
.
Halla el área de la figura dada en el video.
Halla el valor de "a" y "b" sabiendo que
.
Producto de polinomios:
Determinar el polinomio que tiene por raíces: 2, 3 y -1, siendo la última raíz de multiplicidad 2.
- 4a) Comprueba la propiedad conmutativa del producto de polinomios con los polinomios siguientes:
;
- 4b) Comprueba la propiedad asociativa del producto de polinomios con los polinomios siguientes:
;
; C(x)=x-2\;</math>
- 5) Elemento neutro del producto de polinomios: Multiplica el polinomio
por el polinomio
. ¿Qué polinomio obtienes?
- 6a) Comprueba la propiedad conmutativa del producto de polinomios con los polinomios siguientes:
;
- 6b) Comprueba la propiedad asociativa del producto de polinomios con los polinomios siguientes:
;
;
Completa:
- a) Si grado de P(x)=1 y grado de Q(x)=3, el grado de P(x)·Q(x) es ...
- b) Si grado de P(x)=2 y grado de Q(x)=4, el grado de P(x)·Q(x) es ...
- c) Si grado de P(x)=1 y grado de Q(x)=3, el grado de P(x)·Q(x) es ...
- d) Si grado de P(x)=6 y grado de Q(x)=1, el grado de P(x)·Q(x) es ...
Problemas:
Halla el volumen de un depósito cuya base tiene un área de
metros cuadrados y una altura de
metros.
Escribe un binomio que exprese la diferencia entre el área de un rectángulo que mide "p" de largo y "2r" de ancho, y el área de un círculo cuyo diámetro mide 4r.
La parte de vidrio de una ventana tiene una proporción de 3:2 entre su largo y su ancho (la altura la podemos representar como 3x y la anchura como 2x). El marco de la ventana añade 7 cm al ancho total y 8 cm al alto total. Encuentra un polinomio, en términos de "x", que represente el área total de la ventana, incluyendo el marco.
Actividades para aprender y practicar la multiplicación de polinomios.
Multiplicación de binomios.
Multiplicación de binomios.
Multiplicación de binomios por polinomios.
Ejercicios de autoevaluación sobre producto de de polinomios.
Actividad: Operaciones con polinomios
Haz las siguientes operaciones con polinomios:
- a)
- b)
- c)
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) expand (3x^3-5x^2-3x+2)+(x^3-4x-1)-(2x^2-x-2)
b) expand (3x^3-5x^2-3x+2)*2x^2
c) expand (2x^2+2x-3)*(2x-5)
|
División de monomios
Entenderemos la división entre monomios como una fracción que hay que simplificar, dividiendo los coeficientes y restando los exponentes de las potencias de la misma base.
Ejemplos: División de monomios
Calcula:
- a)
- b)
a)
b)

Aprende a dividir monomios
División de un polinomio entre un monomio
Para dividir un polinomio ente un monomio se divide cada uno de los monomios que componen el polinomio entre el monomio.
División de un polinomio entre un monomio [Mostrar]
Aprende a dividir un polinomio entre un monomio
En este tutorial se explica la división de polinomios entre monomios.
Divide:
- a)
- b)
División de polinomios
La división polinómica es, en ciertos aspectos, similar a la división numérica.
Ejemplo: División de polinomios
Divide los siguientes polinomios:
-
-
División de polinomios. Ejemplos.
Siendo P(x) un polinomio de grado no inferior al polinomio Q(x), nos planteamos determinar los polinomios C(x) y R(x) tales que P(x) = Q(x).C(x) + R(x).
De C(x) se dice "cociente" de la "división" entre P(x) y Q(x); de R(x) se dice "resto".
Si R(x) = 0, la división se dice "exacta"; en tal caso, también se dice que P(x) es "divisible" por Q(x), o que P(x) es "múltiplo" de Q(x), o que Q(x) "divide" a P(x), o que Q(x) es "divisor" de P(x).
Cómo se hace la división de polinomios
Calcula:
a)
b)
Calcula:
Calcula:
Calcula:
Calcula:
a)
b)
Calcula:
Divide los siguientes polinomios:
- 3a)
- 3b)
Divide los siguientes polinomios:
- 3c)
- 3d)
Divide los siguientes polinomios:
- a)
- b)
Método de Horner para la división de polinomios
Calcula:
Halla el resto de la división:
Halla el resto de la división
sabiendo que la suma de los coeficientes del cociente es 28.
Ejercicios de autoevaluación sobre división de polinomios.
Actividad: División de polinomios
Calcula el cociente y el resto de la siguiente división de polinomios:

Para averiguar la solución debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" la siguiente expresión:
quotient and remainder (x^3-4x^2+x+6)/(x-1)
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