Raíces

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Raíces

Sabemos que $3^2 = 9\;\!$ . Esta igualdad la podemos expresar también como $\sqrt{9}=3$ y se lee "3 es igual a la raíz cuadrada de 9".

En general:

Se define la raíz cuadrada de un número $a\;\!$ como otro número $b\;\!$ tal que $b^2 =a\;\!$ .

Y escribimos:

$b=\sqrt{a}$

Se define la raíz cúbica de un número $a\;\!$ como otro número $b\;\!$ tal que $b^3 =a\;\!$ .

Y escribimos:

$b=\sqrt[3]{a}$

Igualmente, se define raíz n-sima de un número $a\;\!$ como otro número $b\;\!$ tal que $b^n =a\;\!$ . $(n \in \mathbb{Z},\ n>1)$

Y escribimos:

$b=\sqrt[n]{a}$

El número $a\;\!$ se llama radicando, el número $n\;\!$ , índice y $b\;\!$ es la raíz.

Propiedades:

$\sqrt[n]{1}=1$ y $\sqrt[n]{0}=0$ , para cualquier valor del índice $n\;\!$ .
Si $a>0\;\!$ , $\sqrt[n]{a}$ existe cualquiera que sea el índice $n\;\!$ .
Si $a<0\;\!$ , $\sqrt[n]{a}$ sólo existe si el índice $n\;\!$ es impar.
Si el índice $n\;\!$ es par y el radicando $a>0\;\!$ , la raíz tiene dos soluciones: una positiva y otra negativa, pero iguales en valor absoluto. Si el índice es impar, siempre tiene una única solución, que tiene el mismo signo que el radicando $a\;\!$ .

Ejemplos:

$\sqrt[3]{1}=1$ .
$\sqrt[5]{0}=0$ .
$\sqrt[4]{16}=\pm 2$ porque $(\pm 2)^4=16\;\!$ .
$\sqrt[3]{81}=4$ porque $4^3=81\;\!$ .
$\sqrt[3]{-8}=-2$ porque $(-2)^3=8\;\!$ .
$\sqrt[4]{-8}= no \ existe$ porque ningún número elevado a 4 puede dar negativo (-8).

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Raíces exactas e inexactas

Se llaman raíces exactas a aquellas que dan como resultado un número racional. En caso contrario diremos que son inexactas y el resultaado será un número irracional.

Para que una raíz sea exacta, al descomponer el radicando en factores primos, las potencias de éstos deben ser todas números divisibles por el índice.

Ejemplo: Raíces exactas e inexactas

Calcula las siguientes raíces cuando sean exactas:

$a) \sqrt[3]{216} \quad b) \sqrt[4]{0'0256}\quad c) \sqrt[3]{192}$

Solución:

a) Descomponemos $216=2^3 \cdot 3^3$ .

Como las potencias son divisibles por 3, la raíz es exacta. Para obtenerla, dividimos cada exponente entre el índice:

$\sqrt[3]{216}=\sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3}=2^{\frac{3}{3}} \cdot 3^{\frac{3}{3}}=2^1 \cdot 3^1=6$

Luego $\sqrt[3]{216}$ es racional.

b) Descomponemos $\cfrac{256}{10000}=\cfrac {2^8}{10^4}$ .

Como las potencias son divisibles por 4, la raíz es exacta. Para obtenerla, dividimos cada exponente entre el índice:

$\sqrt[4]{0'0256}=\sqrt[4]{\cfrac{256}{10000}}=\sqrt[4]{\cfrac {2^8}{10^4}}=\cfrac {2^{\frac{8}{4}}}{10^{\frac{4}{4}}}=\cfrac{2^2}{10^1}=\cfrac{4}{10}=0'4$

Luego $\sqrt[4]{0'0256}$ es racional.

c) Descomponemos $192=2^6 \cdot 3\;\!$ .

La potencia de 3 es 1, que no es divisible por 3. Por tanto, la raíz no es exacta.

Luego $\sqrt[3]{192}$ es irracional.

La raíz como potencia de exponente fraccionario

Proposición

Toda raíz se puede expresar como una potencia cuya base es el radicando, $a\;\!$ , y el exponente es $\cfrac{1}{n}$ , siendo $n\;\!$ el índice de la raíz. Ésto es:

$\sqrt[n]{a}=a^\frac{1}{n}$

De forma similar, también se cumple:

$\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}$

Demostración:

Para la primera parte, basta con ver que se cumple la condición de la definición de raíz.

$(a^\frac{1}{n})^n=a^{\frac{1}{n} \cdot n}=a^1=a$

Para la segunda parte, haremos una comprobación análoga:

$(a^\frac{m}{n})^n=a^{\frac{m}{n} \cdot n}=a^m$

Ejemplos:

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Ejemplo: La raíz como potencia de exponente fraccionario

Escribe las siguientes potencias de exponente fraccionario en forma de raíces y calcula su valor:

$a)\ 16^\frac{3}{4}\quad b)\ 27^\frac{2}{3}\quad c)\ 125^\frac{4}{3}\quad d)\ 100^{-\frac{3}{2}}\quad e)\ 8^{-\frac{2}{3}}$

Solución:

Utiliza la siguiente escena para comprobar su resultado. Aumenta el número de decimales cuando sea necesario.

Propiedades: Las potencias con exponente fraccionario tienen las mismas propiedades que con exponente natural o entero.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Ra%C3%ADces"

 #<math>\sqrt[3]{-8}=-2</math> porque <math>(-2)^3=8\;\!</math>.
 #<math>\sqrt[4]{-8}= no \ existe</math> porque ningún número elevado a 4 puede dar negativo (-8).
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 ===Raíces exactas e inexactas===
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