Las cónicas (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Secciones cónicas
2 Circunferencia
3 Elipse
4 Hipérbola
5 Parábola

Secciones cónicas

Se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice.

Según como corte el plano al cono tendremos (ver figura):

Hipérbola: el plano forma con la base un ángulo mayor que el que forma la generatriz.
Parábola: el plano es paralelo a la generatriz.
Elipse: el plano forma con la base un ángulo menor que el que forma la generatriz.
Circunferencia: el plano es paralelo a la base.

La primera definición de sección cónica aparece en Grecia, cerca del año 350, donde las definieron como secciones de un cono circular recto. Los nombres de hipérbola, parábola y elipse se deben a Apolonio de Pérgamo.

A continuación vamos a ver como se definen como lugares geométricos de puntos del plano.

Circunferencia

La circunferencia de centro $O\,$ y radio $r\,$ , es el lugar geométrico de los puntos $P\,$ , del plano, cuya distancia al centro es $r\,$ .

$d(P,O)=r\,$

Actividad interactiva: Circunferncia

Actividad 1: Trazado de la circunferencia.

Actividad:

Para dibujar una circunferencia sobre un papel, fijas en un punto con una chincheta, el extremo de una cuerda de longitud igual al radio. En el otro extremo de la cuerda, fijas un lápiz y, manteniendo tensa la cuerda, vas trazando una línea.

Activa la traza, desliza el punto P y observa.

¿Qué tipo de curva describe la traza de P en su movimiento?
¿Qué propiedad cumplen todos los puntos por los que pasa P?
¿Qué representa el segmento r?

Click aquí si no se ve bien la escena

Elipse

Dados dos puntos $F_1\,$ y $F_2\,$ llamados focos, y una distancia $k\,$ , llamada constante de la elipse ( $k > d(F_1,F_2)\,$ ), se llama elipse al lugar geométrico de los puntos $P\,$ del plano cuya suma de distancias a los focos es igual a $k\,$ :

$d(P,F_1)+d(P,F_2)=k\,$

Actividad interactiva: Elipse

Actividad 1: Trazado de la elipse.

Actividad:

Para dibujar una elipse sobre un papel, fijas con chinchetas los extremos de una cuerda en dos puntos, de manera que la longitud de la cuerda sea mayor que la distancia entre los dos puntos de fijación. A continuación, trazas una línea deslizando un lápiz apoyado en la cuerda que deberás mantener tensa.

En la siguiente escena, activa la traza, desliza el punto P y observa.

¿Qué tipo de curva describe la traza de P en su movimiento?
¿Qué representan los segmentos morados?
¿Qué propiedad cumplen todos los puntos por los que pasa P?
¿Qué ocurre si pones c=0?

Click aquí si no se ve bien la escena

Hipérbola

Dados dos puntos $F_1\,$ y $F_2\,$ llamados focos, y una distancia $k\,$ , llamada constante de la hipérbola ( $k < d(F_1,F_2)\,$ ), se llama hipérbola al lugar geométrico de los puntos $P\,$ del plano cuya diferencia de distancias a los focos es, en valor absoluto, igual a $k\,$ :

$|d(P,F_1)+d(P,F_2)|=k\,$

Actividad interactiva: Hipérbola

Actividad 1: Trazado de la hipérbola.

Actividad:

Activa la traza, desliza el punto P y observa.

¿Qué tipo de curva describe la traza de P en su movimiento?
¿Qué se puede decir de los segmentos PF y PD?
¿Qué propiedad cumplen todos los puntos por los que pasa P?

Click aquí si no se ve bien la escena

Parábola

Dados un punto $F\,$ llamado foco, y una recta $d\,$ , llamada directriz, se llama parábola al lugar geométrico de los puntos $P\,$ del plano que equidistán del foco y de la directriz: