Plantilla:Ecuaciones bicuadradas

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Las ecuaciones bicuadradas Son ecuaciones de cuarto grado pero tienen una característica que las hace especiales: no tienen terminos de grado impar, es decir son de la forma

$ax^4 + bx^2 +c = 0\,\!$

El truco para resolverlas es hacer el cambio de variable $x^2=y\,\!$ . Entonces, la ecuación quedará como una de segundo grado

$ay^2 + by + c = 0 \,\!$

Una vez resuelta esta ecuación en $y\;$ , tenemos que averiguar el valor de la $x\;$ . Para ello desharemos el cambio de variable, haciendo $x=\pm \sqrt{y}$ . En consecuencia, las soluciones $y<0\,\!$ , las rechazaremos, ya que no darán solución para la $x\,\!$ , quedándonos sólo con las soluciones de $y\,\!$ no negativas, cada una de las cuales dará dos soluciones para la $x\,\!$ .

Ejercicios resueltos: Ecuaciones bicuadradas

Resuelve las ecuaciones:

a) $x^4 - 10x^2 + 9 = 0\;\!$

b) $x^4 - 2x^2 - 3 = 0\;\!$

c) $x^4 - 5x^2 = 0 \;\!$

Solución:

$x^4 - 10x^2 + 9 = 0 \rightarrow \left \{ x^2=y \right \}\rightarrow y^2-10y+9=0$

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100-36}}{2}=\frac{10 \pm 8}{2} \rightarrow \begin{cases} y=1 \rightarrow x= \pm \sqrt 1 = \pm 1 \\ y=9 \rightarrow x= \pm \sqrt 9 = \pm 3 \end{cases}$

Soluciones: $-1,\, 1,\, -3,\, 3 \!$

$x^4 - 2x^2 - 3 = 0 \rightarrow \left \{ x^2=y \right \}\rightarrow y^2-2y-3=0$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4+12}}{2}=\frac{2 \pm 4}{2} \rightarrow \begin{cases} y=-1 \rightarrow \mbox {No existe solucion para x} \\ y=3 \rightarrow x= \pm \sqrt 3 \end{cases}$