Plantilla:Sistemas de ecuaciones (1ºBach)

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Tabla de contenidos

Sistemas de ecuaciones

(pág. 81)

  • Un sistema de n ecuaciones con m incógnitas o simplemente, sistema nxm, es la agrupación de n ecuaciones con m incógnitas.
  • Se llama solución de un sistema nxm a cualquier conjunto de m valores (uno de cada incógnita) que sea solución de todas las ecuaciones a la vez.
  • Resolver un sistema es hallar todas sus soluciones.
  • Dos sistemas son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

Por ejemplo, un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas o simplemente, sistema 2x2, es la agrupación de 2 ecuaciones con 2 incógnitas (por ejemplo "x" e "y"). Se llama solución de un sistema 2x2 a cualquier pareja de valores (x,y) que sea solución de las dos ecuaciones a la vez.

Clasificación de los sistemas atendiendo al número de soluciones

  • Un sistema es compatible si tiene solución e incompatible si no la tiene.
  • Un sistema es determinado si tiene un número finito de soluciones e indeterminado si tiene infinitas soluciones.
  • Usaremos las siguientes siglas para abreviar:
    • S.C.D. : Sistema Compatible Determinado (un número finito de soluciones)
    • S.C.I. : Sistema Compatible Indeterminado (infinitas soluciones)
    • S.I. : Sistema Incompatible (sin solución)

Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas (11´07")     Sinopsis:

Interpretación geométrica de los sistemas lineales de 2 ecuaciones con 2 incógnitas (9´33")     Sinopsis:

Videotutorial

Métodos de resolución de sistemas

(pág. 81)

Vamos a ver tres métodos para resolver un sistema de ecuaciones: sustitución, igualación y reducción.

Método de sustitución

El método de sustitución consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituir en las otras:

  • En el caso de sistemas 2x2, la ecuación sustituida, que se queda con una sola incógnita, se resuelve, lo que permite averiguar esa incógnita. Finalmente, el valor de la otra incógnita se obtiene sustituyendo en la expresión que obtuvimos al despejar en el paso previo.
  • En el caso de sistemas de más de 2 incógnitas hay que repetir el proceso hasta quedarse con una sola ecuación con una incógnita. Una vez hallada ésta, se sustituye su valor en la expresión que obtuvimos al despejar, repitiendo estos pasos hasta tener todas las soluciones.

ejercicio

Ejemplo: Método de sustitución

Resuelve por el método de sustitución el siguiente sistema:
\begin{cases} \qquad 2x-y & = 9 \\ \sqrt{x+y} + y & = x \end{cases}
Solución:

Despejamos la "y" en la primera ecuación:

y=2x-9 \;    [1]

Sustituimos esta expresión de la "y" en la segunda ecuación:

\sqrt{x + 2x -9} + 2x-9=x \ \rightarrow \ \sqrt{3x-9} = 9-x

Elevamos al cuadrado los dos miembros de la ecuación para quitar el símbolo radical:

3x-9=(9-x)^2 \ \rightarrow \ 3x-9=81+x^2-18x \ \rightarrow \ x^2-21x+90=0 \ \rightarrow \ \begin{cases} x_1=6 \\ x_2=15 \end{cases}

Para hallar la incógnita "y", sustituimos los valores de "x" en la ecuación [1]:

\begin{cases} x_1=6 \rightarrow y_1=2 \cdot 6 -9 \rightarrow y_1 = 3 \\ x_2=15 \rightarrow y_2= 2 \cdot 15 -9 \rightarrow y_2 = 21 \quad \mbox{(no vale)} \end{cases}

Comprobadas las soluciones en el sistema de partida, sólo resulta válida la primera solución.


Solución: x= 6 \ , \ y=3

3 ejercicios por el método de sustitución (11´23")     Sinopsis:

Resolución de sistemas lineales 2x2 por el método de sutitución:

  1. \begin{cases}2x-y & = 8 \\ ~x+y & = 1 \end{cases}
  2. \begin{cases}3x+2y & = 4 \\ 6x+4y & = 0 \end{cases}
  3. \begin{cases}2x+4y & = 3 \\ 6x+8y & = 4 \end{cases}

wolfram

Actividad: Método de sustitución

Resuelve por el método de sustitución el siguiente sistema:
\begin{cases} y=x+2 \\ \cfrac{1}{x}-\cfrac{x}{y}=0 \end{cases}

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
solve y=x+2, 1/x-x/y=0

Método de igualación (sistemas 2x2)

Consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar las expresiones resultantes. Así, nos queda una ecuación con una sola incógnita. Esta se resuelve y permite averiguar dicha incógnita. Finalmente, el valor de la otra incógnita se obtiene sustituyendo el valor obtenido.

ejercicio

Ejemplo: Método de igualación

Resuelve por el método de igualación el siguiente sistema:
\begin{cases} x \ = \ y^2 \\ x \ = \ 2(y-1)+5 \end{cases}
Solución:

Como ya tenemos despejada la x\; en ambas ecuaciones, igualamos ambas expresiones:

y^2=2(y-1)+5 \ \rightarrow \ y^2-2y-3=0 \ \rightarrow \ y = \begin{cases} y_1=~3 \ \rightarrow \ x_1=9 \\ y_2=-1\ \rightarrow \ x_2= 1 \end{cases}


Soluciones: (x_1=9 \ , \ y_1=3) \ ; \ (x_2=1 \ , \ y_2=-1)

3 ejercicios por el método de igualación (8´10")     Sinopsis:

Resolución de sistemas lineales 2x2 por el método de igualación:

  1. \begin{cases}3x+2y & = ~8 \\ 7x-~y & = 13 \end{cases}
  2. \begin{cases}3x+2y & = 5 \\ 6x+4y & = 1 \end{cases}
  3. \begin{cases}2x+3y & = 4 \\ 4x+6y & = 8 \end{cases}

wolfram

Actividad: Método de igualación

Resuelve por el método de igualación el siguiente sistema:
\begin{cases} 2x-y-1=0 \\ x^2-7=y+2 \end{cases}

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
solve 2x-y-1=0, x^2-7=y+2

Método de reducción

  • Para sistemas 2x2, el método de reducción consiste en obtener ecuaciones equivalentes a las de partida (multiplicándolas por un número, si fuera necesario), de manera que al sumarlas, se obtenga una ecuación en la que se ha eliminado una de las incógnitas. Así, nos queda una ecuación con una sola incógnita, que se resuelve, permitiendo averiguar dicha incógnita. Finalmente, el valor de la otra incógnita se obtiene sustituyendo el valor obtenido en las ecuaciones de partida.
  • Para sistemas con más de 2 ecuaciones se procede de forma análoga al método 2x2. En el caso particular de sistemas lineales se usará el método de reducción de Gauss.


Nota: Este método se puede usar siempre que los sistemas sean de ecuaciones lineales. En caso contrario, sólo se podrá usar en contadas ocasiones en las que las ecuaciones cumplan ciertos requisitos, como ocurre en el siguiente ejemplo:

ejercicio

Ejemplo: Método de reducción

Resuelve el siguiente sistema:
\begin{cases}2 \, log\,x-log\,y = 5 \\ log \,(xy) = 4 \end{cases}
Solución:

Aplicamos la propiedad del logaritmo de un producto en la segunda ecuación:

\begin{cases}2 \, log\,x-log\,y=5 \\ ~~log \, x + log \, y = 4 \end{cases}

Sumando ambas ecuaciones, tenemos:

\begin{cases}2 \, log\,x-log\,y=5 \\ ~~log \, x + log \, y = 4 \end{cases}
___________________________
   3 \, log \ x \quad \qquad ~ =9 \ \rightarrow \ log \ x = 3 \ \rightarrow \ log \ x = log \ 1000 \ \rightarrow \ x=1000


Sustituyendo ese valor de x\; en la segunda ecuación, tenemos:

log \ 1000 \ + \ log \ y = 4 \ \rightarrow \ 3 \ + \ log \ y = 4 \ \rightarrow \ log \ y = 1 \ \rightarrow \ log \ y = log \ 10 \ \rightarrow \ y=10


Solución: x=1000 \ , \ y=10 \;

2 ejercicios por el método de reducción (10´54")     Sinopsis:

Resolución de sistemas lineales 2x2 por el método de reducción:

  1. \begin{cases}3x+2y & = ~8 \\ 7x-~y & = 13 \end{cases}
  2. \begin{cases}5u+2v & = 7 \\ 4u+3v & = 7 \end{cases}

2 ejercicios por el método de reducción (7´18")     Sinopsis:

Resolución de sistemas lineales 2x2 por el método de reducción:

  1. \begin{cases}6x+3y & = 4 \\ 2x+~y & = 1 \end{cases}
  2. \begin{cases}8x-6y & = 10 \\ 4x-3y & = ~5 \end{cases}

wolfram

Actividad: Método de reducción

Resuelve por el método de reducción el siguiente sistema:
\begin{cases} log \ x - log \ y & \mbox{=}\mbox{ 5} \\ log \ x + log \ y & \mbox{=}\mbox{ 3} \end{cases}

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
solve log10(x)-log10(y)=5, log10(x)+log10(y)=3

Ejercicios

ejercicio

Ejercicios propuestos: Resolución de sistemas de ecuaciones

(Pág. 82)
2a,b,c; 3a,b,c
2d; 3d

Problemas de sistemas de ecuaciones

2 problemas (7´06")     Sinopsis:
  1. Juan y María son hermanos. El tiene tantos hermanos como hermanas, y ella tiene doble número de hermanos que de hermanas. ¿Cuántos hermanos hay de cada sexo?
  2. Determine las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su área aumenta 600 m2 al duplicar los lados, aumentando 340 m2 si la base disminuye 2 m y la altura se triplica.

2 problemas (7´03")     Sinopsis:
  1. Determine un número de dos dígitos sabiendo que es el cuadruplo de la suma de éstos y que al invertir el orden de los dígitos aumenta 36 unidades.
  2. Determine un número de dos dígitos si la suma de éstos es 11 y al invertir el orden de los dígitos resulta un número que se diferencia 36 unidades del primero.

1 problema (3´45")     Sinopsis:
  1. Desde un tren que circula a 72 km/h entra en un túnel hasta que sale el último vagón pasan 49 segundos, y pasan 37 segundos desde que el último vagón entra en el túnel hasta que la locomotora aparece en el otro extremo. Determine las respectivas longitudes del tren y el túnel.

Sistemas de ecuaciones 3x2

6 ejercicios de sistemas de 3 ecuaciones con 2 incógnitas (9´)     Sinopsis:

Resolución de sistemas lineales 3x2:

1. \begin{cases} 2x+y & = 7 \\ ~x-y & = 2 \\ x+2y & = 0 \end{cases}        2. \begin{cases} ~x+4y & = 9 \\ ~x+~y & = 3 \\ 3x+~y & = 5 \end{cases}        3. \begin{cases} 2x-~y & = 3 \\ 4x-2y & = 2 \\ ~x+2y & = 0 \end{cases}

4. \begin{cases} ~x-~y & = 4 \\ ~x+~y & = 2 \\ 2x-2y & = 8 \end{cases}        5. \begin{cases} ~x+2y & = 3 \\ 2x+4y & = 2 \\ ~x+2y & = 0 \end{cases}        6. \begin{cases} ~x-~y & = 1 \\ 2x-2y & = 2 \\ 5x-5y & = 5 \end{cases}

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Sistemas_de_ecuaciones_%281%C2%BABach%29"
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