Número áureo

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El número áureo

El número áureo, es un número irracional, representado por la letra griega phi φ (en minúscula) o Φ (en mayúscula) en honor al escultor griego Fidias, cuyo valor es:
\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803398874988...

También se le conoce como número de oro o razón áurea o divina proporción (por la obra de Luca Pacioli, De Divina Proportione, escrito entre 1496 y 1498).

ejercicio

Proposición 1

Si dividimos un segmento en dos partes a y b, de manera que la longitud total, a+b, es al segmento más largo a, como a es al segmento más corto b, entonces la razón de dicha proporción es el número áureo.
\cfrac{a+b}{a} = \cfrac{a}{b} = \phi
Demostración:

Partimos de la proporción dada:

\cfrac{a+b}{a} = \cfrac{a}{b}

Separamos en dos sumandos el término de la izquierda:

\cfrac{a}{a}+\cfrac{b}{a} = \cfrac{a}{b}

Llamando x = \cfrac{a}{b}, tenemos que \cfrac{1}{x} = \cfrac{b}{a}, de manera que:

1+\cfrac{1}{x} = x

Quitando denominadores y trasponiendo términos:

x^2-x-1=0\;

ecuación de segundo grado cuya única raíz válida es:

x = \frac {1+\sqrt{5}}{2} = \phi
con lo que queda demostrado.
El número áureo surge de la división en dos de un segmento guardando las siguientes proporciones: La longitud total a+b es al segmento más largo a, como a es al segmento más corto b.
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El número áureo surge de la división en dos de un segmento guardando las siguientes proporciones: La longitud total a+b es al segmento más largo a, como a es al segmento más corto b.

Rectángulo áureo

El rectángulo áureo (o rectángulo dorado) es un rectángulo que posee una proporcionalidad entre sus lados igual al número áureo.

ejercicio

Proposición 2

Si en un rectángulo áureo substraemos la imagen de un cuadrado igual al de su lado menor, el rectángulo resultante es también un rectángulo áureo.
Demostración:

Partimos de un rectángulo áureo. Lo dividimos en un cuadrado de lado su lado menor y otro rectángulo pequeño, como se observa en la Fig. 2.

Veamos que el rectángulo pequeño también es un rectángulo áureo. Para ello tendremos que comprobar que \cfrac{a}{b}= \phi

Por ser el rectángulo de partida un rectángulo áureo, se cumple que \cfrac{a+b}{a} = \phi

\cfrac{a+b}{a} = \phi \ \rightarrow \ 1+\cfrac{b}{a} = \phi \ \rightarrow \ \cfrac{b}{a} = \phi - 1 \ \rightarrow \ \cfrac{b}{a} = \phi - 1 \ \rightarrow
\rightarrow \ \cfrac{a}{b} = \cfrac{1}{\phi - 1} \ \rightarrow \ \rightarrow \ \cfrac{a}{b} = \cfrac{1}{\frac{1 + \sqrt{5}}{2} - 1} \ \rightarrow \cfrac{a}{b} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \phi
c.q.d.
Fig. 2 Si en un rectángulo áureo substraemos la imagen de un cuadrado igual al de su lado menor, el rectángulo resultante es también un rectángulo áureo.
Aumentar
Fig. 2 Si en un rectángulo áureo substraemos la imagen de un cuadrado igual al de su lado menor, el rectángulo resultante es también un rectángulo áureo.

Construcción

Un método para construir un rectángulo áureo.
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Un método para construir un rectángulo áureo.

En la matemática clásica se construye por medio de regla y compás siguiendo los siguientes pasos:

ejercicio

Construcción con regla y compás del rectángulo áureo

  1. Se construye un cuadrado (de rojo, en la Fig. 3).
  2. Se traza una segmento desde la mitad del lado del cuadrado hasta una de sus esquinas.
  3. Empleando ese segemento como radio, se coloca la punta del compás en la mitad del cuadrado y se abate hasta cortar en la prolongación de la base del cuadrado.
  4. Ese punto obtenido determina la base del rectángulo áureo con altura igual al lado del cuadrado.


Videos y páginas web

La divina proporción: el número phi (6')     Sinopsis:

Documental sobre el número aureo.

El número áureo (18´)     Sinopsis:

El programa presenta a este exótico número ya conocido por los griegos. Veremos cómo se obtiene, qué son los rectángulos áureos y su presencia en infinidad de manifestaciones artísticas, en Pintura, Arquitectura, Escultura... a lo largo de la historia. Pero el número de oro no es un mero invento del hombre, la naturaleza nos sorprende de una forma que no puede ser casual, tanto en el mundo vegetal como en el animal, como en multitud de fenómenos físicos, con acontecimientos en los que este famosos número hace acto de presencia.

Actividades

Phi, el número de oro     Descripción:

A lo largo de la historia, Phi, el número de oro o número áureo, ha representado, para las personas que lo han conocido, la belleza, la magia, la perfección, lo divino. ¿Por qué?. Página elaborada por D. Luis Nicolás Ortiz.

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