Número áureo

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Tabla de contenidos

1 El número áureo
2 El rectángulo áureo
- 2.1 Construcción del rectángulo áureo
3 El número áureo en el péntágono estrellado
4 La sucesión de Fibonacci y el número áureo
5 Videos y páginas web

El número áureo

El número áureo, es el primer número irracional del que se tuvo conciencia. Su valor es:

$\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803398874988...$

Es representado por la letra griega phi φ (en minúscula) o Φ (en mayúscula) en honor al escultor griego Fidias.

También se le conoce como número de oro, razón áurea o divina proporción (por la obra de Luca Pacioli, De Divina Proportione, escrita entre 1496 y 1498).

Proposición 1

Si dividimos un segmento en dos partes a y b, de manera que la longitud total, a+b, es al segmento más largo a, como a es al segmento más corto b, entonces la razón de dicha proporción es el número áureo.

$\cfrac{a+b}{a} = \cfrac{a}{b} = \phi$

Demostración:

Partimos de la proporción dada:

$\cfrac{a+b}{a} = \cfrac{a}{b}$

Separamos en dos sumandos el término de la izquierda:

$\cfrac{a}{a}+\cfrac{b}{a} = \cfrac{a}{b}$

Llamando $x = \cfrac{a}{b}$ , tenemos que $\cfrac{1}{x} = \cfrac{b}{a}$ , de manera que:

$1+\cfrac{1}{x} = x$

Quitando denominadores y trasponiendo términos:

$x^2-x-1=0\;$

ecuación de segundo grado cuya única raíz válida es:

$x = \frac {1+\sqrt{5}}{2} = \phi$

con lo que queda demostrado.

Fig. 1: El número áureo surge de la división en dos de un segmento guardando las siguientes proporciones: La longitud total a+b es al segmento más largo a, como a es al segmento más corto b.

El rectángulo áureo

El rectángulo áureo (o rectángulo dorado) es un rectángulo que posee una proporcionalidad entre sus lados igual al número áureo.

Los griegos consideraban que un rectángulo de tales características era especialmente armonioso. Esta proporción de medidas se ha utilizado con mucha frecuencia en el arte.

Proposición 2

Si en un rectángulo áureo substraemos la imagen de un cuadrado igual al de su lado menor, el rectángulo resultante es también un rectángulo áureo.

Demostración:

Partimos de un rectángulo áureo. Lo dividimos en un cuadrado de lado su lado menor y otro rectángulo pequeño, como se observa en la Fig. 2.

Veamos que el rectángulo pequeño también es un rectángulo áureo. Para ello tendremos que comprobar que $\cfrac{a}{b}= \phi$

Por ser el rectángulo de partida un rectángulo áureo, se cumple que la proporción entre sus lados es el número áureo:

$\cfrac{a+b}{a} = \phi$

Operando:

$\cfrac{a+b}{a} = \phi \ \rightarrow \ \cfrac{a}{a}+\cfrac{b}{a} = \phi \ \rightarrow \ \cfrac{b}{a} = \phi - 1 \ \rightarrow$

$\rightarrow \ \cfrac{a}{b} = \cfrac{1}{\phi - 1} \ \rightarrow \ \cfrac{a}{b} = \cfrac{1}{\frac{1 + \sqrt{5}}{2} - 1} \ \rightarrow \cfrac{a}{b} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \phi$

c.q.d.

Fig. 2: Si en un rectángulo áureo substraemos la imagen de un cuadrado igual al de su lado menor, el rectángulo resultante es también un rectángulo áureo.

Construcción del rectángulo áureo

Construcción del rectángulo áureo con regla y compás

En la matemática clásica, Euclides construye el rectángulo áureo con regla y compás, siguiendo los siguientes pasos:

Se construye un cuadrado de lado unidad (de rojo, en la Fig. 3).
Se traza una segmento desde la mitad del lado del cuadrado hasta una de sus esquinas.
Empleando ese segmento como radio, se coloca la punta del compás en la mitad del cuadrado y se abate hasta cortar en la prolongación de la base del cuadrado.
Ese punto obtenido determina la base del rectángulo áureo con altura igual al lado del cuadrado.

Demostración:

Si te fijas en la Fig. 3, basta con demostrar que el segmento que se obtiene en el paso 2 mide $\cfrac{\sqrt{5}}{2}$ , para lo cual basta con usar el teorema de Pitágoras.

Construcción del número de oro Descripción:

En la escena puedes ver la construcción del número de oro basada en una construcción gráfica que se encuentra en un libro de Euclides (siglo III a.C.).

Para ello debes ir presionando sucesivamente el control pasos.
Toma nota en tu cuaderno de los pasos de la representación e intenta realizarla con regla y compás.
Si presionas sobre el control decimales podrás variar el número de cifras decimales.

Construcción de la sección áurea de un segmento y del rectángulo áureo. (5'15") Sinopsis:

Construcción con regla y compás de la sección áurea de un segmento y del rectángulo áureo.

Fig. 3: Construcción del rectángulo áureo con regla y compás .

El número áureo en el péntágono estrellado

El número áureo en el péntágono estrellado

La razón entre la diagonal del del péntagono regular y su lado es igual al número áureo. (Ver Fig.4 )

$\cfrac{d}{l}= \phi$

Demostración:

Los triángulos ABF y EBD son semejantes ya que tienen sus ángulos iguales. Para comprobarlo basta aplicar la propiedad que dice que los ángulos inscritos en una circunferencia que abarcan el mismo arco son iguales.
Por ser semejantes los triángulos ABF y EBD, sus lados son proporcionales:

$\cfrac{l}{d}=\cfrac{d-l}{l} \ \rightarrow \ \cfrac{l}{d}=\cfrac{d}{l}-1 \ \rightarrow \ \cfrac{1}{{d \over l}}=\cfrac{d}{l}-1$

Haciendo el cambio de variable $x= \cfrac{d}{l}$ :

$\cfrac{1}{x}=x+1 \ \rightarrow \ x^2-x-1=0 \ \rightarrow \ x=\frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \phi$

c.q.d.

Fig. 4: En el petágono estrellado se cumple que d / l = Φ.

La sucesión de Fibonacci y el número áureo

La sucesión de Fibonacci se debe a Leonardo de Pisa (Fibonacci), matemático italiano del siglo XIII. Es la siguiente:

$1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ \cdots$

Es una sucesión recurrente dada por la siguiente relación de recurrencia:

$F_1=1,\ F_2=1,\ F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$

Término general de la sucesión de Fibonacci

El término general de la sucesión de Fibonacci es:

$F_n=\frac{\phi^n-\left(-\phi\right)^{-n}}{\sqrt5}$

siendo $\phi\;$ el número áureo.

$\phi=\frac{1+\sqrt5}2$

Demostración:

Puedes ver una demostración que sobrepasa este nivel en este enlace: enlace a wikipedia

La sucesión de Fibonacci y el número áureo

Si a partir de la sucesión de Fibonacci

$F_n\;$ = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...,

construimos, por recurrencia, la sucesión

$b_n=\cfrac{F_{n+1}}{F_n}$

Entonces, esta sucesión tiende al número áureo:

$lim \ b_n= \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \phi$

Demostración:

Comprobación: Si en la sucesión de Fibonacci

$1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55,\ 89, \cdots$

dividimos cada término entre el anterior, tenemos:

$\cfrac{1}{1},\ \cfrac{2}{1},\ \cfrac{3}{2},\ \cfrac{5}{3},\ \cfrac{8}{5},\ \cfrac{13}{8},\ \cdots$

que expresada con decimales nos da:

$1,\ 2,\ 1.5,\ 1.66,\ 1.6,\ 1.625,\ 1.615 \cdots \rightarrow \phi$

Demostración:

Por construcción de la sucesión de Fibonacci:

$F_{n+1}=F_n + F_{n-1} \;$

Dividiendo ambos miembros por $F_n \;$ :

$\frac {F_{n+1}}{F_n}=1 + \frac {F_{n-1}}{F_n} = 1 + \frac {1}{\cfrac {F_n}{F_{n-1}}}$

Tomando límites en ambos miembros:

$lim \ \frac {F_{n+1}}{F_n} = 1 + \frac {1}{lim \ \cfrac {F_n}{F_{n-1}}}$

Llamando $L = lim \ \frac {F_{n+1}}{F_n}=lim \ \cfrac {F_n}{F_{n-1}}$ , tenemos:

$L = 1 + \frac {1}{L} \longrightarrow L^2-L-1=0$

ecuación de segundo grado cuya única raíz válida es:

$L = \frac {1+\sqrt{5}}{2} = \phi$

con lo que queda demostrado.

Videos y páginas web

La divina proporción: el número phi (6') Sinopsis:

Documental sobre el número aureo.

El número áureo (18´) Sinopsis:

El programa presenta a este exótico número ya conocido por los griegos. Veremos cómo se obtiene, qué son los rectángulos áureos y su presencia en infinidad de manifestaciones artísticas, en Pintura, Arquitectura, Escultura... a lo largo de la historia. Pero el número de oro no es un mero invento del hombre, la naturaleza nos sorprende de una forma que no puede ser casual, tanto en el mundo vegetal como en el animal, como en multitud de fenómenos físicos, con acontecimientos en los que este famosos número hace acto de presencia.

Actividades

Phi, el número de oro Descripción:

A lo largo de la historia, Phi, el número de oro o número áureo, ha representado, para las personas que lo han conocido, la belleza, la magia, la perfección, lo divino. ¿Por qué?. Página elaborada por D. Luis Nicolás Ortiz.

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