Número áureo

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Tabla de contenidos

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1 El número áureo
2 El rectángulo áureo
- 2.1 Construcción del rectángulo áureo
3 El número áureo en el péntágono estrellado
4 La sucesión de Fibonacci y el número áureo
5 El número áureo en la naturaleza
6 El número áureo en el arte y en la cultura
7 Videos y páginas web

El número áureo

El número áureo, es un número irracional cuyo valor es:

$\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803398874988...$

Es representado por la letra griega phi φ (en minúscula) o Φ (en mayúscula) en honor al escultor griego Fidias.

También se le conoce como número de oro, razón áurea o divina proporción (por la obra de Luca Pacioli, De Divina Proportione, escrita entre 1496 y 1498).

Fue el primer número del que se tuvo conciencia que era irracional.

Proposición 1

Si dividimos un segmento en dos partes a y b, de manera que la longitud total, a+b, es al segmento más largo a, como a es al segmento más corto b, entonces la razón de dicha proporción es el número áureo.

$\cfrac{a+b}{a} = \cfrac{a}{b} = \phi$

Demostración:[Mostrar]

Fig. 1: El número áureo surge de la división en dos de un segmento guardando las siguientes proporciones: La longitud total a+b es al segmento más largo a, como a es al segmento más corto b.

El rectángulo áureo

El rectángulo áureo (o rectángulo dorado) es un rectángulo que posee una proporcionalidad entre sus lados igual al número áureo.

Los griegos consideraban que un rectángulo de tales características era especialmente armonioso. Esta proporción de medidas se ha utilizado con mucha frecuencia en el arte.

Proposición 2

Si en un rectángulo áureo substraemos la imagen de un cuadrado igual al de su lado menor, el rectángulo resultante es también un rectángulo áureo.

Demostración:[Mostrar]

Fig. 2: Si en un rectángulo áureo substraemos la imagen de un cuadrado igual al de su lado menor, el rectángulo resultante es también un rectángulo áureo.

Construcción del rectángulo áureo

Construcción del rectángulo áureo con regla y compás

En la matemática clásica, Euclides construye el rectángulo áureo con regla y compás, siguiendo los siguientes pasos:

Se construye un cuadrado de lado unidad (de rojo, en la Fig. 3).
Se traza una segmento desde la mitad del lado del cuadrado hasta una de sus esquinas.
Empleando ese segmento como radio, se coloca la punta del compás en la mitad del cuadrado y se abate hasta cortar en la prolongación de la base del cuadrado.
Ese punto obtenido determina la base del rectángulo áureo con altura igual al lado del cuadrado.

Demostración:[Mostrar]

Construcción del número de oro Descripción: [Mostrar]

Construcción de la sección áurea de un segmento y del rectángulo áureo. (5'15") Sinopsis:[Mostrar]

Fig. 3: Construcción del rectángulo áureo con regla y compás .

El número áureo en el péntágono estrellado

Los griegos pitagóricos (seguidores de las teorías de Pitágoras) pensaban que el mundo se regía por su orden numérico y geométrico. Para ellos, los únicos números existentes eran los naturales y las relaciones entre ellos (fracciones). Su emblema era la estrella de cinco puntas o pentágono estrellado. Esta estrella representaba la vida y, puesta con una de sus vértices hacia abajo, representa lo contrario (lo maléfico). Comprobaron que en un pentágono regular, la relación entre su diagonal y su lado es el número áureo. Cuando llegaron a la conclusión de que esta relación no se podía expresar como cociente de dos números enteros, se quedaron espantados, y les pareció tan contrario a toda lógica que lo llamaron irracional. Es el primer número irracional del que se tuvo conciencia que lo era.

El número áureo en el péntágono estrellado

La razón entre la diagonal del del péntagono regular y su lado es igual al número áureo. (Ver Fig.4 )

$\cfrac{d}{l}= \phi$

Demostración:[Mostrar]

Fig. 4: En el petágono estrellado se cumple que d / l = Φ.

La sucesión de Fibonacci y el número áureo

La sucesión de Fibonacci se debe a Leonardo de Pisa (Fibonacci), matemático italiano del siglo XIII. Es la siguiente:

$1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ \cdots$

Es una sucesión recurrente dada por la siguiente relación de recurrencia:

$F_1=1,\ F_2=1,\ F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$

Término general de la sucesión de Fibonacci

El término general de la sucesión de Fibonacci es:

$F_n=\frac{\phi^n-\left(-\phi\right)^{-n}}{\sqrt5}$

siendo $\phi\;$ el número áureo.

$\phi=\frac{1+\sqrt5}2$

Demostración:[Mostrar]

La sucesión de Fibonacci y el número áureo

Si a partir de la sucesión de Fibonacci

$F_n\;$ = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...,

construimos, por recurrencia, la sucesión

$b_n=\cfrac{F_{n+1}}{F_n}$

Entonces, esta sucesión tiende al número áureo:

$lim \ b_n= \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \phi$

Demostración:[Mostrar]

El número áureo en la naturaleza

Ejemplo: La sucesión de Fibonacci y el número áureo

Fibonacci

El siguiente problema fue propuesto por Fibonacci, matemático italiano del siglo XIII:

"Cuántas parejas de conejos se producirán en un año, comenzando con una pareja única, si cada mes cualquier pareja engendra otra pareja, que se reproduce a su vez desde el segundo més?"

a) Escribe la sucesión cuyos términos son lás parejas de conejos que hay cada més. Esta recibe el nombre de sucesión de Fibonacci.

b) Ahora vas a construir la sucesión que se obtiene al dividir cada término entre el anterior. Esa sucesión verás que se aproxima al número áureo ( $\phi\;$ ):

$\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.618033988...$

Solución:[Mostrar]

Fibonacci: La magia de los números (16') Sinopsis:[Mostrar]

Fibonacci (24'29") Sinopsis:[Mostrar]

El número áureo en el arte y en la cultura

El número de oro influyó en el arte del mundo griego, buscando la armonía en los templos y en las esculturas. El famoso escultor Fidias (de ahí le viene el nombre Φ(phi) al número de oro) en su diseño del Partenón utilizó repetidamente la proporción áurea.