Distancias en el plano (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Distancia ente dos puntos
2 Distancia de un punto a una recta
- 2.1 Ejercicios (videotutoriales)
3 Ejercicios propuestos
4 Distancia entre dos rectas

(Pág. 203)

Distancia ente dos puntos

La distancia entre dos puntos $P(x_1,y_1)\,$ y $Q(x_2,y_2)\,$ es igual al módulo del vector $\overrightarrow{PQ}$ :

$d(PQ)=|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

Distancia entre dos puntos del plano Descripción:

En esta escena podrás ver como se calcula la distancia entre dos puntos del plano.

Distancia de un punto a una recta

Proposición

La distancia del punto $P(a,b)\,$ a la recta $r: \, Ax+By+C=0$ es:

$d(P,r)=\cfrac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Demostración:

Sea $R(x_0,y_0)\,$ un punto de la recta.

Dados dos vectores $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{v}$ , sabemos que $proy_{\overrightarrow{u}}\overrightarrow{v}=\cfrac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}|}$

Llamando $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{n}=(A,B)$ , $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{RP}=(a-x_0,b-y_0)$

$d(P,R)=|proy_{\overrightarrow{n}}\overrightarrow{RP}|=\cfrac{|\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{RP}|}{|\overrightarrow{n}|}=\cfrac{|(A,B) \cdot (a-x_0,b-y_0)|}{|(A,B)|}=$

$=\cfrac{|A(a-x_0)+B(b-y_0)|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\cfrac{|Aa+Bb-(Ax_0+By_0)|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\cfrac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

ya que $Ax_0+By_0=-C\,$ , por ser $R(x_0,y_0)\,$ un punto de la recta.

Distancia de un punto a una recta (método vectorial) Descripción:

En esta escena podrás ver como se calcula la distancia de un punto a una recta utilizando vectores, tal y como se ha visto en la demostración anterior.

Distancia de un punto a una recta (método de "regla y compás") Descripción:

En esta escena podrás ver como se calcula la distancia de un punto a una recta utilizando una construcción simple, de las que se denominan de "regla y compás".

Ejemplo: Distancia de un punto a una recta

En esta escena vamos a hallar la distancia del punto $P(-5,8)\,$ a la recta $r: \, 2x-6y+7=0$ .

Solución:

$d(P,r)=\cfrac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\cfrac{|2 \cdot (-5)-6 \cdot 8+7|}{\sqrt{2^2+6^2}}=\cfrac{51}{\sqrt{40}}=8.06$

Click aquí si no se ve bien la escena

Hazlo tú:

Calcula la distancia del punto $P(2,-1)\,$ a la recta $r: \, x-3y+5=0$ y comprueba el resultado en la escena anterior.

Distancia de un punto a una recta (7´43") Sinopsis:

Cálculo de la distancia de un punto a una recta.
Ejemplos.

Ejercicio resuelto: Distancias en el plano

Halla el área del triángulo de vértices A(0,0), B(6,5) y C(2,5).

Solución:

Tomando como base del triángulo el lado BC, tendremos que calcular d(B,C) y d(A, BC) para hallar las medidas de la base y de la altura.

Solución: Área=10 u².

Ejercicios (videotutoriales)

Ejercicio 1 (9´27") Sinopsis:

Ejercicio sobre el cálculo de la distancia de un punto a una recta (2 métodos)

Ejercicio 2 (7´33") Sinopsis:

En este vídeo calculamos la distancia de un punto a una recta identificada en forma continua. Problema típico de examen. No es admisible dejarlo escapar.

Ejercicio 3 (5´06") Sinopsis:

En este vídeo calculamos la distancia de un punto a una recta identificada en forma paramétrica. Problema típico de examen. No es admisible dejarlo escapar.

Ejercicio 4 (6´56") Sinopsis:

Dos ejercicios sobre distancia de un punto a una recta en los que una de las coordenadas del punto es un parámetro "k" que hay que averiguar conocido el valor de la distancia.

Ejercicio 5 (4´36") Sinopsis:

Hay que determinar la recta que pasa por un punto dado y equidista de dos puntos dados. Típico de examen. No puede dejarse escapar.

Ejercicio 6 (3´29") Sinopsis:

Hay que determinar el punto de una recta dada "r" cuya distancia a la recta dada "s" es conocida. Típico de examen. No puede dejarse escapar.

Ejercicio 7 (4´22") Sinopsis:

Dados dos puntos "P" y "Q", hay que determinar la recta que pasa por "P" y está a distancia dada de "Q". Típico de examen. No es admisible dejarlo escapar.

Ejercicio 8 (6´59") Sinopsis:

Dados dos vértices de un triángulo equilatero, debemos determinar el tercer vértice. Típico de examen. No puede dejarse escapar.

Ejercicio 9 (10´07") Sinopsis:

Problema típico de examen sobre triángulos uno de cuyos vértices tiene una coordenada desconocida que hay que determinar, conocida el área. No es admisible dejarlo escapar.

La solución que damos sirve para ilustrar el uso de "ventanas", que facilitan la tarea a tu profe y le hacen feliz.

Ejercicio 10 (6´27") Sinopsis:

Determinar un punto de una recta que determina con otros dos puntos dados un triángulo de área dada.

Ejercicio 11 (7´18") Sinopsis:

Nos dan tres vértices consecutivos de un paralelogramo y debemos determinar el cuarto vértice y el área del paralelogramo. Otro ejemplo de uso de "ventanas"..... esfuérzate en aprender a emplearlas.